1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Раскрывая и сокращая одинаковыечлены, получаемp122m1=p1¢22m1+p122m2+p1¢22m2+2p1p22m2-2p1p1¢2m2-2p2 p1¢2m2.(37.4)Учитывая, что p1p2 = -p1p2 , p1p1¢ = p1p1¢ cos q , p2 p1¢ = -p2 p1¢ cos q ,получаем квадратное уравнениеp1¢2 - 2p1¢(p1 - p2 )m1 cos qm1 + m2-2p1p2m1m1 + m2-p12 (m2 - m1 )m1 + m2= 0 , (37.5)откуда находимp1¢ =(p1 - p2 )m1 cos qm1 + m 2(p1 - p2 )2 m12 cos2 q(m1 + m2 )2+2p1 p2m1m1 + m 2+p12 (m2 - m1 )m1 + m 2. (37.6)Происхождение двойного решения такое же, как и при распаде частиц.В случае покоящейся второй частицы, p2 = 0 , формула упрощается:æ mö÷11p1¢ = p1 çççcos q m22 - m12 sin2 q ÷÷ .÷øçè m1 + m2m1 + m2(37.7)При m1 > m2 допустимы оба знака, при m2 > m1 – только знак «+».При m1 > m2 максимальный угол рассеянияsin qмакс =m2m1.(37.8)При q = 0 и m1 > m2 имеемp1¢ = p1 или p1¢ =m1 - m2m1 + m2p2¢ = p1 - p1¢ =p1 ,952m1m2m1 + m 2v1 .

(37.9)Первое решение – это пролет мимо (легкое касание), второе – лобовое столкновение, причем при равных массах налетающая частица останавливается.В случае лобового столкновения при m1 < m2 налетающая частицаполетит назад ( q = p ) с импульсомp1¢ =m2 - m1m1 + m2p1 .(37.10)Из (37.9) следует, что при столкновении бесконечно тяжелой стенки с покоящейся частицей последняя приобретает скорость v2¢ = 2v1 .Этот результат можно легко получить, перейдя в систему стенки, гдепокоящаяся частица налетает на стенку со скоростью v1 и отскакиваетс той же скоростью.

Переходя обратно в лабораторную систему, получаем v2¢ = v1 + v1 = 2v1 .Столкновение в случае тренияПусть брусок налетает под углом q1на бесконечно тяжелую плоскость, коэффициент трения с которой k . Найдемq2угол отражения, считая соударение упруq1гим.Хотя здесь все деформации упругие,энергия может теряться за счет силы суРис.

28хого трения. Сила трения может уменьшить горизонтальный импульс. Вертикальный же импульс при ударесохраняется по величине, но меняет направление, отсюдаF^t = 2p cos q1 .(37.11)При проскальзывании сила трения равна kF^ , тогда конечныйпродольный импульсp¢ = p sin q1 - kF^t = p sin q1 - 2kp cos q1 .(37.12)Отсюда находим угол отскока:tg q2 =p¢p^=sin q1 - 2k cos q1cos q 196= tg q1 - 2k .(37.13)При получении этой формулы мы предположили, что имеет местопроскальзывание в течение всего времени взаимодействия. Но проскальзывание прекращается, когда горизонтальная скорость становитсяравной нулю, отсюда следует, чтоtg q2 = 0 приtg q1 < 2k .(37.14)Есть еще один режим, когда проскальзывания нет вообще.

Приэтом сила будет действовать против полнойскорости, что приведет к полной остановкеtg q2тела, а затем силы деформации отбросят тело назад. Поскольку сила действует в направлении скорости, то условие непроскальзывания, «заклинивания», F < kF^ , т. е.tg q1kF sin q1 < Fk cos q1 или tg q1 < k . Именно2kпри этих углах тросточка не будет проскальзывать,с какой бы силой на нее ни давили.Рис.

29В итоге имеем следующие углы отскокапри различных углах падения:tg q2 = tg q1 - 2ktg q1 > 2kприtg q2 = 0k < tg q1 < 2ktg q2 = - tg q1tg q1 < k .(37.15)§ 38. Закон сохранения момента импульсаДо сих пор мы упоминали момент импульса только в связи с третьим законом Ньютона, не вдаваясь в детали. Третий закон Ньютона гласит: силы взаимодействия двух материальных точек i и k равны по модулю и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальныеточки: Fik = -Fki . Этот постулат означает, что в любой замкнутойсистеме сохраняется момент импульса.

Выясним, что это такое.По определению, момент импульса системы частиц – этоL = å [ ri pi ].(38.1)Для одной частицы L = r^ p = rp^ , где r^ = r sin q , p^ = p sin q , т. е.момент импульса материальной точки (частицы) относительно точки97начала отсчета равен импульсу тела, умноженному на длину перпендикуляра, опущенного из начала отсчета на траекторию частицы.

Момент импульса направлен перпендикулярно плоскости, лежащей навекторах r и p .Все взаимодействия в системе частиц можно рассматривать каксумму взаимодействий пар частиц. Для любой парыdL= [ r1 p1 ] + [ r1 p 1 ] + [ r2 p2 ] + [ r2 p 2 ] .dt(38.2)Учитывая, что p 1 = -p 2 , получаемdL= [ r1 p1 ] + [ r2 p2 ] + [(r2 - r1 ) p 2 ] = 0 .dt(38.3)Здесь первые два члена равны нулю потому, что скорость и импульсчастицы имеют одинаковое направление и их векторное произведениеравно нулю. Третий член равен нулю вследствие третьего закона Ньютона (поскольку сила параллельна радиус-вектору, соединяющему частицы). Таким образом, в природе имеет место закон сохранения момента импульса.Следствия этого закона рассматриваются далее в главах про движение твердого тела и движение в центральном поле.§ 39.

