1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Действительно, в перигелии и афелии нет радиального движения, тогдаmv 2 a- ,E=2r(71.12)æöa çç2EL2 ÷÷+11÷,ç2E ççèm a 2 ø÷÷(71.13)L = mvr,отсюдаrmax,min = -1aa = (rmin + rmax ) = ,22E(71.14)что совпадает с (71.8) и (71.9).Период обращенияИз сохранения момента импульсаL = mr 2j = 2mdS,dtS =LT,2m(71.15)где T – период обращения. Учитывая, что для эллипса S = pab, получаемT =2pmabm3/2 m.= pa=2paaL2 | E |3(71.16)Отсюда следует третий закон Кеплера4p 2m 3(71.17)T =a .aЭтот закон легко получить в случае кругового движения, но оказывается формула остается справедливой и для эллиптического движения,если вместо радиуса в формуле использовать большую полуось эллипса. Для гравитационного взаимодействия тел с массами M и m подставляемMma = GMm, m  m =(71.18)M +m2и получаем4p 2a 3T =.G (M + m )2184(71.19)Случай e = 1 , E = 0 – параболаИз (71.4) следует, что в этом случаеDjpL2rmin = =22m aj(71.20)и угол поворота (рис.

54) при облете центра тяготения Dj = 2p , т. е. траектория поворачиваетв обратную сторону ( cos   1 при r   ).Выражение (71.20) также легко получить из законов сохранения энергии и момента импульса,полагая в них E = 0 , тогда rmin находится изРис. 54mv 2 a- = 0.(71.21)r2Случай e > 1 , E > 0 – гиперболаГипербола – геометрическое место точек, для которых абсолютнаявеличина разности расстояний до двух заданных точек (фокусов)(-c, 0) , (c, 0) постоянна и равна 2a < 2c . Уравнение гиперболы в декартовых координатахx 2 y2(71.22)= 1.a 2 b2L = mvr,E=В полярных координатах (71.4) p/r = 1 + e cos j , e > 1 . Минимальноерасстояние равноp.(71.23)e +11Полагая r = ¥ , находим cos j = - . Половина угла поворота траекeтории при пролете мимо центра тяготения (см. рис. 54)rmin =Dj = j -æ 1ö pp= arccos çç- ÷÷÷ - ,çè e ÷ø 22(71.24)отсюдаæ- cos ççDj +çèp ö÷1÷÷ = sin Dj = =e2 ÷ø18512EL21+ma2.(71.25)Если частица имела на бесконечности скорость v¥ и прицельныйпараметр (расстояние между продолжением исходной траектории ицентром тяготения) r , то подставляя в (71.25)L = m rv¥ ,E=2mv¥2,(71.26)нетрудно получитьaGM= 2 .(71.27)2rErv¥Проследим эволюцию орбит при изменении параметров.

Пусть тела пролетают наодном и том же расстоянии от центра тяготения, но с разными скоростями (рис. 55).При малой скорости центр тяготения находится в правом фокусе эллиптической орбиты. При увеличении скорости орбита становится круговой. При еще большей скоростиорбита становится снова эллиптической, ноцентр тяготения находится уже в левом фокусе эллипса. При еще большей скороститраектория становится гиперболической.tg Dj =Рис. 55Случай отталкивающего потенциалаПустьaU = ,rU эфaL2, a > 0.= +r2mr 2(71.28)После вычислений, аналогичных (71.2), получается уравнение траектории, отличающееся от (71.4) только знаком минус перед единицей:p= -1 + e cos j ,r(71.29)где p и e ( e > 1 , т.к.

в случае отталкивания всегда E > 0 ) даютсяформулами (71.5). Расстояние в перигелииrmin =p.e -1186(71.30)Dj rjOРис. 56Половина полного угла поворота при пролете мимо отталкивающего центра (рис. 56)pDj = - j . При r = ¥ из (71.29) имеем21cos j = , тогдаeæpö1sin Dj = sin ççç - j÷÷÷ = cos j = .÷øeè2(71.31)Из сравнения (71.31) и (71.25) следует, что углы отклонения для притягивающего и отталкивающего потенциалов одинаковы! Это весьма неочевидный результат. Половинный угол поворота для частицы, летящей с бесконечности, будет даваться той же формулой (71.27).

Разницатолько в том, что в случае притяжения частица отклоняется в сторонуцентра притяжения, а в случае отталкивания – в обратную сторону.Конические сеченияВыше было декларировано, что формула (71.4) описывает эллипсы,параболы, гиперболы. Покажем это. Учитывая, что cos   x / r , запишем (71.4) в видеr = p - xe .(71.32)Возводя в квадрат, получаемx 2  y 2  p 2  2 pxe  x 2 e2 .Далее, после перегруппировки членов получается1) e  1 (эллипс)2pe xy2pp1  e2  1 , где a и b;222ab1 e1  e22) e  1 (парабола)py 2  2 p  x   ;23) e  1 (гипербола)2pe x 2 ppy2e 1  2  1 , где a  2и b.22e 1abe 1187(71.33)(71.34)(71.35)(71.36)§ 72. Полеты в космосДвижение по круговой орбитеПри движении по круговой орбите вокруг Землиmv 2 GMm=rr2GM.rv=(72.1)Если спутник находится на низкой орбите около Земли, то r = RЗ иv1 =GMRЗ = gRЗ = 7.9 км/с.RЗ2(72.2)– это первая космическая скорость.

