1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Это означает, что волны никак не влияют друг на друга,т. е. справедлив принцип суперпозиции.Нетрудно сообразить, что для волн большой амплитуды это не так.Если изменение плотности в волне порядка самой плотности среды, товстречные волны будут отражаться от таких перепадов плотности аналогично тому, как звуковая волна в воздухе отражается от стенки.Ниже мы получим аналогичное уравнение для натянутой струны, азатем еще раз проанализируем решение волнового уравнения (64.5) ипоймем, как y1,2 зависят от начальных условий.§ 65. Волны в натянутой струнеРассмотрим струну, натянутую с силой T , в которой на некоторомучастке Dz частицы имеют малые смещения x в поперечном направлении. Соответствующее продольноеXT2dl » (Dz )2 + x 2 - Dzq 2 удлинение2æ x ö÷» ççç ÷÷ Dz  Dz , т.

е. пренебрежиq1 Tè Dz ø÷1мо мало. Поэтому можно считать, чтонатяжения струны не меняется. СчиxZматаем также, что все углы q »Dzz2z1лы, т. е. sin q » tg q » q .Рис. 47Поперечная сила, действующая накороткий участок струны длиной Dz , равнаææ ¶x ö æ ¶x ö ö÷¶ 2xFx » T (sin q2 - sin q1 ) » T ççççç ÷÷÷ - çç ÷÷÷ ÷÷ = T 2 Dz .çèçè ¶z ÷ø2 çè ¶z ÷ø1 ø÷¶zУравнение движения по X¶ 2x¶ 2xrS Dz 2 = TDz ,¶t¶ z2169(65.1)(65.2)отсюда получаем волновое уравнение и скорость волны в натянутойструне:2¶ 2xT2 ¶ x=c, c2 =.(65.3)22rS¶t¶zПолучим скорость в струне другим, более элементарным способом.Пусть волна бежит по струне со скоростью c . Перейдем в систему бегущей волны. Струна имеет в точке горба возмущения некий радиускривизны R , по которому перетекает масса струны.

Частицы струны вэтой системе отсчета испытывают центростремительное ускорениеc2a= ,(65.4)Rвызванное натяжением. Сила, действующая на участок малой длины l ,Tla. Масса этого участка m = rSl и ускоравна F = 2T sin » T a »2Rрениеa=cTaRTFT=.mrSR(65.5)Приравнивая (65.4) и (65.5), получаемскорость гребня волны, совпадающую с(65.3):Рис. 48c2 =T.rS(65.6)§ 66. Энергия в волнеКинетическая энергия волны в объеме dVrv 2(66.1)dK =dV .2Как нам известно, потенциальная энергия растянутой пружинкиkx 2FESU ==. Тогда для стержня с учетом k º2Dll2k (Dl )2ESl æç Dl ö÷U ==ç ÷ .22 çè l ø÷÷170(66.2)В случае приложенной к торцу стержня силы в стержне бежит волна и,в соответствии с (63.3) и (63.5),vDlc== ,lcПодставляя (66.3) в (66.2), получаемrv 2rv 2U =lS =V22E.rrv 2dU =dV .2(66.3)(66.4)Таким образом, кинетическая и потенциальная энергии в бегущейволне равны!§ 67.

Начальные условияВернемся снова к общему решению волнового уравнения (64.6), состоящего из волн, бегущих в противоположные стороны. Предположим, в некоторой области произошло мгновенное увеличениедавления (ударили по стержню сбоку), тогда в начальный момент естьтолько повышенное давление P в некоторой области, но частицыстержня никуда не движутся. Это состояние можно представить как двепротивоположно бегущие волны, каждая с давлением P/2 иP. При наложении волн, в2rcсоответствии с принципом суперпозиции, давления и скоростисложились, давление стало P , а скорость – ноль.

В результате данноевозмущение вызовет две одинаковые волны, бегущие в разные стороны.В данном примере в начальном состоянии была конечнаяпотенциальная энергия и нулевая кинетическая. Если бы они былиравны, то волна побежала бы в одну сторону – туда, куда направленаскорость частиц. В промежуточном случае (неравные потенциальные икинетические энергии) возникнут две волны с неравными амплитудами.скоростями частиц в волне v = § 68. Столкновение стержнейСтолкновение со стенкойПусть стержень налетает на бесконечно жесткую и массивную стенку со скоростью v .

С момента удара от стенки побежит волна сжатия, вкоторой давление повышено, а скорость частиц равна нулю (рис. 49).Когда волна добегает до конца стержня, он покоится, но находится в171сжатом состоянии. Затем от конца начинает бежать волна разряжения: вволне давление падает до нуля, а частицы движутся в обратном направлении. Когда волна добегает до стенки, стержень отделяется от стенки иулетает со скоростью, противоположной начальной. Время соприкосновения стержня со стенкой t = 2l/c.Столкновение одинаковых стержнейПусть на покоящийся стержень налетает такой же стержень со скоростью v . Перейдем в систему, движущуюся со скоростью v /2 .

Из-засимметрии в этой системе отсчета стержнисталкиваются как бы с неподвижной стенкойи, следовательно, меняют движение на противоположное. Возвращаясь обратно в лабораторную систему, находим, что налетающийстержень остановился и передал полностьюсвой импульс вначале покоящемуся стержню.vvv=0Столкновение стержней разной длиныПусть короткий стержень налетает со скоростью v на покоящийся более длинныйстержень. Перейдем в систему, движущуюсясо скоростью v /2 .

