1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Рассмотрим два поезда, движущихся с равными скоростяминавстречу друг другу (рис. 31).YС поездов навстречу друг другустреляют ядрами, так что всопутствующих поездам систе2мах отсчeта скорость выпущенныхядерперпендикулярнанаправлению движения и равна1Xvy , причем vy c . Ядра встречаются и слипаются.
Из симметрии ясно, что в неподвижнойсистеме импульс образованного тела равен нулю. Тогда в системепоезда 1 это тело не движется в поперечном направлении и егопоперечный импульс равен нулю. Отсюда суммарный поперечныйимпульс ядер до столкновения также равен нулю, т. е.Рис. 31mvy = m f (v ¢)vy¢ .(40.5)Здесь в левой части написан нерелятивисткий импульс, посколькуранее предположили, что vy c . Здесь vy¢ и v ¢ – соответственновертикальная и полная скорость ядра, выпущенного с поезда 2, всистеме поезда 1. Пусть относительная скорость поездов равна V ,тогда из формул преобразования для Y-скоростей (22.4) с учетом, чтоvx ядра в системе своего поезда 2 равна нулю, находимvy¢ = vy 1 -V 2 c 2 .102(40.6)Из (40.6) и (40.5) следуетf (v ¢) 1 -V 2 c 2 = 1 .(40.7)Устремим vy к нулю, тогда v ¢ V , следовательно1f (V ) =1 -V 2 c 2.(40.8)В результате получаем искомое выражение для импульса припроизвольных скоростяхmv.(40.9)p(v) = f (v )mv =221-v cПри этом закон сохранения импульса будет имеет видåpiºåmi v i1 - vi2 c 2= const .(40.10),(40.11)Заметим, чтоp=mu =u=гдеdr=dtmv1 - v 2/ c 2vv21- 2c– 4-скорость.(40.12)Это выражение совпадает с формулой (40.9), полученной на частномпримере.
Закон сохранения импульса будет выглядеть какåpii= å p j , где p = mu =j103mv1 - v 2 / c2.(40.13)§ 41. Релятивистская энергияРассмотрим распад тела с массой M на две части с массами m1 иm2 . В системе покоя исходного тела разлет происходит в противопо-m1v1Mv =0Рис. 32v2ложных направлениях (рис. 32). Рассмотрим теперь этот же процесс распада в системе отсчeта, имеющей поперечную к v1 и v2 скорость w cm2(рис. 33). Закон сохранения для вертикальной компоненты импульсаимеет видm1wm2w.(41.1)Mw =+1 - v1¢2 c 21 - v2¢2 c 2Устремим w к нулю, тогда v1¢ v1 и v2¢ v2 . Сократив обе части(41.1) на w , получаемm1v1¢M =m2Mv2¢wm11 - v12 c 2+m21 - v22 c 2.
(41.2)т. е. исходная масса не равна суммеконечных масс иРис. 33M > m1 + m2 .(41.3)Поскольку исходная масса могла бы распасться и на другие составляющие, то (41.2) можно переписать в видеåim ic 22i1-v c2=åjm jc 22j1-v c2.(41.4)Введем обозначениеE=mc 221-v c2= gmc 2(41.5)и назовем эту величину релятивистской энергией частицы. К такомутермину есть основания: при v 0104E = mc 2 +mv 2,2(41.6)т. е. энергия отличается от энергии в покое на нерелятивистскуюкинетическую энергию.В этих терминах (41.4) можно записать в видеåEi= å Ej .(41.7)Это закон сохранения энергии в релятивистском случае.
При малыхскоростях он переходит в нерелятивистский закон сохранениякинетической энергии. Кинетической энергией в общем случае можноназвать величинуmc 2(41.8)- mc 2 = (g - 1)mc 2 .T =221-v cТаким образом, мы получили релятивистский закон сохраненияэнергии. Этот закон вытекает автоматически из закона сохранения импульса и преобразований Лоренца.Ввиду исключительной важности закона сохранения энергии выведем формулу (41.5) тем же способом, как ранее в § 27 был доказан закон сохранения массы в нерелятивистском случае.
Для доказательствамы использовали нерелятивистский закон сохранения импульса и преобразования Галилея для скоростей.Итак, рассмотрим снова распад тела с массой M на две части смассами m1 и m2 вдоль оси X . Исходим из закона сохранения импульса в релятивистском случае, записанного через 4-скорости,M ux = m1 u1x + m2 u2x .(41.9)Рассмотрим теперь тот же распад в системе отсчета, движущейся вдольоси X со скоростью V . В движущейся системе отсчета закон сохранения импульса будетMux¢ = m1u1¢x + m2u2¢x .(41.10)Используя закон преобразования Лоренца X -компоненты 4-векторовux ¢ = g(ux - bu 0 ) , где g = 1 / 1 -V 2/ c 2 , b = V /c , из (41.10)получаемM g(ux - bu 0 ) = m1g(u1x - bu10 ) + m2 g(u2x - bu20 ) .105(41.11)Производя сокращения с учетом (41.9), имеемMu 0 = m1u10 + m2u20(41.12)и, используя выражения для нулевой компоненты 4-скорости частицыccc, u10 =,(41.13)u0 =u20 =v2v12v221- 21- 21- 2cccполучаемm1m2M,(41.14)=+1 - v2 c21 - v12 c 21 - v22 c 2что совпадает с формулой (41.2).Назовем 4-импульсом величину pm = mu m , тогда закон сохранениярелятивистского импульса и энергии можно записать вместе как законсохранения 4-импульса(41.15)å Pm = å Pm¢ .Рассмотрим некоторые фундаментальные и практические следствиярелятивистского закона сохранения энергии.1.
