1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Нормальная составляющая силы вызывает ускорение,перпендикулярное траектории, которое меняет только направлениескорости, а продольная сила вызывает изменение модуля скорости.Назовем работой величину2A=ò Fd l ,(30.1)1где d l – вектор малого перемещения, Fd l = Fdl= F cos a dl , a –угол между силой и скоростью.dpdvПодставляя в (30.1) F == m , d l = vdt , получаемdtdtdA = mæ mv 2 ö÷dvd (v 2 )d (v 2 )÷.=m= d çççvdt = mçè 2 ÷÷ødt22Назовем кинетической энергией величинуmv 2.K =2ТогдаdA = dK ,2A=ò Fdl = K2- K1 =1mv222(30.2)(30.3)(30.4)-mv122,(30.5)т.
е. изменение кинетической энергии равно работе сил.Пример. Если трактор тянет сани, а они стоят на месте, то работа несовершается. Кинетическая энергия саней не меняется, никакой энергии (горючего) при этом не требуется. В этом случае трактор можнозаменить натянутым канатом. Другое дело, если сани движутся, тогдасовершается работа, тратится энергия.72Рассмотрим, как кинетическая энергия зависит от системы отсчета.Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета имеются частицы смассами m i , движущиеся со скоростями v i .
В этой системе отсчета ихкинетическая энергия равна сумме их кинетических энергийK0 = åmivi2,(30.6)P0 = å mi vi .(30.7)iимпульс2iНайдем теперь кинетическую энергию этих частиц в системе отсчета, вкоторой исходная система движется со скоростью V . В этой системескорость частицы равна vi + V , откуда энергия всех частицK =åmi2(vi + V) = å2m i v 2i2+ V å mi vi +åm Vi22. (30.8)С учетом (30.6), (30.7)K = K 0 + P0 V +mV 2,2(30.9)где m = å mi .
Если в исходной системе суммарный импульс частицiравен нулю (система ц. м.), то второй член в (30.9) равен нулю, потомуK = K ц.м.mV 2+.2(30.10)Таким образом, кинетическая энергия равна кинетической энергиив системе ц. м. плюс кинетической энергии системы как одного тела ссуммарной массой.Единицы измерений работы и энергииВ системе СИ единицей энергии является Джоуль (Дж) = Н·м.В системе СГСЭ единицей энергии является эрг (эрг) = дин·см.Единица энергии «Джоуль» названа так в честь английского физика, а«эрг» происходит от греческого ergon – работа.Поскольку 1 Н = 105 дин, а 1 м = 102 см, то1Дж = 107 эрг.73§ 31.
Консервативные (потенциальные) и неконсервативные силы2Пусть в пространстве задана сила F(r) такая, что работаò Fdlза-1висит не от траектории, а только от конечных координат. Такие силыназывают консервативными (или потенциальными). Как нетрудно сообразить, в этом случае работа по замкнутому контуру равна нулю:ò Fdl = 0 . Для таких сил удобно ввести понятие потенциальной энер-гии.
Разность потенциальных энергий между точками 1 и 2 равна2U (r2 ) -U (r1 ) = -ò F(r)dl ,(31.1)1т. е.dU = -dA = -Fdl .(31.2)Потенциальная энергия является скаляром (не имеет направления) иявляется функцией координат.ПосколькуdU = U (x + dx , y + dy, z + dz ) -U (x , y, z ) =¶U¶U¶Udx +dy +dz¶x¶y¶z(31.3)иdU = -dA = -Fdl = -Fxdx - Fydy - Fzdz ,то отсюдаFx = -¶U,¶xFy = -¶U,¶yFz = -¶U¶z(31.4)(31.5)или, поскольку по определению F = iFx + jFy + kFz , тоF = -i¶¶¶¶UU - j U - k U º -U º -grad U º ,¶x¶y¶z¶r(31.6)где оператор (набла)¶¶¶==i+j+k,¶x¶y¶z(31.7)который, действуя на скалярную функцию, превращает ее в вектор.74В общем случае U является некоторой скалярной функцией координат x , y, z и для нахождения силы нужно использовать (31.6).