Период обращения спутника наоколоземной орбите2pRЗT =GMRЗ= 2pRЗg= 88 мин .Для спутников на геостационарной орбите2prГ= 1 сутки .T =GMrГ(72.3)(72.4)Отсюда rГ = 42200 км и скоростьvГ =GM= 3.07 км/с .rГ(72.5)Вторая космическая скоростьДля вылета на пределы гравитационного поля Земли необходимо,чтобы движение было инфинитно, а для этого, как было установленоранее (в предыдущей лекции), необходимоE=mv 2 GMm> 0.2RЗ188(72.6)Заметим, что эта скорость не зависит от направления запуска ракеты.Минимальная скоростьv2 =2GMRЗ = 2gRЗ = 11.2 км/сRЗ2(72.7)– это вторая космическая скорость.Если скорость ракеты на поверхности Земли v , то скорость на бесконечности ( r  RЗ ) находится из закона сохранения энергии2mv¥2отсюда2mv 2 GMmmv 2 mv2==,2RЗ222v¥= v 2 - (11,2)2 , где скорости в км/с.(72.8)(72.9)Третья космическая скоростьНайдем скорость, необходимую для полета за пределы Солнечнойсистемы.

Скорость Земли на орбите вокруг Солнца (аналог первойкосмической скорости)v1C =GM CrЗ= 29, 76 » 30 км/с.(72.10)Здесь rЗ – радиус орбиты Земли вокруг Солнца, M C – масса Солнца.Для полета на бесконечность с орбиты Земли в поле Солнца необходима вторая солнечная космическая скоростьv2C =2GMCrЗ= 2v1С = 42,1 км/с.(72.11)Следовательно, после выхода за пределы тяготения Земли ракетадолжна двигаться быстрее Земли на 42,1  30  12,1 км/с. Это значит,что на поверхности Земли ракета должна иметь скорость (см.

(72.9))v = (12,1)2 + (11,2)2 = 16, 5 км/с.189(72.12)Полет на МарсСамым экономичным полетом к Марсу является полет, когда ракетастартует вдоль орбитальной скорости Земли идалее, двигаясь по эллипсу, касается орбитыМарса (рис. 57). Действительно, согласно (71.8)GMmполная энергия E  , где a – большая2aполуось. Отсюда начальная кинетическая энергия при старте с орбиты ЗемлиK0 = -Рис.

57GMmGMm GMm, (72.13)-U 0 = +2a2arЗи она уменьшается при уменьшении большой полуоси эллипса.Продолжительность полета (туда-обратно) находится из (71.19)4p 2 (rЗ + rМ )34p 2a 3T ==.GM С8GM С2(72.14)Его можно выразить через периоды обращения Земли и МарсаTЗ2 =4p 2rЗ3GM С, TM2 =4p 2rM3GM C.(72.15)В результате с учетом TЗ = 1 год, TM = 1.88 года получаем31 2/3TЗ + TM2/3 T = 1, 42 года .(72.16)8Полная энергия ракеты при движении по эллипсу, касающемуся орбитЗемли и Марса (рис. 57), дается формулой (71.8)GMC m.(72.17)E =rЗ + rMT2 =()Скорость ракеты на орбите Земли v З находится из сохранения энергииE=mv З22-GMC mrЗ=-GMC mrЗ + rM,(72.18)откудаvЗ =2GMC rMrЗ (rM + rЗ )= v2CrMrЗ + rM» 42,1 ⋅ 0, 78 = 32, 7 км/с.190(72.19)Поскольку имеется скорость орбитального движения Земли 29,76 км/с,то необходимая добавочная скорость 32,7 - 29,76 » 2, 95 км/с. Дляэтого стартовая скорость ракеты на поверхности Земли должна быть(см. (72.9))v = (2, 95)2 + (11,2)2 = 11, 6 км/с.(72.20)Это и есть искомая скорость ракеты для полета на Марс.

Она лишь немного больше второй космической скорости.Заметим, что формулу (72.19) можно легко получить, не прибегая кобщему решению движения по эллиптическим орбитам. В точках, гдеорбита ракеты касается орбит Земли и Марса, скорость ракеты перпендикулярна радиусу. Законы сохранения момента импульса и энергиидля этих двух точек(72.21)v ЗrЗ = v MrM ,v З22-GM CrЗ=vM22-GMCrM,(72.22)откуда сразу получаем для v З выражение, совпадающее с (72.19).Долететь до Марса не так сложно, труднее вернуться. Вторая космическая скорость для Марса около 5 км/с (для Луны 2,375 км/с), такчто стартовая масса посадочного модуля должна быть достаточнобольшая. Возможно, первые покорители Марса полетят в одну сторону.

Сначала с помощью роботов построят жилище, завод по производству жизненно важных продуктов, а затем полетят люди-«переселенцы». Еще одна проблема – это очень высокая радиацияво время полета и на поверхности Марса. Доза, получаемая во времяполета, составляет порядка 100 бэр (1 Зиверт), что является предельнодопустимой для людей. На поверхности Марса радиация примерновтрое выше, чем на орбитальной станции, но там можно спрятаться.Рассмотрим еще вопрос, как часто Земля и Марс имеют расположение, удобное для полетов? Пусть wЗ и wM – угловые скорости движения Земли и Марса вокруг Солнца. Тогда в системе отсчета, вращающейся вместе с Землей, угловая скорость Марса w = wЗ - wM .

Характеристики

Список файлов лекций