1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Для упрощения вычислений будем полагать с = 1. В концевычислений всегда видно, где по размерности нужно добавить c.123Пусть две частицы летят навстречу друг другу с энергиями E1 иE 2 и задан угол рассеяния первой частицы q . Нужно найти энергиюэтой частицы. Параметры второй частицы после этого находятся простым вычитанием. В принципе, можно записать закон сохранения покомпонентно. Получится 3 уравненияP1¢(одно уравнение для сохранения импульса в направлении, перпендикулярq P2P1ном плоскости разлета, выпадает).
Имеется также три неизвестных | p1¢ |, | p2¢ |и q2 , так что система однозначно разрешается. Однако эту задачу можнорешить проще. Исключим одним шагом2 неизвестные величины, относящиесяко второй частице:P2¢Рис. 35(P2¢)2 = (P1 + P2 - P1¢)2 = m22(c = 1) .(45.2)После этого остается одно уравнение с одной неизвестной | p1¢ | ,которое легко решить.Рассмотрим, для примера, рассеяние фотона на летящем навстречуэлектроне (эффект Комптона), рис. 35. Вначале электрон (летитсправа) и гамма квант (слева) имели 4-импульсы{}Pg = E g , pg , 0, 0 ,при этом pe = Ee2 - m 2 ,Pe = {Ee , -pe , 0, 0} ,(45.3)pg = E g .В соответствии с (45.2)(Pe + Pg - Pg ¢ )2 = m 2(45.4)или2Pe2 + Pg2 + Pg¢ + 2Pe Pg - 2Pe Pg¢ - 2Pg Pg¢ = m 2 .(45.5)Учитывая, что (AB ) = a 0b0 - ab , имеем2Pe2 = m 2 , Pg2 = Pg¢ = 0 ,(45.6)Pe Pg = Ee E g + pe pg = E g (Ee + pe ),(45.7)124Pe Pg¢ = Ee E g¢ + pe E g¢ cos q,(45.8)Pg Pg¢ = E g E g¢ - E g E g¢ cos q .(45.9)Подставляя эти выражения в (45.5), получаемE g (Ee + pe ) - Ee E g¢ - pe E g¢ cos q - E g E g¢ + E g E g¢ cos q = 0 .(45.10)Откуда (возвращаем «с») получаем энергию фотона после рассеянияEe + pecE g¢ = E g.(45.11)Ee + pec cos q + E g - E g cos qДля покоящегося электронаE g¢ = E gmc 2;mc 2 + E g (1 - cos J)l ¢ = l + le (1 - cos J), (45.12)где le = h/mc – комптоновская длина волны, где h = 2p .Рассмотрим интересный случай – «обратное комптоновское рассеяние» света лазера на ультрарелятивистском электроне Ee mc 2 1вблизи q = p (рассеяние лазерного фотона назад).
В этом случае вчислителе (45.11) можно положить pec = Ee , а в знаменателе сделаемa2m 2c 4,,гдезаменуpec = Ee - m c » Ee cos q » -1 +22Eea = p - q . Тогда ответ преобразуется к виду4Ee E gx(45.13)E g¢ = Ee,x=.гдеx + 1 + a 2g 2m 2c 422 4Например: Ee = 100 ГэВ, E g = 2, 5 эВ (видимый свет), тогда x = 4 ипри a = 0 получаем E g¢ = 80 ГэВ, т. е. рассеянные назад фотоны,летящие в направление исходных электронов, уносят 80 % начальнойэнергии электрона. Этот метод получения высокоэнергичных фотоновлежит в основе будущих фотон-фотонных коллайдеров на энергию100–1000 ГэВ.Если параметр x 1 и a = 0 , то E g¢ = 4g 2E g , что совпадает сформулой (42.18) для отражения света назад от движущегося зеркала.125§ 46.