Если жеU зависит только от расстояния от начала координат, U = U (r ) , тоdUможно привести к более простому выражению. В этом случаеdrdU (r )¶r=i¶U (r )¶x+j¶U (r )¶y+k¶U (r )¶zПоскольку r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , то¶U (r )¶r==¶U (r ) æç ¶r¶r¶r ö+j+ k ÷÷÷ . (31.8)çi¶r çè ¶x¶y¶z ÷ø¶rx ¶ry ¶rz= ,= ,= . Отсюда¶xr ¶yr ¶zr¶U (r ) æç xyz ö ¶U (r ) r.ççi + j + k ÷÷÷÷ =rrø¶r è r¶r r(31.9)Следовательно, потенциал U (r ) соответствует силе, направленной порадиусу, и для ее вычисления достаточно взять простую производнуюпо радиусу.Заметим, что поскольку потенциальная энергия является интеграломот силы, то она определена с точностью до константы.
Для нахожденияпотенциальной энергии во всем пространстве нужно выбрать начало отсчета и задать в этой точке некоторую потенциальную энергию.Рассмотрим несколько примеров консервативных (потенциальных)и неконсервативных (непотенциальных) сил.Однородное поле тяжестиВыбираем направление: X – вверх, g – вниз, тогда сила тяжестиF(x ) = mg ,(31.10)работа и потенциальная энергияdA = mgdl = -mg dx ,dU = -dA = mg dx ,U (x ) -U (a ) = mg(x - a ) ,(31.11)(31.12)где a – точка отсчета потенциальной энергии.
Поскольку явным образом найдено выражение для потенциальной энергии как функции координаты, то поле потенциально.Осциллятор (тело на пружинке)F(x ) = -kx ,75(31.13)dA = -kx dx , dU = -dA = kx dx ,1U (x ) -U (a ) = k (x 2 - a 2 )2(31.14)– поле потенциально.Центральное полеrF(r) = F (r ) ,rrdA = F (r ) dl = F (r ) dr ,rздесь было учтено, что rdl = rdr ,(31.15)dU = -dA = -F (r ) dr ,rU = -ò F(r ) dr + U (r0 ) .(31.16)r0Поле потенциально, так как работа по замкнутому контуруr maxò dA =ò F(r ) dr = òr minF(r ) dr +r minòF(r ) dr = 0 .r maxКулоновское поле (частный случай центрального поля)r(31.17)F(r) = a 3 ,rdrdrrdA = a 3 dl = a 2 , dU = -dA = -a 2 ,rrraU (r ) = + const ,(31.18)rполе потенциально.
Обычно полагают U (¥) = 0 , т. е. const = 0 . Еслисила отталкивающая, то a > 0 и U (r ) > 0 , а для сил притяженияa < 0 и U (r ) < 0 .Сила тренияvF(r, v) = -a(v ) ,(31.19)vгде a(v ) > 0, т. е. сила направлена против скорости. Работа сил позамкнутой траекторииò F dl = ò Fv dt = -ò a(v)v dt < 0 ¹ 0 – сила непотенциальная.76§ 32. Закон сохранения энергииДля тела в потенциальном полеdU + dK = 0 ,(32.1)тогда полная (механическая) энергия материальной точкиE = K + U = const ,(32.2)K1 + U 1 = K 2 + U 2 .(32.3)Рассмотрим теперь систему частиц, взаимодействующих посредством потенциальных сил. Кинетическая энергия системы равнаK =åmi v 2 i2i.(32.4)Найдем потенциальную энергию. Сила взаимодействия частиц i и jFij = -¶U ij (ri - rj )¶ri=-¶U ij (ri j )¶ri.(32.5)Сила, действующая на i -ую частицу,Fi = å Fij ,(32.6)j ¹iтогда потенциальную энергию системы можно записать в видеö1æ-dU = dA = å dri å Fij = çççå dri å Fij + å drj å Fj i ÷÷÷ .
(32.7)÷ø2 çè iij ¹ij ¹iji¹jУчитывая, что Fij = -Fj i и drij = dri - drj , получаемdU = å dU i = i1å å dr F .2 i j ij ijЗдесь i может равняться j , так как при этом dri j = 0 .77(32.8)Пусть Fi jdri j º -dU i j по определению, назовем U i = åU i j потенj ¹iциальной энергия частицы i в поле остальных частиц, тогда в соответствие с (32.8) полная потенциальная энергия11U = å åU ij = åU i .(32.9)2 i j2 iЗдесь ½ возникает, потому что при суммировании U i jдваждыучитываем взаимодействие частиц i и j . Таким образом, полнаяпотенциальная энергия равна сумме потенциальных энергий парчастиц.Рассмотрим, например, два заряда. Потенциальная энерия первогоqqзаряда в поле второго равна U 1 = 1 2 , потенциальная энерия второгоrзаряда в поле первого равна U 2 = U 1 , и общая потенциальная энергия –qq1U = (U 1 + U 2 ) = 1 2 .r2Для нахождения потенциальной энергии пары можно первую частицузакрепить,авторуюперемещать,таккакdU = -F1dr1 - F2dr2 = -F2dr21, dr21 = dr2 - dr1.
