1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Момент благоприятного взаимного расположения повторяется с периодомTЗTM2p(72.23)T === 2.14 года.wЗ - wM TM - TЗ191Нужно еще учесть, что орбита Марса имеет большой эксцентриситет.Минимальное расстояние до Солнца 207 млн км, максимальное –249 млн км. Если сильно экономить топливо, то подлетать к Марсунужно, когда он находится близко к Солнцу (будет меньше большаяполуось орбиты корабля). Такие удобные моменты будут повторяться счастотой w * равной разности частот обращения Марса w М и частотойw = wЗ - w М , определяющей времена, когда Марс оказывается в нуж-ной точке орбиты корабля (см.

выше). Время, соответствующее частотеTMTЗw * = w М - wЗ - wМ = 2wМ - wЗравно T * = 2p/w * =2TЗ - TM» 15, 7 лет. Это время является также интервалом между великимипротивостояниями Земли и Марса, когда минимальное расстояние составляет 55,76 млн. км. Следующее такое событие будет летом 2018 г.Большой разницы в стартовой скорости на Земле при полете к перигелию или апогелию Марса нет: разница составляет всего 0,3 км науровне 11,6 км. Имеются много других, более существенных определяющих оптимальное время старта и траекторию полетаПолет к СолнцуПосмотрим, сколько времени займет полет к Солнцу и какая дляэтого нужна скорость.Оптимальная орбита для полета на Солнце – это сильно вытянутыйэллипс, имеющий двойную полуось, равную расстоянию до Солнца.С учетом зависимости T 2 µ a 3 находим время полета к Солнцу( )T = 123/2TЗ = 0, 35 года.(72.24)Скорость на орбите Земли должна быть нулевой, для этого нужно запустить ракету в сторону, противоположную орбитальной скоростиЗемли со скоростью 30 км/с.

Вдобавок к этому, нужно выйти за пределы тяготения Земли. Необходимая для всего этого скоростьv = (30)2 + (11,2)2 = 32 км/с.(72.25)Это вдвое больше, чем третья космическая скорость (72.12), необходимая для покидания Солнечной системы.192§ 73. Средние потенциальные и кинетические энергии,теорема о вириалеНачнем с движении по круговой орбите в полеa(73.1)U (r ) = - n .rВ природе чаще всего встречаются силы с n = 1 (электрическое и гравитационное взаимодействия), однако бывают и другие. Например,между нейтральными молекулами существуют силы Ван-дер-Ваальса(диполь-дипольные взаимодействия) с n = 6 .

Кинетическая энергияпри движении по окружности находится из уравнения движенияmv 2na= n +1 .(73.2)rrОтсюда находим соотношения между кинетической, потенциальной иполной энергиямиmv 2nanK == n = - U,222r(73.3)n -2(2 - n )E = K +U =K =U.n2dpdUdU r==, что даетdtdrdr rНапример, для гравитационного поля, n = 1 ,K =-U,2E = -K =U;2(73.4)для поля гармонического осциллятора (U = kr 2 ), n = -2 ,K = U,E = 2K = 2U .(73.5)Пример. Пусть искусственный спутник Земли за много оборотовтормозится в верхних слоях атмосферы, при этом орбита остается примерно круговой. Что происходит со скоростью? На первый взгляд, разна тело действует сила, направленная против вектора скорости, то скорость должна уменьшается. Это было бы так, если торможение происходило на коротком участке орбиты, а при медленном торможениинужно учесть изменение радиуса орбиты.

Торможение означаетуменьшение полной энергии. Из (73.4) следует, что уменьшение полной энергии означает уменьшение потенциальной энергии (уменьшение радиуса орбиты) и увеличение кинетической энергии!193Рассмотрим теперь произвольное финитное движение системы частиц. Запишем уравнение движения для одной частицыF = mv .(73.6)Помножим обе части на r и просуммируем по всем частицам ).å Fr = å m(vrПерепишем, учитывая, что(73.7)d :(vr) = vr + vrdtddå Fr = dt å m (vr) - å m(vr ) = dt å m (vr) - 2K .(73.8)Усредним это выражение по времени, много большему, чем характерные времена в системе ( t » r /v ).

