1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пусть в лабораторной системе есть магнитное поле Bz .Тогда в системе S ¢ , движущейся вдоль оси X со скоростью V, имеетсякак электрическое, так и магнитное поля: Ey¢ = -gVBc zBz¢ = g Bz .(50.3)Данные преобразования показывают, что электрические и магнитные поля не существуют отдельно друг от друга, а являются частямиэлектромагнитного поля, проявляющегося в действии силы Лоренца надвижущийся заряд.§ 51.
Движение заряженной частицы в магнитном полеРассмотрим движение заряженной частицы в однородном магнитном поле. Компонента силы Лоренца (49.1) вдоль поля равна нулю, поэтому вдоль поля импульс сохраняется. Закон изменения поперечногоимпульсаæödp ^d çç mv^ ÷÷÷ q[ vB]= çç.(51.1)÷=dtdt çç 1- v 2 c 2 ÷÷÷cèøПоскольку сила перпендикулярна скорости, магнитное поле не совершает работы, изменяется лишь направление движения, и в случае постоянного поля это будет движение по окружности. Таким образом,заряженная частица движется в однородном магнитном поле по спирали.
Найдем радиус окружности. Дифференцируя (51.1) с учетом того,dv ^v^2что v = const и= -eR, [ v B] = -eRv^B , получаемdtRq v^Bdp^p v= ^ ^ =,(51.2)dtRcоткуда радиус окружностиpcR= ^ .(51.3)qBДля q = e (заряд электрона) уравнение (51.3) можно записать в удобном для расчетов виде3333 p^c [ ГэВ](51.4)R», см .B[кГс]138Здесь величина магнитного поля выражена в кГс = 1000 Гс (гаусс)(см. единицы измерения электромагнитных величин в следующем параграфе).Найдем уравнение траектории. Пусть магнитное поле B направленовдоль оси Z, тогда продольная скорость (вдоль Z ) постоянна и продольная координата равнаz = v t + const .(51.5)Уравнение движения (51.1) для поперечного движения можно переписать в видеdv ^qB= e z wB ,= v ´ ωB ,где ωB =(51.6)gmcdtгде wB – циклотронная частота.
Заряд движется по окружности со скоростью v^ с круговой частотой wB , отсюда получаются уравнениядвижения по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитномуполюx = x 0 + R cos(wBt + j0 );y = y 0 + R sin(wBt + j0 );(51.7)vx = -RwB sin(wBt + j0 );vy = RwB cos(wBt + j0 ),где x 0 , y 0 – положение центра окружности, j 0 – начальная фаза иR=v^pc= ^ .wBqB(51.8)Следует заметить, что wB , определенная в (51.6), пропорциональна заряду q , т. е. может быть положительна и отрицательна. Если смотретьв направлении поля, то частица с положительным зарядом движется поспирали против часовой стрелки, а с отрицательным зарядом – по часовой стрелке. Это ясно следует из исходной формулы для силы Лоренца.139§ 52.
Системы единиц электромагнитных величинОсновное отличие системы СГСЭ и СИ состоит в электрическихединицах. Обычные механические законы записываются одинаково вобеих системах единиц, отличие состоит только в величинах, взятых заединицу измерений. В случае же электрических явлений имеется отличие даже в формулах.Единица зарядаВ системе СГСЭ единицей заряда является «единица зарядаСГСЭ». Сила взаимодействия двух таких зарядов, расположенных нарасстоянии 1 см, равна 1 дин. В системе СГСЭ кулоновская сила равнаF=q1q 2,(52.1)r2где сила в динах, заряды в ед. СГСЭ, расстояние в см.В системе СИ единицей заряда является кулон (Кл). Кулон – это заряд, протекающий за 1 с при силе тока 1 ампер (А). Ампер (по определению) – это такой ток, при котором два провода с таким током, находящиеся на расстоянии 1 см, притягиваются с силой 2 ⋅ 10-2 дин на1 погонный сантиметр.
Сила для притяжения проводов в системеСГСЭ дается формулой (48.16). Откуда следует, что1 Кл = (с/10) ед. СГСЭ ≈ 3·109 ед. заряда СГСЭ(52.2)10(здесь скорость света в СГСЭ c = 29979245800 » 3 ⋅ 10 см/с).Сила взаимодействия двух зарядов в системе СИ, с учетом определения кулона, получается следующей:F = c 2 10-7q1q 2r2ºqq1 q1q 2= 8987551787,3 1 22 ,24pe0 rr(52.3)где сила выражена в ньютонах, заряды – в кулонах, расстояние – в метрах, скорость света – в м/с.Заряд электрона:e » 1, 6 ⋅ 10-19 Kл » 4, 8 ⋅ 10-10 ед. СГСЭ .(52.4)Примечание: В 2018 года на XXVI Генеральной конференции мер ивесов была принято новое определение ампера, основанное на использовании численного значения элементарного электрического заряда.Ампер есть единица электрического тока в СИ.
Она определена путёмфиксации численного значения элементарного заряда равным1,602176634⋅10−19, когда он выражен единицей Кл, которая равна А·с.140Электрический потенциалВ СГСЭ: при прохождении единичной разности потенциалов кинетическая энергия заряда в 1 ед. СГСЭ изменяется на 1 эрг.
