1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ее энергия (34.14) U =. Умень2Rшим радиус на dR (положительная величина), изменение потенциальной энергии будет (дифференцируем U и учитываем, что изменениерадиуса равно -dR )Q2dU = 02 dR .(34.19)2RВ чем состоит разница в конфигурации полей? Во втором случаедобавилось поле в слое толщиной dR вблизи поверхности, где егоQвеличина составляла E = 02 .
Нетрудно заметить, чтоR2æQ ö÷ 4pR 2dR E 2dU = ççç 02 ÷÷dV ,=8p8pèç R ÷øследовательно плотность энергии электрического поля(34.20)dUE2=.(34.21)dV8pЭто важный результат! Поле – это не фиктивная конструкция, передающая взаимодействие, а материальная среда, обладающая плотностью энергии.Потенциальная энергия взаимодействия нескольких заряженных частиц – это энергия, сосредоточенная в поле, но не вся энергия поля, атолько ее изменение, связанное с перекрытием полей отдельных частиц.u=Гравитационное взаимодействиеПрактически все сказанное выше про электрическое поле справедливо для гравитационного взаимодействия. На самом деле, физическаяприрода этих взаимодействий совершенно разная, но пока мы рассмат88риваем слабые гравитационные поля, малые скорости, а разница междуними только в том, что одноименные электрические заряды отталкиваются, а гравитационные силы – это силы притяжения.Fгр Gm1m2r,r3G 6, 667 108 см3с 1г 1 6, 667 1011 м 3с 1кг 1 .
(34.22)Таблица 2Соответствие между электрическим и гравитационным полямиFjEu (пл. энергии)U сферыU шараЭлектрическоевзаимодействиеq1q 2rr3qrqrr3E28pq22R3q 25RГравитационноевзаимодействиеmm-G 1 3 2 rrm-Grm-G 3 rr1 E2G 8pm2-G2R3 m2-G5 RПримечание. При сравнении формул для плотности энергии вы заметите разницу, которая связана с наличием константы гравитационного взаимодействия в гравитационной силе и отсутствием таковой вэлектрической силе.
Это связано с тем, что в системе единиц СГСЭединица электрического заряда определена так, что в формуле для силы константа равна единице (в системе СИ это не так). Можно было бытак же переопределить единицу массы, чтобы в гравитационном взаимодействии константа G равнялась единице, тогда была бы полнаясимметрия в формулах.89§ 35. Классический радиус электрона, черные дырыКлассический радиус электронаКакой размер у электрона? Это один из самых интригующих вопросов, на который уже более 50 лет пытаются дать ответ. Пусть электронимеет размер re , тогда он должен обладать электромагнитной энергиейe2.(35.1)reВ последующих главах будет показано, что полная энергия любоготела равна E = mc 2 .
Поскольку электромагнитная составляющаяэнергии не может быть больше полной энергии, то, казалось бы, радиус электрона должен быть больше, чемE эм »e2(4, 8 ⋅ 10-10 )2== 2, 8 ⋅ 10-13 см.re =-28210mc9 ⋅ 10 (3 ⋅ 10 )(35.2)Здесь все выражено в единицах СГСЭ. Этот размер называютклассическим радиусом электрона.Первая попытка измерить радиус электрона была предпринята в1964–1965 гг. в Институте ядерной физики в Новосибирске и в Стэнфорде, США, на ускорителях со встречными электрон-электроннымипучками. Было установлено, что радиус электрона меньше, чем10-14 см. В дальнейшем, с ростом энергии ускорителей, эта границабыла опущена до 10–17 см.
Пока имеется только верхнее ограничениена размер электрона, но ясно, что он существенно меньше классического радиуса электрона. Как такое может быть?Оценка для энергии электрического поля (35.1) написана для покоящегося электрона. Однако на малых расстояниях классическая механика неприменима, здесь нужно пользоваться квантовой механикой(глава XIII).