Распад частиц1. Сначала рассмотрим распад покоящейся частицы с массой M надве частицы с массами m1 и m2 . Закон сохранения 4-импульса при таком распаде имеет видP = P1 + P2 .(46.1)Из сохранения нулевой компоненты (энергии) следует, что распадвозможен при (полагаем временно с = 1)M = E1 + E 2 > m1 + m2 .(46.2)Найдем энергию первого осколка. Из (46.1) имеем(P - P1 )2 = P22 = m22 .(46.3)Учитывая, что P = {M , 0}, P1 = {E1, p1 } , получаемM 2 - 2ME1 + m12 = m22 ,(46.4)откуда (возвращаем «с»)E1 =и из симметрии (1 « 2)E2 =M 2 + m12 - m222MM 2 + m22 - m122Mc2(46.5)c2 .(46.6)Это есть решение в системе покоя распадающейся частицы.2. Пусть теперь первичная частица движется со скоростью V и прираспаде одна из конечных частиц с массой m1 º m имеет в системецентра инерции (ц. и.) энергию E 0 º E1 , импульс p0 = E 02 - m 2c 4(полученные выше) и скорость v 0 = p0c / E 0 .
Найдем зависимостьэнергии данной частицы Е от угла q .Из преобразований 4-импульсов следует (с = 1)E 0 = g(E - pV cos J) , где p = E 2 - m 2 .(46.7)Отсюда для E получается квадратное уравнениеE 2 (1 -V 2 cos2 q) - 2EE 0 1 -V 2 + E 02 (1 -V 2 ) +V 2m 2 cos2 q = 0.126(46.8)Из геометрических соображений (так же, как и в случае нерелятивистского распада, рис. 26) ясно, что если v 0 < V , то одному углу соответствует два решения.Написать ответ не представляет труда (писать не будем).
Максимальный угол соответствует случаю равенства нулю дискриминантауравнения. Но мы найдем максимальный угол другим способом. Еслив системе ц. и. частица вылетает под углом q0 , то в соответствие с(42.16) в лабораторной системеtg q =pypx=p0 sin q0g(p0 cos q0 + E 0V c 2 )sin q0=g(cos q0 + V v 0 ).(46.9)Найдем max(tg J) , приравняв (tg q)¢ = 0 . Легко получить, что этопроисходит при cos q0 = - v0 V . Отсюдаtg qm =v0g V 2 - v 02 sin qm =g 0v0gV,(46.10)где g = 1 / 1 -V 2/ c 2 , g 0 = 1 / 1 - v02 / c 2 .3.
В качестве примера рассмотрим распад p 0 -мезона на дваg -кванта.Скорость p 0 -мезона V всегда меньше v 0 = c , т. е. решение однозначно и нет предельного угла. Из формулы преобразования энергии(42.11) в случае фотонаE0 =Vcos q)c,1 -V 2 c 2E (1 -E 0 = m pc 2 2(46.11)получаемE=E 0 1 -V 2 c 2V1 - cos qc127.(46.12)Отсюда находим максимальную и минимальную энергию фотонов(при q = 0 и q = p соответственно)E max =E min =E 0 1 -V 2 c 2V1cE 0 1 -V 2 c 2V1+c=m pc 21 +V c21 -V c=m pc 21 -V c21 +V c= Ep= Ep1 + V /c21 -V /c2,(46.13).(46.14)Найдем энергетический спектр фотонов в лабораторной системе.В системе покоя p 0 распределение по углу вылета фотона изотропно(для других частиц может быть и по-другому)dP (вероятность) =d W04p=2p sin q0d q04pЗдесь элемент телесного угла dW01= - d (cos q0 ) .2(46.15)записан в сферической системекоординат (рис.
5), где координаты задаются (R, q, j) . Возьмем сферурадиуса R и маленькую площадку на ней в интервале углов от q доq + d q и от j до j + d j . Нетрудно сообразить, что она будет близкак квадратной с площадью dS = R sin qd q ⋅ Rd j . Телесный угол, по определению, d W = dS/R 2 , отсюда d W = sin q d q d j . Поскольку угловоераспределение в рассматриваемом распаде может зависеть только отq , то можно проинтегрировать по j , что дает d W = 2p sin q d q , т.