Итак,dK + dU = 0 ,(32.10)E = K + U = const ,(32.11)здесь E – полная механическая энергия частиц, K – это кинетическаяэнергия частиц в системе, U – потенциальная энергия частиц.Примеры.1. Тело, летящее в однородном гравитационном поле Земли:mv 2+ mgh = const .2(32.12)2. Равновесие качелей с массами m1 и m2 и плечами l1 и l2 .Для равновесия качелей требуется, чтобы потенциальная энергия неизменялась при наклоне качелей (тогда не возникает движения). Поскольку потенциальная энергияU = m1gh1 + m2gh278(32.13)dU = m1g dh1 + m2g dh2 = g(m1l1 - m2l2 )d a = 0 ,(32.14)где da – угол наклона качелей.
Система находится в равновесии приm1 l 1 = m2 l 2 .(32.15)Получили правило рычага. В такой системе можно поднимать однотело за счет опускания другого. Здесь кинетическая энергия равнанулю, потенциальная энергия одного тела переходит в потенциальнуюэнергию другого тела.3. Упругое столкновение шариков.Здесь, наоборот, потенциальная энергия равна нулю, но сохраняется кинетическая энергия.4.
Энергия тел, связанных кулоновской силой.Рассмотрим сначала два тела. Здесь (рис. 24)m1Fdr1dU = -dA = -å Fdr ,(32.16)dA = Fdr1 + Fdr2 = F (dr1 + dr2 ) = Fdr = -dU ,(32.17)т. е. изменение потенциальнойэнергия такое же, как если быодна из масс была закреплена, очем уже говорилось выше.Закон сохранения энергии дляэтого случаяFm2dr2rРис. 24K 1 + K 2 + U = const .(32.18)Для электростатического взаимодействияmv122+mv222+q1q 2r= const .(32.19)В случае гравитационного притяженияmv122+mv222-Gm1m2r= const .(32.20)Пример.
Имеется 4 одинаковых частицы с зарядом q, массой m ,расположенные в углах квадрата со стороной b . Частицы отпускают,какая будет скорость частиц на бесконечности?79Решение. Из симметрии ясно, что скорости всех частиц будут одинаковы. Найдем исходную потенциальную энергию системы частиц.Расстояние от первой частицы до остальных трех составляетr12 = b, r13 = 2b, r14 = b, ее потенциальная энергия в поле остальных111q 2 æç1 ö÷трех частиц U 1 = q ( ++ ) = çç2 +÷÷÷ . Остальные частицыr12 r13 r14b çè2øимеют такие же энергии.
Полная энергия2()1q2(32.21)´ 4U 1 = 2U 1 =4+ 2 .2bЗдесь фактор 1/2 появляется потому, что при сумированиипотенциальных энергий всех частиц каждая пара учитывается дважды.Из закона сохранения энергии начальная энергия (in-itial) равна конечной (f-inal)K in + U in = K f + U f .(32.22)U =Учитывая, что K in = 0, U in = U , K f = 4 ´v¥ = q2 +1/ 2.mb2mv¥2, U f = 0 , находим(32.23)5.
Внутренняя энергия тела.Если тело не вращается как единое целое, то у него есть внутренняяэнергия тела E вн , которая состоит из кинетической (тепловой) и потенциальной энергии взаимодействующих частиц.При столкновении макроскопических тел кинетическая энергияможет переходить частично во внутреннюю энергию, но полная энергия все равно сохраняется.E = K + U + E вн = const .(32.24)Здесь E вн – это кинетическая и потенциальная энергия частиц внутрител. В случае вращающихся тел добавляется еще энергия вращения(глава IX «Движение твердого тела»).80§ 33. Действие непотенциальных силЕсли в системе все силы потенциальны, то E = K + U сохраняется.Если на систему действует некая непотенциальная сила, то полнаяэнергия будет меняться.Простейший пример – это сила трения.
При движении тела по горизонтальному столу гравитационная потенциальная энергия постоянна,а изменение кинетической энергии за счет силы сухого тренияdK = -Fтрdl = -kPdl ,(33.1)где k - коэффициент трения.Рассмотрим теперь более сложный пример: торможение спутника,летающего вокруг Земли по круговой орбите. Сила торможения за счетостаточного газа направлена против скорости. Как будет меняться скорость спутника и радиус орбиты?Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
