1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Радиус орбиты находится из условия, что притяжениеЗемли обеспечивает центростремительное ускорение, необходимое длядвижения по круговой орбите2mvmM=G 2 .rr(33.2)Отсюда кинетическая энергия спутника2K =mvmM.=G22rПотенциальная энергия (притяжение)mM.U = -Gr(33.3)(33.4)Сравнивая (33.3), (33.4), мы видим, что при движении по круговойорбитеUU(33.5)K = - , E = K + U = -K = .22Поскольку сила трения направлена против скорости, то работа силытрения ведет к уменьшению полной энергииdE = -Fтрdl = -Fтрvdt ,81(33.6)здесь Fтр > 0 , следовательно (см. (33.5))dK = -dE = Fтрvdt ,(33.7)т.
е. кинетическая энергия увеличивается. Странный результат: телотормозится, но при этом ускоряется! Свободная частица всегда теряетскорость при действии сил трения. Разгадка странного поведенияпадающего спутника состоит в том, что в данной задаче происходитподкачка кинетической энергии за счет уменьшения потенциальнойэнергии. Изменение потенциальной энергииdU = 2dE = -2Fтрvdt .(33.8)Поскольку U уменьшается, то из (33.4) следует, что радиус орбитыуменьшается. Мы еще будем подробно заниматься движением планети спутников в центральном поле в дальнейшем.Подведем некоторое резюме. При рассмотрении потенциальной икинетической энергии мы взяли уравнение движения (второй законНьютона), умножили обе части на вектор перемещения и проинтегрировали. В результате вместо уравнения второго порядка (содержащего вторую производную координаты, т.
е. ускорение) получили уравнение первого порядка (содержит скорость), которое по физике эквивалентно исходному уравнению движения. Однако введенные понятия,такие как работа, кинетическая энергия, закон сохранения механической энергии, оказываются очень плодотворными и помогают прощерешать многие задачи.Было установлено, что существует большой класс потенциальныхсил (взаимодействий), работа которых зависит только от начальной иконечной точки, а не от конкретного пути, что позволяет ввести понятиепотенциальной энергии. Потенциальная энергия определяется с точностью до константы, поэтому за ноль может быть принята любая удобнаяточка (например, бесконечность для убывающих сил).
При движениипод действием таких сил полная энергия, равная сумме кинетической ипотенциальной энергии, сохраняется. Действие непотенциальной силы(такой как сила трения) приводит к изменению полной энергии.Для нахождения суммарной потенциальной энергии в системе частиц, связанных потенциальными силами, нужно просто просуммировать потенциальные энергии всех пар частиц. Энергия каждой парызависит только от расстояния между частицами. Для нахождения потенциальной энергии двух частиц нужно закрепить одну из частиц82(любую) и найти работу сил по перемещению второй частицы от местанахождения до места, откуда отсчитывается потенциальная энергия(или наоборот, но тогда с обратным знаком).§ 34.
Электромагнитное и гравитационное взаимодейст-вия, полеВ природе встречаются различные проявления сил, но в их основележат всего четыре вида взаимодействий: сильное, слабое, электромагнитное и гравитационное. Первые два действуют только на оченьмалых расстояниях (<10–13–10–16 см), а два последних являются дальнодействующими. Электромагнитные силы определяют строение атомов и молекул, но и упругость пружинки и силы трения – это тожепроявление электрических сил. Гравитационные силы намного слабееэлектрических: так сила гравитационного притяжения электрона кпротону в 1039 раз слабее, чем сила электрического притяжения.
Однако в природе существует одинаковое количество положительных и отрицательных электрических зарядов, поэтому большие тела, как правило, электрически нейтральны. Гравитационные же силы пропорциональны массам, т. е. все гравитационные «заряды» имеют одинаковыйзнак, поэтому такой компенсации нет. Гравитационные силы являютсядоминирующими во многих практических случаях, определяют движение небесных тел, галактик и Вселенной в целом.При электромагнитном, гравитационном (и всяком другом) взаимодействии частицы действуют друга на друга на расстоянии. Как этовозможно? Это очень сложный вопрос, выходящий за рамки классической механики.
Выражаясь языком квантовой теории поля, взаимодействия осуществляются путем обмена виртуальными частицами – переносчиками взаимодействий. В электромагнитных взаимодействиях таким переносчиком является фотон, в гравитационных – гравитон, вслабых – W и Z бозоны, в сильных – глюоны. Электромагнитное и гравитационное поле на больших расстояниях можно описывать на языкеклассической физики, в которой считается, что частицы создают вокруг себя некое (материальное) поле, которое оказывает воздействие надругую частицу с силой, пропорциональной напряженности поля вданном месте.Понятие поля возникло и плодотворно используется в классическойфизике уже давно, давайте и мы рассмотрим некоторые свойства поляна примере электрического взаимодействия (выводы легко перенестина гравитационное взаимодействие).
Детально электрические явления83изучаются в курсе электродинамики, здесь мы рассмотрим только некоторые механические аспекты.Электрическое полеВыше мы ввели понятия работы и энергии в общем случае, сейчасрассмотрим их более подробно на примере электрических и гравитационных сил, которые очень схожи в нерелятивистском случае.Cила взаимодействия двух электрических зарядов в системе СГСЭqq rF = 1 22 ,(34.1)r rих потенциальная энергия:qqU = -ò Fdr = 1 2 + const .(34.2)rСчитая, что U (¥) = 0 , получаемU =q1q2r.(34.3)Силу взаимодействия первого заряда на второй можно записать ввидеF21 =q1q 2r3r = q2 E,E=q1r3r,(34.4)где E – электрическое поле, создаваемое первой частицей. В этомслучае потенциальная энергия взаимодействия будетU 21 = q 2j ,где(34.5)rq1¥rj = -ò Edl =.(34.6)Теорема ГауссаПоля, спадающие с расстоянием как 1/r 2 , удобно изображать силовыми линиями, плотность которых пропорциональна напряженностиполя.
