1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Таким образом, звездысоберутся в область малых углов относительно направления движениякорабля и цвет их станет более коротковолновым.§ 25. Свойства 4-векторов, собственное время, 4-векторскоростиРанее мы дали определение 4-вектору как четверке чисел, преобразующихся при переходе в другую инерциальную систему так же, как и4-вектор события R = {ct, r} , т. е. A = {a 0 , a1, a2 , a 3 } – 4-вектор, еслиa 0 = g(a 0¢ + ba1¢), a1 = g(a1¢ + ba 0¢ ), a2 = a2¢, a 3 = a 3¢ .(25.1)Разница двух 4-векторов, очевидно, является тоже 4-вектором.Назовeм скалярным произведением двух 4-векторовA = {a 0 , a1, a2 , a 3 }иB = {b0 , b1, b2 , b3 }(25.2)величину(AB ) = a 0b0 - a1b1 - a2b2 - a 3b3 º a 0b0 - (ab).(25.3)Прямой подстановкой ai , bi , выраженных через их значения в S ¢системе, формула (25.1), нетрудно получитьa 0b0 - a1b1 - a2b2 - a 3b3 = a 0¢b0¢ - a1¢b1¢ - a2¢b2¢ - a 3¢b3¢ ,(25.4)(AB ) = (A¢ B ¢) = inv ,(25.5)т.

е. скалярное произведение 4-векторов является инвариантомпреобразований Лоренца. Отсюда следует, в частности, что58A2 = inv,(A - B )2 = inv .(25.6)Пусть произошло два события R1 = {ct1, r1 } и R2 = {ct2 , r2 } . Квадратом разницы этих векторов является интервал между событиямиs 2 = (R2 - R1 )2 = c 2 (t2 - t1 )2 - (r2 - r1 )2 = inv .(25.7)Эта величина уже обсуждалась в § 20, где было показано из общихсоображений, что она является инвариантом при переходе из однойинерциальной системы в другую.Если s 2 > 0 , то интервалы называется времениподобными, еслиs 2 < 0 – то пространственноподобными.При s 2 < 0 можно найти систему отсчeта, где события произошлиодновременно. Действительно, если t2 = t1 , то s 2 = -(r2 - r1 )2 < 0 .При s 2 > 0 можно выбрать систему отсчeта, где события произошли в одной точке.

Действительно, если r2 = r1 , то s 2 = c 2 (t2 - t1 )2 > 0 .Для причинно-связанных событий, вызванных одним и тем же телом,r2 - r1 = v(t2 - t1 ),(25.8)где v – скорость, с которой тело переместился из одной точки вдругую. Тогдаs 2 = c 2 (t2 - t1 )2 - v 2 (t2 - t1 )2 > 0 ,(25.9)т. е. интервал времениподобный.Пусть два события произошли рядом по координате и времени, тогдаds 2 = c 2 (dt ¢)2 - (dr ¢)2 = inv .(25.10)Если ds 2 > 0 , то можно найти систему, где (dr ¢)2 = 0 , т. е. событияпроизошли в одном месте рядом с покоящимися там часами.

Тогда(ds )2 = c 2 (dt )2 ,где t – собственное время. Отсюда следуетc 2 (dt )2 - (dr )2 = c 2 (d t )259c2 - v2 2dt = d t 22c(25.11)d t = dt 1 - v 2 c 2 = dt g .(25.12)Это мы уже получали ранее.Понятие интервала и собственного времени оказывается очень полезным для конструирования других 4-векторов. Имея 4-вектор события R , можно построить 4-вектор скорости. Для этого его нужно продифференцировать по некоторой скалярной величине, имеющей размерность времени и инвариантной при преобразованиях Лоренца. Такой скаляр у нас есть – это собственное время. Определим 4-скоростьсоотношениемdR m.(25.13)um =dtУчитывая, что d t = dt g , находим компоненты umüïìü ìïïïïcvï cdt dr ïï ïï .