Такая разность потенциалов называется «единицей потенциала СГСЭ»:1 эрг = 1 ед. зар. СГСЭ × 1 ед. потенц. СГСЭ.(52.5)В СИ: при прохождении единичной разности потенциалов кинетическая энергия заряда в 1 Кл изменяется на 1 Дж. Такая разность потенциалов называется вольт (В):1 Дж =1 Кл ×1 В .(52.6)Учитывая, что 1 Дж = 107 эрг, получаем1ед. потенциала СГСЭ эргКл×1 ВольтДж 1зар.СГСЭ1 7 (с[в СГС] /10) 299, 792458 300,10т.
е. 1 ед. потенциала СГСЭ ≈ 300 В.(52.7)Магнитное полеСила Лоренца в СГСЭV´ B) .(52.8)cЕдиница магнитного поля в СГСЭ гаусс (Гс) – эта единица возникаетестественным образом, магнитное поле и напряженность электрического поля в системе СГСЭ имеют одинаковую размерность, равнуюед. потенциала СГСЭ/см (для напряженности поля в СГСЭ не придумали специального названия).Сила Лоренца в СИ (по определению)F = q (E +F = q(E + V ´ B) ,(52.9)все как в СГСЭ, но без скорости света. Единица магнитного поля всистеме СИ тесла (Т).Все остальные величины, входящие в (52.8) и (52.9), выражаются вединицах СГСЭ и СИ соответственно. Из сравнения этих формул следует, что1 T = 104 Гс.(52.10)141Магнитное поле Земли порядка 1 Гс.
Поля в сильных магнитах до105 Гс.Электрон-вольт – это изменение энергии электрона при прохождении разности потенциалов 1 В.1 эВ = e ´ 1 В » 1.6 ´ 10-19 Kл ´ 1 В = 1, 6 ´ 10-19 Дж = 1, 6 ´ 10-12 эрг . (52.11)§ 53. Мюонный коллайдерРассмотрим в качестве примера движения частиц в магнитном полемюонный коллайдер (от collide (engl.) – сталкиваться).
Мюоны – нестабильные частицы ( t 0 = 2 ⋅ 10-6 c), и получать их, а тем более использовать в ускорителях – непростая задача, но очень привлекательная. Дело в том, что мюоны имеют массу mc 2 = 105 МэВ, примерно в200 раз больше, чем у электронов. При одинаковой энергии мощностьсихротронного излучения при движении по окружности у мюонов будет в 40000 раз меньше, чем у электронов. Поэтому с мюонами можнодостичь более высоких энергий, используя кольцевые ускорители, гдепучки сталкиваются много раз.
Интересно, а сколько оборотов можетсделать (в среднем) мюон, пока не распадется?Время жизни мюона в лабораторной системе отсчетаt = gt 0 = 2 ⋅ 10-6 g с. За время жизни он пройдет путь L » ct и совершит n = L/2pR оборотов в ускорителе, отсюдаn=c gt 0eB2p pc»eB t 02pmc.(53.1)Число оборотов не зависит от энергии и определяется только величиной магнитного поля на орбите. Это понятно: и радиус орбиты, и времяжизни пропорциональны энергии. При поле 10 Т = 100 кГс получаемn=4, 8 ⋅ 10-10 ´ 105 ´ 2 ⋅ 10-6 ´ 3 ⋅ 1010» 2700 оборотов.6,28 ⋅ 105 ⋅ 1, 6 ⋅ 10-6(53.2)При вычислении (в системе СГСЭ) числитель и знаменатель были умножены на c и затем в знаменателе энергия mc 2 мюона в МэВ былапереведена в эрг (1 МэВ 1, 6 106 эрг).142ГЛАВА VIОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ, КОЛЕБАНИЯ§ 54.
Одномерное движение в потенциальном поле (нерелятивистское)В общем случае одномерное движение задается уравнениемx = f (x , x ) .(54.1)Когда уравнение написано, то решить его дело техники. Для многихтипов уравнений разработаны специальные математические методы,но часто намного проще решить конкретную задачу на компьютере.Временная шкала разбивается на малые временные интервалы, и накаждом шаге рассчитывается изменение скорости и координаты, используя непосредственно уравнение движения. Однако для установления закономерностей желательно получить результат в виде формулы.Рассмотрим движение в случае, когда сила зависит только от координатыmx = F (x ) .(54.2)В этом случае, как мы знаем, можно ввести потенциальную энергиюU (x ) , такую чтоU (x ) = -ò F (x ) dx ,(54.3)тогда уравнение второго порядка (54.2) сводится к уравнению первогопорядкаmx 2+ U (x ) = E = const .(54.4)2При решении уравнения движения второго порядка возникают двеконстанты (поскольку два интегрирования), зависящие от начальныхусловий ( x 0, v 0 ).
Первая константа появляется при переходе от (54.2) к(54.4) – это энергия E . Уравнение (54.4) устанавливает связь междускоростью и координатой, которые можно нарисовать в виде линий нафазовой плоскости с координатными осями x и x º v . Для каждой Eэто будет отдельная кривая, замкнутая для одномерного ограниченного(финитного) движения и незамкнутая для инфинитного движения. Такие кривые, характерные для конкретного потенциала, называют сепаратрисами. Понятие фазовой плоскости (для одномерного движения) и143EcU (x )mv 22Ex1Xx2Рис.
386-мерного фазового пространствадля движения в трехмерном пространстве широко используется вфизике ускорителей, оптике, статистической и квантовой физике.Рассмотрим потенциал, изображенный на рис. 38, где частица совершает движение (колебания) между точками x 1 и x 2 . Кинетическаяэнергия K = E -U (x ) должна бытьположительной величиной, что иопределяет допустимую областьдвижения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