е. вкачестве площадке на сфере мы берем кольцо от q до q + d q . В знаменателе (46.15) 4p происходит от того, что полный телесный уголравен площади сферы 4pR 2 , деленной на R 2 , таким образом, полнаявероятность рассеяться на любой угол равна единице (говорят, что такое распределение нормировано на единицу).Из формулыVE = gE 0 (1 + cos q0 )(46.16)cEcнаходим(46.17)cos q0 = (- 1) ,VgE 0128откудаd (cos q0 ) =cdE.V gE 0(46.18)Подставляя (46.18) в (46.15), получаем энергетическое распределениефотонов в лабораторной системе отсчeтаdP = -c1⋅⋅ dE ,2V gE 0(46.19)т.
е. спектр равномерный от E min до E max . Знак минус здесь можнозаменить на плюс, он зависит от того, откуда отсчитывать энергию.Найдем теперь угловое распределение в лабораторной системеотсчeта. Исходным снова является угловое распределение фотонов всистеме ц. и., в данном случае изотропное (46.15). Для фотонов (световой абберации (23.4))VPE ) cos q -V cg(cosq2Px¢c,(46.20)cos q0 ===E¢Vg(E - PV cos q)1 - cos qcоткуда нетрудно получитьd (cos q0 ) =d (cos q)2æ Vög 2 çç1 - cos q ÷÷÷÷øçèc.(46.21)Подставляя в (46.15), получаем искомое угловое распределениеdp = -12d (cos q)2æ Vög 2 çç1 - cos q ÷÷÷÷øçèc.(46.22)В общем случае, зная угловое распределение в системе ц. м. ииспользуя формулы преобразования углов, можно найти угловыераспределения для любого распада.129§ 47.
Неупругие столкновения, пороги рождения частиц,встречные пучки1. Общий подходПри неупругом столкновении (слипании) двух частиц массами m1 иm2с4-импульсами(полагаемпривычисленияхc = 1)P1 = {E1, p1 }, P2 = {E2 , p2 } образуется частица с массойM 2 = P 2 = (P1 + P2 )2 = (E1 + E2 )2 - (p1 + p2 )2 .(47.1)По другому: M 2 = P 2 = P12 + P22 + 2P1P2 = m12 + m22 + 2E1E2 - 2p1p2 .2. Столкновение движущейся частицы с покоящейся частицей.В этом случаеE = E1 + E 2 = E1 + m 2 ,(47.2)p = p1 + p2 = p1 .Образовавшаяся частица движется со скоростьюp1 c 2c2pv==,EE1 + m2c 2(47.3)ее масса в соответствие с (47.1)M 2 = (E1 + m2 )2 - p12 = m12 + m22 + 2E1m2 .(47.4)Отсюда, для рождения частицы с массой M при столкновении движущейся частицы с неподвижной необходима энергия (возвращаем вформулу скорость света)E1 =(M 2 - m12 - m22 )c 22m2.(47.5)Пример.
Антипротон был впервые наблюден в реакцииp+p p+p+p+p(47.6)при соударении протонов, выпущенных из ускорителя, с неподвижноймишенью. Найдем минимальную энергию протонов, при которой идетданная реакция.130Масса всех конечных частиц на пороге рождения M = 4m p (m p –масса протона). Тогда из (47.5) находимE1 = 7m pc 2 » 6.5 ГэВ.(47.7)На такую энергию специально для этой задачи в Беркли, США, былпостроен ускоритель, на котором в 1955 г. был открыт антипротон.При столкновении с неподвижной мишенью энергия налетающейчастицы идет как на «создание» массы рождаемой частицы, так и на еeкинетическую энергию.
При этом доля энергии, идущая на созданиемассы, падает с ростом энергии. Из (47.4) при E1 m1, m2 находимMc 2E12m2c 2E1.(47.8)3. Встречные пучки.При слипании навстречу летящих частиц с энергиями E 0 и нуле-вым суммарным импульсом образуется частица с массойMc 2 = 2E 0 ,(47.9)при этом вся энергия переходит в энергию покоя конечной частицы.Для рождения одной и той же частицы с массой М на ускорителе снеподвижной мишенью и на встречных пучках в первом случаепотребуется существенно большая энергия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