В этой системе стержниv=0налетают с одинаковой скоростью и послестолкновении их торцы остановятся и постержням побегут волны сжатия. Торцы остановятся, поскольку пока волны не сбегалиvтуда-сюда, в этом месте ничего не известно оv=0длинах стержней. Наконец, по короткомустержню пробежала волна разряжения, и онполетел в обратном направлении. В длинномстержне аналогичная волна разрежения ещеvне достигла границы столкновения, однакопосле отлета короткого стержня этот конецоказался свободным и от него пошла волнаразряжения, а сам конец стал двигаться вРис.

49вдогонку отлетающему короткому стержню стой же скоростью, но не давя на него. Далее в длинном стержне будутеще долго бегать волны сжатия и разряжения, но он уже не будет давить на короткий стержень. Перейдя обратно в лабораторную систему,172мы находим, что короткий стержень остановился, а, стало быть, длинный стержень полетел с его импульсом (импульс всегда сохраняется).Получился удивительный результат. Короткий стерженьостанавливается, как и в случае столкновения со стержнем той жедлины, так и при столкновении с более длинным стержнем. В первомслучае при соударении сохраняются и импульс, и энергия (передаютсяпокоящемуся стержню), а во втором случае энергия длинного стержняp2p2, следовательно, удар неупругий, хотя и сталкиваются аб<2m22m1солютно упругие тела.

Это связано с тем, что часть кинетическаяэнергия перешла в колебания длинного стержня, которые постепеннозатухли, перейдя в хаотическое движение молекул, т. е. тепло. Продемонстрировать данный факт экспериментально очень трудно,поскольку нужен идеальный контакт торцов стержней.§ 69. Стоячие волныПусть две синусоидальных волны бегут в противоположных направлениях:y1 = a cos(wt - kx ), y2 = a cos(wt + kx + j) ,(69.1)где w – частота, k = 2p/l .

Фазовая скорость волны (точки спостоянной фазой)c = w/ k . Это могут быть налетающая иотраженная от стенки волны. Суммарная амплитудаy = y1 + y2 = a cos(wt - kx ) + a cos(wt + kx + j) =æ 2pæjöjö= 2a cos ççç x + ÷÷÷ cos çççwt + ÷÷÷.2 ø÷2 ø÷èlè(69.2)Амплитуда зависит от координаты какæ 2pjö(69.3)A = 2a cos ççç x + ÷÷÷2 ÷øèlс пучностями при фазах, равных n p, n = 0, 1, 2  , и узлами прифазах n p + p/2 . Расстояние между соседними узлами (пучностями)равно l/2 .

В узлах молекулы всегда неподвижны, а в пучностяхколеблются с максимальными амплитудами.173Если в натянутой струне возбуждена поперечная волна (или цилиндре сгазом возбуждена продольная волна)то на концах струны смещения частицбудут равны нулю, значит, там распоРис. 50ложены узлы. Таким образом, в этихсистемах могут существовать монохроматические волны только с длиной волны2L, n = 1,2, 3... ,(69.4)nгде L – расстояние между торцами, т. е.

укладывается целое число полуволн. Если начало струны имеет координату x = 0 , то амплитудастоячей волны будет зависеть от координаты какl=pn(69.5)x .LНа рис. 50 показана стоячая волна в струне с длиной волны l = L/2 .A µ sinПусть динамик, расположенный на торце цилиндра с газом, сгенерировал звуковой импульс протяженностью короче длины цилиндра, тогдаэтот сигнал будет бегать туда-сюда.

Однако и он является суперпозициеймонохроматических стоячих волн с длинами волн, даваемыми формулой(69.4), таких, что амплитуды на торцах каждой волны равны нулю.Когда мы оттягиваем гитарную струну за середину, она имеет треугольную форму, значит, не является монохроматической волной. Такая форма складывается из стоячих волн с l = (2L), (2L/2), (2L/3)... .При дергании струны за середину вторая гармоника вообще не возникает, так как она несимметрична относительно середины струны. Несмотря на наличие многих частот в основном слышна самая низкочастотная гармоника (основная гармоника) с l/2 = L . Частота колебанийструны n = c/l , где скорость звука " c " дается формулой (65.3).

От1 T. Для всех струн гитары до2L rSминирующая длина волны одинакова, но частоты разные за счет натяжения и толщины.сюда для l = 2L получаем n =174ГЛАВА VIIIДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ§ 70. Общее решение для движения в центральном полеВ данной главе изучается движение тел, связанных силой, действующей по линии, соединяющей тела. Во взаимодействии участвуютвсегда не менее двух тел. Как было показано в § 28, в случае двух телзадачу можно свести к движению одного тела с приведенной массой вполе неподвижного (бесконечно тяжелого) тела. Вспомним основныемоменты.Задача двух телРассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, сила взаимодействия которых зависит только от расстояния:F21 = -F12 = F(r),r = r2 - r1 .(70.1)Уравнения движения частицm1r1 = -F(r) ,(70.2)m2r2 = F(r) .(70.3)Для относительного расстоянияr = r2 - r1 =где m =F(r) F(r) F(r)+=,m2m1m(70.4)m1m2– приведенная масса.m1 + m2Таким образом, задача двух тел сводится к задаче движения одноготела с массой m под действием силы F(r) .Выберем начало отсчета в системе центра масс.

Расстояния частицотносительно центра масс r1 и r2 находится из уравненийm1r1 + m2 r2 = 0,отсюдаr1 = -m2m1 + m2r2 - r1 = r ,(70.5)m1(70.6)r , r2 =175m1 + m2r.Импульсы и кинетические энергии тел в системе центра массp1 = m1r1 = p2 = m2 r2 =m1m2m1 + m2m1m2m1 + m2r = -m r,r = m r,K1 =K2 =p122m1p222m2=m2 2v ;2m12=m 2v .2m2(70.7)Здесь мы учли, что (r )2 = v 2 .

Характеристики

Список файлов лекций