При столкновении частиц с массами m1 и m2 может образоваться частица с массой M m1 + m2 .2. Если в конечном состоянии сохраняются исходные частицы ирождаются новые, то можно сказать, что эти новые частицы образовались из «чистой» кинетической энергии. Пример такой реакции:p + p p + p + p +p .(41.16)В этой реакции на ускорителе в 1955 г. впервые наблюдалиантипротон.3. При распаде частицы выделяется кинетическая энергияDT = Mc 2 - å mic 2 .(41.17)В пределе, при аннигиляции (или распаде) в фотоны,«высвобождается» кинетическая энергия E = mc 2 . Пример такихреакций: p 0 gg, e +e - gg . Эти фотоны можно поглотить ииспользовать их энергию, т. е. неподвижная частица обладает реальнойэнергией Mc 2 .106Атомные ядра состоят из протонов и нейтронов, при этом массаядер меньше, чем суммарная масса свободных протонов и нейтронов:M я < Zm p + Nmn .(41.18)DM = Zm p + Nmn –M я(41.19)Разность массСредняя энергия связи на нуклон (МэВ)называется дефектом массы.
Этот «дефект масс» обусловлен отрица-Число нуклонов в ядреРис. 34тельной энергией связи, которая приводит к уменьшению массы ядер.На рис. 34 приведена удельная энергия связи, т. е. энергия связи наодин нуклон. Энергия связи отрицательная, но приводят ее везде поабсолютной величине. Наибольшая энергия связи у элементов в районеFe. Она составляет почти один процент от массы ядра. Выделить этуэнергию можно (частично) при слиянии легких ядер или распаде тяжелых ядер.
Высвобождается (переходит в кинетическую) энергия, равная разности энергий связи.Так, при поглощении нейтрона ядро U235 быстро разваливается надве части с испусканием нескольких нейтроновn + U235 A1 +A2 + (2 - 3)n.(41.20)При этом кинетическая энергия осколковT = DMc 2 » (M U - m A - m A ) c 2 » 200 МэВ » 0, 001 ⋅ Mc 2 . (41.21)12107Еще большая энергия (до 0.4 % от Mc 2 ) выделяется в реакции синтеза легких ядер, например:d + T a + n + 17, 6 МэВ.(41.22)В одном килограмме вещества E = mc 2 » 1017 Дж , в то время какэнергия, выделяющаяся при сжигании 1 кг угля, составляет 1, 5 ⋅ 107 Дж.
Таким образом, даже при использовании 0,1 % mc 2 бу-дет выделяться энергии в 5 ⋅ 106 раз больше, чем при сжигании угля.Массы частиц, точнее mc 2 , принято измерять в электронвольтах.Электронвольт – это энергия, набираемая частицей с зарядом, равнымзаряду электрона, при прохождении разности потенциалов один Вольт:1 эВ = eDU = 1, 6 ⋅ 10-19 Кул ⋅ 1В = 1,6 ⋅ 10-19 Дж .(41.23)Производные единицы –1 кэВ º 103 эВ, 1 МэВ º 106 эВ, 1 ГэВ º 109 эВ и т.
д.В табл. 3 приведена энергия покоя некоторых частиц.Таблица 3Энергия покоя некоторых частицчастицафотон (γ)нейтрино (ν)электрон (е)мюон (m)пион нейтр. ( p 0 )протон (p)нейтрон (n)Z-бозонt-кваркmc 2 , МэВ< 10-33< 10-60,511105,7140938,3939,691200171000108§ 42. Четырехвектор энергии-импульсаВ предыдущих двух параграфах были найдены выражения для релятивистского импульса и энергии и сформулированы законы их сохранения. К этим вопросам можно подойти по-другому, используяязык теоретиков. Часто теоретические подходы делают картину болеепрозрачной, чем получение результата путем рассмотрения отдельныхпримеров.Предположим, при соударении тел (упругом и неупругом) имеетместо закон сохранения импульсаåpi= å pj .(42.1)Этот закон должен быть справедлив в любой инерциальной системе,значит, при преобразованиях Лоренца обе части должныпреобразовываться одинаковым образом. В этом случае говорят, чтозакон имеет ковариантный вид.
При p = mv такой ковариантностипри релятивистских скоростях, очевидно, нет. Если бы импульс был4-вектором, тогда ковариантность была бы гарантирована. А почему?Возьмем сначала привычное трехмерное пространство, в которомнекий закон записан в виде равенства двух векторовa = b.(42.2)Очевидно, что это равенство сохранится, если перейти к другойсистеме координат, отличающейся от исходных поворотом осейкоординат на некоторый угол. Компоненты векторов изменятся, норавенство сохранится. Преобразования Лоренца, как мы знаем,являются вращением в 4-мерном пространстве Минковского скоординатами ict, x , y, z .
Следовательно, если некий закон записан ввиде равенства двух 4-векторов:a m = bm , где m = 0, 1, 2, 3 ,(42.3)то это равенство сохранится при преобразованиях Лоренца. При этом4-мерным может быть не только координатное пространство с осямиict, x , y, z , но и пространство 4-скоростей.Введем 4-вектор импульса путем замены обычной скорости v на4-скорость u mPm = mdRmcmv, (42.4)= m u m = {p0 , p} ; p0 =, p=dt1 - v 2 c21 - v 2 c2109а закон сохранения импульса запишем как закон сохранения4-импульса(42.5)å Pm = å Pm¢, m = 0 3 .ijВ нерелятивистском случае уравнения для пространственныхкомпонент 4-импульса переходят в обычный нерелятивистский законсохранения импульса. Ранее мы искали выражение длярелятивистского импульса в виде p = f (v )mv , где f (v ) – такаяфункция, что закон сохранения импульса ковариантен припреобразованиях Лоренца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