Среднее от функции f (t ) – этоf (t )  f (t ) dt0,  .(73.9)Для предпоследнего члена в (73.8) интеграл равен выражению, стоящему после знака производной. При финитном движении скорости ирасстояния конечные, поэтому сумма в предпоследнем члене (73.8)есть некое конечное число S (t ) , тогда среднее значение этого членаS ( )  S (0)стремится к нулю при    . ОтсюдаK =-12å Fr.(73.10)1å Fr называется вириалом сил, действующих в систе2ме, а выражение (73.10) называют теоремой о вириале (Клаузиус, 1870).В данном выражении F – это сила, действующая на одну из частицсо стороны всех остальных, а r – радиус-вектор частицы.

Суммирование производится по всем частицам, так что (73.10) представляет собойдвойную сумму. Однако ранее мы убеждались, что все силы в системеможно разложить на парные взаимодействия, в которых пары силыимеют противоположные направления, а полная потенциальная энергия системы есть сумма энергий парных взаимодействий. Поэтому, дляВеличина -194простоты, не умаляя общности, рассмотрим систему всего из двух частиц. Тогдаå Fr = Fr + F12 r1 = F(r2 - r1 ) = Fr = -21 2Пусть U = Отсюда¶U r¶Ur.r=¶r r¶r(73.11)¶Uaaar = n n +1 r = n n = -nU ., тогдаn¶rrrr(73.12)å Fr = nU .(73.13)Подставляя в (73.10), получаем для потенциала U = -a/r nnK =- U,2E  K U n2(2  n)KU.n2(73.14)(73.15)В итоге мы получили соотношение между потенциальной и кинетической энергиями в системах частиц, совершающих финитные движения,где потенциальная энергия взаимодействия между частицамиaU = - n .

Оно оказалось таким же, как и для круговых орбит.r§ 74. Астрофизические следствия теоремы о вириалеСвязь излучения с температурой и размером системыПусть есть некоторая туманность, которая светится, тем самым теряя энергию. Из (73.15) для гравитационного взаимодействия ( n  1 )K = -E . Раз E убывает, значит, кинетическая энергия растет. Кине3тическая энергия пропорциональна температуре, K = kTN , ( k –2постоянная Больцмана), поэтому температура тоже растет. При этомUGM 2, уменьразмер туманности уменьшается, поскольку E =  2rшение E означает уменьшение r .Если на Солнце отключить термоядерные реакции, то его температура начнет расти! Собственно, так и происходит. Когда в звезде выгорает водород, она начинает уменьшаться в размерах, ее температура195возрастает и начинают гореть более тяжелые элементы (гелий и т.

д.).«Горением» здесь является синтез тяжелых элементов из легких.Неустойчивость межгалактического газаОднородный газ не может быть гравитационно-устойчивым, поскольку если брать все большие размеры, то потенциальная энергияшара пропорциональна U µ M 2 , а кинетическая энергия пропорциональна количеству молекул, т.

е. K µ M . Для устойчивости же необUходимо K = - . Газовое скопление будет сжиматься, если (опускаем2численные коэффициенты)GM 2³ NkT  nR 3kT .R(74.1)Полагая M  M H nR 3 , n  10-5 см–3 – плотность межзвездного газа,T  104 – характерная температура, находим, что газ неустойчив приkT10-16104R>= 1024 см.2-7-5-48GnM H10 10 10(74.2)Это есть характерное расстояние между галактиками.§ 75. Влияние солнечной радиации на движение малых телДавление светаПусть пылинка радиуса R и плотности r находится на некоторомрасстоянии r от звезды массы M , излучающей во все стороны мощность P . При поглощении света на пылинку действует сила, направленная от звезды,PPR 22.(75.1)⋅p=Frad =R4pr 2c4r 2cСила гравитационного притяженияFg =GMm GM 4prR 3.=3r 2r2(75.2)Обе силы пропорциональны 1/r 2 , так что если одна из них больше другой, то так будет на всех расстояниях.

Пылинка будет удаляться отзвезды при Frad > Fg , т. е. при196R<3P.16p GM rc(75.3)Для Солнца P = 3.9 ⋅ 1033 эрг/с, M = 2 ⋅ 1033 г. Для плотности пылин-ки r = 3 г/см 3 и G = 6.67 ⋅ 10-8 см 3 г -1с-2 (система СГС), получаемR < 2 ⋅ 10-5 см.(75.4)Солнечный свет выдувает из солнечной системы все мелкие пылинки.Эффект Пойнтинга – РобертсонаПусть небольшое тело движется по круговой орбите вокруг Солнца.Солнечный свет падает на тело, а затем эта энергия изотропно (в системе тела) испускается в пространство. При поглощении порции энерdeгии de масса тела увеличивается на dm = 2 .