Согласно квантовой механике частицу невозможно локализовать в области меньшейее комптоновской длины волныclC =. Для электрона этот размер в 2 » 137 раз больше его класmceсического радиуса электрона. Ввиду квантового «дрожания» электронаего электрическое поле не успевает сконцентрироваться на малых расстояниях, вследствие этого с уменьшением радиуса энергия поля растет не как 1/r , а существенно медленнее, логарифмически. Однако90расходимость энергии поля при стремлении радиуса к нулю остается.Теоретики научились в расчетах обходить эту проблему, оперируятолько наблюдаемой массой электрона, но теории, описывающей механизм сокращения расходимостей, пока нет.Интересно, чем ограничена точность, с которой измеряют размерэлектрона (и других частиц)? Для того, чтобы сблизить два электронана расстояние, равное классическому радиусу электрона, достаточнаэнергия порядка mc 2 » 1 МэВ (мегаэлектронвольт).
Однако более жесткое требование к энергии частиц связано с волновой природой час2p2 ⋅ 10-14см, и невозмож»тиц. Длина волны частицы равна l =pE [ ГэВ]но почувствовать размер объекта, который существенно меньше длиныволны частиц, сталкивающихся в ускорителе. Поэтому для исследования размеров порядка классического радиуса электрона потребовалсяускоритель с энергией более 100 МэВ.Черные дырыАналогично проблеме радиуса электрона для гравитационныхвзаимодействий есть проблема, заключающаяся в том, что при уменьшении радиуса тела его (отрицательная) гравитационная энергия сравнивается по модулю с полной энергией mc 2 . Радиус тела, соответствующий равенству (по модулю) энергии покоя тела и потенциальнойгравитационной энергииm2Gm rS = 2 ,(35.3)mc 2 » GrScсоответствует радиусу, при котором происходит гравитационный коллапс и образуется черная дыра.
Из черных дыр не может вылететь даже свет, поэтому они «черные», зато черные дыры захватывают пролетающую мимо материю.Первые представления о черных дырах относятся к концу 18 в., однако математически их удалось описать только с возникновением общей теории относительности Эйнштейна (1915–1916). Позднее былинайдены условия, при которых образуются черные дыры. При массахзвезд больше трех масс Солнца после выгорания термоядерного топлива никакие силы не могут предотвратить гравитационный коллапс.Для таких масс радиус rS составляет примерно 10 км.
Однако оченьчасто в конце выгорания ядерного топлива происходит сброс внешнейоболочки и масса звезды становится недостаточной для коллапса. Дру91гое место, где очень вероятно образование черных дыр, – это центрыгалактик. Так, в нашей Галактике в центре находится черная дыра смассой M = 4, 3 ⋅ 106 M ( M – масса Солнца). В центре многих галактик находятся черные дыры с массами до 1010 масс Солнца.Для внешнего наблюдателя коллапсирующая материя сжимается дорадиуса rS и далее картинка как бы застывает (этот эффект замедлениявремени описывается общей теорией относительности), однако в системе падающей к центру материи все развивается быстро и плотностьрастет формально до бесконечности.Интересно, если черная дыра имеет массу порядка солнечной (M ) ,то ее плотность больше плотности ядерной материи (1015 г/см3), однакоmc6с ростом массы rS µ m , поэтому плотность падает: r 3 2 3 .rSmGДля черных дыр с массой 1010 M плотность будет 10–4 г/см3, т.
е. напорядок меньше плотности воздуха. Наблюдатель, живущий недалекоот центра такой галактики, может не заметить, как со временем к центру галактики соберется столько материи, что он окажется живущим вчерной дыре. Размер такой черной дыры пропорционален массе, т. е.для рассматриваемого случая будет rS 1010 км, а время схлопыванияпорядка rS /c , что составляет около одних суток.§ 36. Распады, упругие и неупругие столкновения частицСтолкновения частиц на ускорителях (коллайдерах, collide – сталкивать) являются основным способом изучения материи.