(25.14)u m = {u 0 , u } = í,,ý=íý2222 ïïïdt g dt g ï1vc1vcïïïïïï ïîîþïþКвадрат 4-скоростиu m2 = u 02 - u 2 = c 2 = inv(25.15)является инвариантом при преобразованиях Лоренца, как положенобыть любому 4-вектору. 4-скорость нам понадобится для нахождениярелятивистского импульса.60ГЛАВА IVНЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА§ 26. Законы НьютонаДо сих пор мы рассматривали кинематику, раздел механики, изучающий движение тел, не вдаваясь в вызывающие его причины. Разделмеханики, изучающий причины движения тел, называется динамикой.Существование в природе максимальной скорости движения кореннымобразом влияет на законы динамики. Однако вспомним сначала основные положения нерелятивистской динамики.Еще в древности люди интересовались законами движения, однакоих взгляды, основанные в основном на созерцании и философствовании, были далеки от действительности даже приближенно. Так, греческий философ Аристотель (~384 до н.э.) считал, что для всякого движения (даже с постоянной скоростью) нужно внешнее воздействие.Причину, по которой катится шар, Аристотель называл силой, котораяпередается шару из окружающей среды.

Такие воззрения существовалиочень долго. Только в начале 17 в. Галилей с помощью экспериментовясно показал, что скорость свободного тела сохраняется сама по себе, асила связана не со скоростью тела, а с его ускорением. Своими экспериментами он убедительно опроверг умозрительную метафизику Аристотеля и заложил фундамент классической механики. Основные жезаконы механики сформулировал в 1687 г. Исаак Ньютон (1642–1727).По современным воззрениям, законы механики Ньютона верны вширокой области применимости. Однако при скоростях, близких кскорости света, нужно использовать механику Эйнштейна, а при малых размерах и скоростях ( mvr <  ) – квантовую механику (см.

Введение).Выпишем, а затем рассмотрим законы Ньютона более детально.Первый закон НьютонаСуществуют такие системы отсчeта, относительно которыхматериальная точка (тело), при отсутствии внешних воздействий,сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Такое тело называется свободным, а его движение – свободнымдвижением по инерции.61Второй закон НьютонаВ инерциальной системе отсчета ускорение, которое получаетматериальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всехприложенных к ней сил и обратно пропорционально еe массе:a=F.m(26.1)Третий закон НьютонаСилы взаимодействия двух материальных точек i и j равны по модулю и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальныеточки:Fij = -Fji(26.2)( Fij – это сила, действующая на i -ую частицу со стороны j -ой частицы).В дополнение к законам Ньютона в классической механике предполагается, что справедлив закон независимости действия сил, т.

е. взаимодействие двух материальных точек не зависит от присутствия вокруг других частиц. Отсюда следует принцип суперпозиции сил – результирующая сила, действующая на материальную точку, являетсявекторной суммой сил взаимодействия с каждой из окружающих материальных точек.Может показаться, что первый закон Ньютона вытекает из второго.Действительно, если сила равна нулю, то ускорение тоже равно нулю искорость постоянна.

Однако эта точка зрения неверна. Первый законпостулирует существование инерциальных систем отсчета, привязанных к свободным телам. Исключить действие всех сил трудно, но еслисистема отсчета привязана к свободному телу и при этом другие тела вэтой системе покоятся или движутся равномерно, то такие системы отсчета можно считать инерциальными.

Именно в таких системах справедлив второй закон Ньютона. В системе, связанной с вращающимсядиском, тело будет ускоряться даже без приложенных к нему сил.Рассмотрим теперь смысл второго закона Ньютона. Интуитивно ясно, что сообщить скорость пушинке легче, чем большому камню.Свойство тела «сопротивляться» попыткам изменить его скорость называется инертностью тела.

Мера инертности – это масса тела. Степень воздействия одних тел на другие характеризуется силой. Требуется, конечно, дать точные количественные определения. Существуетнесколько подходов к формулировке законов динамики. Рассмотримдва из них.62Первый подход основан на законах Ньютона. В этом подходе предлагается ввести некоторый эталон силы. Это может быть, например,пружинка, растянутая на определенную длину. Указав направление силы, получим вектор эталонной силы.