Эта дополнительнаяcмасса приобретает скорость тела и импульс вдоль траектории движеdeния dp = vdm = 2 v (при этом общий импульс тела вдоль орбиты неcменяется, так как фотоны прилетают перпендикулярно траектории).Световое давление на тело вдоль радиуса приводит только к небольшому уменьшению силы притяжения, которая остается пропорциональна 1/ r 2 (см.

предыдущую задачу), им можно пренебречь.Поскольку температура тела в среднем сохраняется, вся поглощенная энергия излучается изотропно в пространство, унося с собой этотимпульс, забирая его у тела. Следовательно, тело испытывает силу тренияdpde vP pR 2 v,(75.5)==Fтр =dtdt c 24pr 2 c 2где P – мощность Солнца, r – расстояние от Солнца, v – орбитальнаяскорость, R – радиус тела. Сила трения ведет к уменьшению полноймеханической энергии тела, которая, по теореме о вириале, равна половине потенциальной энергии. Отсюда следует уравнение движениетелаæ GMm ö÷PR 2 v 2÷÷ = Fтр vdt = - 2 2 dt ,(75.6)d çççè2r ø÷4r c197GMmPR 2 v 2dr = dt .24 c2Подставляя орбитальную скорость v =(75.7)GM4pR 3, m=r, получаемr3уравнениеrdr = -3Pdt ,8prRc 2(75.8)откуда2r 2 r03Pt.- =228prRc 2(75.9)Отсюда время падения на Солнце ( r = 0 )t=4prRc 2r023P.(75.10)Подставляя радиус орбиты Земли r0 = 150 ⋅ 1011 см , r = 3 г/см 3 ,P = 3, 9 ⋅ 1033 эрг/с , получаемt = 6, 5 ⋅ 1014 R[см ] c =2 ⋅ 107 R[см ] лет .(75.11)За время существования солнечной системы (около 5 млрд лет) с орбиты Земли на Солнце упали все тела с радиусом меньше 250 см.

Они,конечно, не упали, а испарились при падении, а останки вынесло солнечным ветром за пределы солнечной системы. Однако сейчас на орбите Земли могут быть другие тела, которые вначале были на краюСолнечной системы.§ 76. Модель расширяющейся Вселенной, критическаяплотностьИз наблюдений следует, что Вселенная в среднем очень однородна,изотропна, безгранична и при этом расширяется. Если взять две галактики, то они притягиваются друг к другу. Однако на них действуюттакже во все стороны силы со стороны других галактик, так будут лиэти две выбранные галактики ускоряться относительно друг друга?198Рассмотрим модель такой однородной Вселенной, наполненной пылью (нет давления).mНайдем силу, действующую со стороны выделенного в пространстве шара, на маленькоеMпробное тело, находящееся на границе этогоRшара и движущееся при расширении вместе сэтой границей (рис. 58).

Это может быть просто частичка пыли на границы шара. Массапыли внутри шара при расширении сохраняетРис. 58ся и равна M . Если мы находимся в центрешара, то можем сказать, что на пробное телодействуют только масса, расположенная внутри шара, посколькувнешние (для пробного тела) сферические слои не создают поля. Отсюда ускорение пробного тела относительно центра шара равноva =-GM4prR= -G.23R(76.1)Во время расширения на пробное тело действует все время одна и таже масса M , и мы можем записать закон сохранения энергии дляпробного телаv 2 G 4prR 2v 2 GM= A,= A или232R(76.2)где A = const .

Если A = 0 , то скорость на бесконечности будет равнанулю; если A < 0 , то после достижения радиуса R = -GM /A шарначнет сжиматься. При A > 0 шар будет расширяться до бесконечности, при этом v¥ = 2A .При однородном расширении относительная скорость движениядвух точек в данный момент времени пропорциональна расстояниюмежду этими точкамиv = Hr ,(76.3)где H – некая константа, постоянная Хаббла. Она зависит от времени,но в любой данный момент одинакова во всем пространстве. Подставляя в (76.2) v = HR , получаемæ 3H 2ö4A = pGR 2 ççç(76.4)- r ÷÷÷ .÷øçè 8pG3199Здесь плотность взята в тот же момент времени, что и постояннаяХаббла. Получается, что скорость на бесконечности будет нулевая( A = 0 ) при критической плотности3H 2rкр =.(76.5)8pGКритическая плотность является одной из важнейших величин в космологии.

Характеристики

Список файлов лекций