В этой лекции рассматривается динамика столкновений и распадов в нерелятивистском случае.РаспадыПусть частица массой m , двигавшаяся со скоростью v , распадаетсяна две частицы с массами m1 и m2 с выделением энергии Q . Какиебудут скорости частиц, если после распада первая частица полетелапод углом q относительно исходного направления?В нерелятивистской механике суммарная масса частиц сохраняется,т. е. m = m1 + m2 . Кинетическая энергия осколков Q в системе покояисходной частицы возникает за счет, например, химической энергии92взрывчатки. Отсюда находим импульсы и скорости осколков в системепокоя исходной частицыQ=p022m1+p022m2p0 =;2Qm1m2m1 + m2;v10 =p0m1.(36.1)Скорость первого осколка в лабораторной системе отсчетаv1 = v + v10 .Посколькуунасзаданонаправление первой частицыпосле столкновения, т.
е. уголмежду v и v1 , то нужно2v1 = O1 или O2qO1v10(36.2)v10vпереписать это соотношение ввиде v1 - v = v10 , тогда послевозведения в квадратчастей получаемРис. 262v12 - 2vv1 cos q + v 2 - v10= 0.обеих(36.3)Отсюда22v1 = v cos q v 2 cos2 q - v 2 + v10= v cos q v10- v 2 sin2 q .(36.4)Происхождение двойного решения ясно из рис. 26.При v > v10 имеется максимальный угол sin q =v10v, при этом век-тор v1 является касательным к окружности на рис. 26.При v < v10 имеется всего одно решение, соответствующее знаку«+» в (36.4), иначе v1 была бы отрицательна.Неупругие столкновения (слипания)Тело массы m1 , летящее со скоростью v1 , слипается с покоящимсятелом массы m2 . Какая будет конечная скорость и сколько энергии перейдет в тепло?Из закона сохранения импульса конечная скорость равнаm1v1v¢ =,m1 + m293(36.5)тогда из закона сохранения энергии количество выделенного тепларавноm v2m v2m2v ¢2Q = K - K ¢ = 1 1 - (m1 + m2 )= 1 1. (36.6)222 m1 + m2§ 37.
Упругие столкновенияЧастица с массой m1 , летящая со скоростью v1 , упруго рассеивается на частице с массой m2 , летящей навстре-p1¢чу со скоростью v2 . Какая будет конечнаяскорость первой частицы, если она рассеялась на угол q ?В упругом столкновении, по определению,кинетическая энергия сохраняется, т. е.p2 ¢не переходит во внутреннюю энергию тел(тепло).
Дополнительно мы предполагаем,Рис. 27что тела после удара не вращаются. В случаебильярдных шаров для этого необходимо, чтобы шары были абсолютно гладкими (нулевая сила трения), тогда при столкновении междушарами будут действовать только радиальные силы и вращения невозникнет. В этом случае для решения задачи достаточно воспользоваться законами сохранения импульса и энергии:p1qp2p1 + p2 = p1¢ + p2¢p122m1+p222m2=p1¢22m1+(37.1)p2¢22m2.(37.2)При рассеянии двух частиц начальные и конечные частицы лежат водной плоскости, в этом случае векторное уравнение (37.1) представляет собой два уравнения: сохранение продольного и поперечного импульсов. Фактически есть три уравнения, заданы p1, p2 , q , нужно найтиp1¢, p2¢ и угол второй частицы.
Можно просто, путем подстановок, ре-шить эту систему из трех уравнений. Однако мы сделаем это проще,воспользовавшись операциями с векторами. Данная техника нам понадобится для решения подобной задачи в релятивистском случае.94Для решения задачи возьмем из (37.1) p2¢ = p1 + p2 - p1¢ и подставим в (37.2). В результате остается одно уравнениеp122m1+p222m2=p1¢22m1+(p1 + p2 - p1¢ )22m2,(37.3)где неизвестным является p1¢ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