Нетрудно видеть, что поток поля через любую сферическую поверхность, охватывающую заряд, не зависит от расстояния этой поверхности от заряда. Действительноплощадь сферы E 4 r 284q 4 q.r2(34.7)В общем случае определим поток как ò E ds , где ds = ds n , n –Sединичный вектор, перпендикулярный к поверхности в каждой ее точке и направленный наружу из рассматриваемой замкнутой поверхности, тогдаqò E ds = ò rS3rds = q òSds^r2= q ò d W = 4pq.(34.8)Полученное соотношение называется теоремой Гаусса.
Это основнаятеорема электродинамики, которая применяется для вычисленияэлектрических полей и входит в систему уравнений Максвелла. Онавыражает связь между потоком напряжeнности электрического полясквозь замкнутую поверхность и зарядом вобъeме, ограниченном этой поверхностью.Эта теорема справедлива только для полей,Eспадающих с расстоянием как 1/r 2 .Рис. 25Используя теорему Гаусса, легко найтиэлектрические поля в простейших конфигурациях.Поле от заряженной плоскостиПусть плоскость имеет заряд с поверхностной плотностьюs = Q /S .
Охватываем заряд поверхностью в виде цилиндра с единичной площадью дна (рис. 25), тогда из теоремы Гаусса (боковые поверхности не дают вклад в поток) находим 2E = 4ps , отсюдаE = 2ps .(34.9)Примечание. Для обозначения величины заряда здесь используютсябуквы q или Q , первая для точечного заряда, вторая для заряда, распределенного в пространстве.В плоском конденсаторе имеется две параллельные пластины с противоположными зарядами. Между пластинами поля складываются и суммарное поле E = 4ps , а снаружи поля вычитаются и E = 0.85Поле заряженной нитиПусть нить заряжена с линейной плотностью l = Q /l . Охватываянить цилиндром радиуса r и единичной длины и применяя теоремуГаусса, находим 2pr E = 4pl , отсюдаE=2l.r(34.10)Поле снаружи и внутри заряженной сферыИз симметрии силовые линии поля, исходящие от заряженной сферы, представляют собой симметричный «ежик».
Охватывая сферу сзарядом Q сферической поверхностью радиуса r , из теоремы Гауссаполучаем 4pr 2E = 4pQ и полеE=Q,r2(34.11)такое же, как поле точечного заряда.Внутри заряженной сферы если и есть какое-то поле, то из симметрии оно должно быть радиальным. Охватывая центр сферы поверхность с радиусом меньшим, чем радиус заряженной сферы, получаем,что охваченный поверхностью заряд равен нулю, а следовательно, иполе внутри заряженной сферы равно нулю.Потенциал заряженной сферыРаз поле от заряженной сферы такое же, как и от точечного заряда,то и потенциал на поверхности сферы будет таким же:j=Q,R(34.12)где R – радиус сферы.Потенциальная энергия заряженной сферыМы знаем, как находить потенциальную энергию для дискретныхзарядов, здесь же заряд равномерно распределен по поверхности сферы.
Рассмотрим несколько подходов к этой задаче.Потенциальная энергия – это фактически работа поля, которую необходимо затратить, чтобы собрать на сферу заряды, находящиеся исходно на бесконечности. Пусть на сфере уже есть некий промежуточный заряд Q , тогда потенциал сферы j = Q/R . Работа по переносу86очередной порции заряда dQ с бесконечности на поверхность сферыравнаQ(34.13)dA = jdQ = dQ .RИнтегрируя заряд от нуля до Q0 , получаемRU =ò dA =¥Q0òQ0jdQ =0ò0Q2QdQ = 0 .2RR(34.14)Следует заметить, что в (34.14) нет привычного знака минус перед интегралом от работы, поскольку в данном случае dA – это не работа,которую совершает поле над зарядами, а работа внешних сил по перемещению зарядов. Она имеет противоположный знак.Потенциальная энергия заряженного шараПусть заряд Q0 однородно распределен по объему шара радиуса R .Поле внутри шара на расстоянии r от центра создается только зарядами, которые находятся ближе к центру, тогдаE=Q0dQ =Q0Q4 3 1pr 2 = 03 r .3rR(34.15)43pR3Поле равно нулю в центре и линейно растет от центра до поверхностиQшара, а далее спадает как поле от точечного заряда E = 20 .rДля нахождения потенциальной энергии шара будем, как и в предыдущей задаче, добавлять заряд малыми порциями, при этом размершара будет нарастать с нуля до R .
Если шарик уже имеет размер r , тоего потенциалQ0 4 3 1 Q 0 2j=pr= 3r .(34.16)r4R3 3pR3Далее заметим, что приращение заряда связано с приращением радиусакак произведение плотности заряда на объем сферического слоя4pR 334pr 2dr =873Q0R3r 2dr .(34.17)Потенциальную энергию находим аналогично (34.14)Q0U =Q0òR03R2r dQ =Q0òR03r23Q0R3R2r dr =ò03Q02R64r dr =3Q025R.(34.18)Энергия поляВыше мы нашли потенциальную энергию для сферы и шара. А гденаходится эта энергия? Найдем связь между плотностью потенциальной энергии и величиной поля.Q02Возьмем заряженную сферу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