О происхождении законов сохранения энергии, импульса и момента импульсаЗакон сохранение энергииЭнергия системы частицE = K +U = åm i v 2i2+ U (r1, r2 ....rn , t ) ,(39.1)ее изменение во времениdvdU drdE¶U= å mi v i i + å i i +dtdtdri dt¶t= å vi (midv idt- Fi ) +98¶U¶U.= 0+¶t¶t(39.2)(39.3)Выражение в скобке равно нулю по второму закону Ньютона. Такимобразом: закон сохранения энергии работает, если потенциальнаяэнергия явным образом не зависит от времени, а является функциейтолько координат.Закон сохранения механической энергии связан с однородностьювремени, что означает, что физические законы не зависят явным образом от времени.Пример несохранения энергии: пусть мяч подбросили вверх с некоторой скоростью и, пока он летит вверх, ускорение свободного падения равно g1 , а когда падает вниз, то g 2 .

В этом случае мяч вернется наземлю с другой скоростью, т. е. полная энергия не сохраняется. Длятого чтобы поменялась g при неизменной массе и размерах Земли,нужно, чтобы изменилась фундаментальная константа G .Закон сохранения импульсаПусть имеется система частиц, в которой на i -ю частицу действуютсила Fi со стороны остальных частиц. Прикладывая бесконечно малыевнешние силы, сместим всю систему на d R , не изменяя взаимногорасположения частиц в системе. Суммарная работа всех сил равна нулю, поскольку пространство однородно и внутренняя энергия системыне зависит от места системы в пространстве, т. е.dA = d R å Fi = 0 .(39.4)iОтсюда получаем, чтоå F – сумма сил в системе равна нулю иiiсуммарный импульс системы сохраняется.

Таким образом, закон сохранения импульса обусловлен однородностью пространства.Например, если бы в пространстве были невидимые нам тела, действующие неизвестными нам силами на наблюдаемые тела, то мы заключили бы, что импульс не сохраняется.Закон сохранения момента импульсаИспользуем ту же логику, что и при рассмотрении закона сохранения импульса, но не для сдвига, а для поворота системы в пространстве.

Пусть имеется система частиц, в которой на i -тую частицу действуют силы Fi со стороны остальных частиц. Прикладывая бесконечномалые силы, повернем всю систему на угол  φ , не меняя при этомвзаимного расположения частиц в системе. Суммарная работа всех сил99равна нулю, поскольку пространство изотропно и внутренняя энергиясистемы не зависит от ориентации системы в пространстве:dA = å Fi d ri = å Fi [dφ ⋅ ri ] = dφå [ri Fi ] = dφå [ri p i ] = 0 .

(39.5)iiiiВеличина éê ri Fi ùú = éê ri p i ùú – это момент сил, действующий на частицу.ëû ëûЭто означает, что сумма моментов сил в изолированной системе равнанулю. ОтсюдаdL= å [ ri pi ] + å [ ri p i ] = 0 .dt(39.6)Здесь первая сумма равна нулю вследствие параллельности скорости иимпульса, а вторая сумма равна нулю из-за равенства нулю моментасил.100ГЛАВА VРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА§ 40. Релятивистский импульсЯсно, что в релятивистском случае закон сохранения импульса ввидеm1v1 + m2v2 = const(40.1)несправедлив, так как не содержит ограничения на максимальнуюскорость частиц.

В нерелятивистском случае мы просто постулировализакон сохранения импульса при рассеянии частиц, взяв выражение дляимпульса в виде p = mv (при другом подходе закон сохраненияимпульса следует из уравнений Ньютона, которые также являютсяпостулатами). Будет ли вообще аналог закона сохранения импульса врелятивистском случае, если не вводить дополнительных постулатов?Рассмотрим такую конструкцию.

Два тела с большими массами 1 и 2выстреливают по легкому релятивистскому ядру, и, рассеявшись друг надруге, они застревают в массивных поглотителях 3 и 4 (рис. 30).Если наблюдать только за большими телами, которые имеют нерелятивистские скорости, то для них можно записать равенство нулюсуммарного импульса(-p1 ) + (-p2 ) + p1¢ + p2¢ = 0(40.2)p1 + p2 = p1¢ + p2¢ .или(40.3)Отсюда следует существование закона сохранения импульса длярелятивистских частиц. В рассуждениях мы сделали только одноестественное предположение, что при выстреле покоящимся теломядра импульс отдачи равен импульсу ядра.Теперь осталось найти выражеp1p2ние для релятивистского импульса, при котором закон сохранения43p1 p2импульса, записанный в одной изсистем отсчeта, будет автоматически выполняться при переходе вp1p2любую другую инерциальную сисp 1 12 p 2тему отсчeта.

Мы рассмотрим дваподхода к этой задаче.Рис. 30101Первый способ основан на поиске выражения для релятивистскогоимпульса путем рассмотрения частных случаев взаимодействия частици требования инвариантности явления при переходе в другую системуотсчeта. Второй способ, более формальный, опирается на свойства4-векторов.Будем искать выражение для импульса в видеp = f (v )mv ,(40.4)где f (v ) – некоторая функция скорости, стремящаяся к единице приv  0 .

Характеристики

Список файлов лекций