Складывая несколько пружинок,можно получить любую силу. Различные силы, приложенные к одномуи тому же телу, сообщают ему различные ускорения, причeм было замечено, что ускорение пропорционально силеa ~ F.(26.3)Утверждение о том, что ускорение пропорционально действующейсиле, является содержанием второго закона Ньютона. Сила, как и ускорение, является векторной величиной. Если к материальной точке приложено несколько сил, то результирующая сила находится по правилусложения векторов.

Обозначив коэффициент пропорциональности через m, (26.3) можно записать какF = m a = m r .(26.4)Это вовсе не очевидное утверждение, а экспериментальный факт,справедливый только при малых скоростях. Одновременно второйзакон Ньютона несeт в себе количественное определение массы тела.Опыт показывает, что масса является аддитивной величиной, т. е.масса равна сумме составляющих тело масс. (В релятивистском случаеэто неверно, поскольку при столкновениях кинетическая энергияможет переходить в массу.

Энергия связи также обладает массой. Так,атом водорода легче, чем сумма масс протона и электрона.)Из третьего закона Ньютона сразу следует закон сохранения импульса:m1a1 = -m2 a 2  m1v1 + m2 v2 º p1 + p2 = const .(26.5)Однако закон сохранения импульса и третий закон Ньютона – это неэквивалентные утверждения. Действительно, из закона сохраненияимпульса следует, что F12 = -F21 , но отсюда ещe не следует, что этисилы действуют вдоль линии, соединяющей тела.

Последнееутверждение, содержащееся в третьем законе Ньютона, следует из тогофакта, что в замкнутой системе не только сумма сил равна нулю, но исумма моментов сил равна нулю. Тело не начинает само по себевращаться. Здесь проявляется свойство изотропности пространства –если тело начнет вращаться, то в какую сторону? Из симметрииследует, что тело будет оставаться в покое.63Закон равенства действия и противодействия, очевидно, не выполняется, когда тела удалены, а скорость распространения сигнала конечна. Эту проблему можно обойти, представив, что рассматриваемыедва тела обмениваются импульсами за счет перекидывания третьеготела (поля) и взаимодействие происходит только в момент локальноговзаимодействия третьего тела с первым.Еще одно замечание, касающееся третьего закона Ньютона.

Естьвзаимодействия, когда сила направлена не вдоль линии, соединяющейточки. Например, это сила между двумя движущимися зарядами. Электрическая сила взаимодействия направлена вдоль линии между зарядами, однако магнитная компонента силы направлена иначе: перпендикулярно магнитному полю и скорости. Так что силы взаимодействияне равны друг другу и не направлены в противоположные стороны.Следует заметить, что магнитные силы – это проявление релятивистских эффектов в электромагнитных взаимодействиях, т.

е. они важныпри больших скоростях, где законы Ньютона не работают в целом. Приэлектромагнитном взаимодействии следует учитывать импульс и момент импульса электромагнитного поля. Два заряда действуют друг надруга не напрямую, а через третье «тело» – поле. Несмотря на кажущееся нарушение третьего закона Ньютона суммарный момент сил визолированной системе оказывается равным нулю даже в релятивистском случае. Связанный с этим закон сохранения момента импульсаявляется более общим законом, чем третий закон Ньютона: он связан сизотропностью пространства (эквивалентностью всех направлений).Это будет обсуждаться в дальнейшем подробно.Единицы измеренийДлинаВ системе СИ единицей длины является метр (м).В системе СГСЭ единицей длины является сантиметр, 1 см = 0.01 м.ВремяВ обеих системах единицей времени является секунда (с).МассаВ системе СИ единицей массы является килограмм (кг) – международный эталон.В системе СГСЭ единицей массы является грамм, 1 г = 10–3 кг.СилаВ системе СИ единицей силы является ньютон (Н) – это сила, сообщающая телу с массой 1 кг ускорение 1 м/с2, размерность [Н] = кг·м/с2.64В системе СГСЭ единицей силы является дина (обозначение: дин,dyn от греч.

Характеристики

Список файлов лекций