1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Заметим, что (r )2 ¹ r 2 . Так, на круговойорбите (r )2 = v 2 , а r 2 = 0 . Полная энергияE = K 1 + K 2 + U (r ) =m2 æç 11 ö÷÷ 2mv 2çç++ U (r ) , (70.8)÷÷ v + U (r ) =2 çè m1 m2 ø2т. е. еще раз видим, что задача двух тел сводится к задаче о движенииприведенной массы в поле бесконечно тяжелого источника поля. После нахождения r(t ) траектория движения каждого из тел относительно центра масс находится из соотношений (70.6).Сохранение момента импульса в центральном полеДалее мы будем рассматривать движение двух тел, связанных силой, действующей вдоль линии, соединяющей тела. Как было показано, данная задача сводится к движению приведенной массы в центральном поле.
Момент импульса сохраняется в любой замкнутой системе, а в центральном поле он сохраняется автоматически, посколькумомент сил, действующий на движущееся тело относительно силовогоцентра, равен нулю. Действительно, момент импульса тела с импульсом p на расстоянии r от источника поляL = [ r p] .(70.9)Изменение момента импульса во времениdL= [ r p] + [ r p ] .dt(70.10)Первый член равен нулю, потому что направления r и p совпадают,второй член также равен нулю, так как сила F = p направлена вдоль r .Поскольку L = [ r p] = const , то движение происходит в одной плоскости, перпендикулярной L .176Общее решениеДля нахождения траектории и периода движения достаточно воспользоваться законами сохранения момента импульса и энергии.
В цилиндрических координатахdSr 2d j2L = [ r p] = rmv^ = mr j = 2mdS == const,,(70.11)dt2это означает, что площадь, заметаемая радиус-вектором за единицувремени (секториальная скорость), постояннаdS= const .dt(70.12)Как обсуждалось ранее в § 31, центральное поле является потенциальным (консервативным), т.
е. в нем справедлив закон сохраненияэнергииmv 2mE=+ U (r ) = (r 2 + r 2j 2) + U (r ).(70.13)22Полную энергию можно записать в видеE=m 2r + U эф (r ),2U эф (r ) = U (r ) +L2,2mr 2(70.14)что соответствует радиальному (одномерному) движению в эффективном потенциале U эф (r ) , содержащем кроме потенциальной энергииU (r ) дополнительное слагаемое L2 2mr 2 , которое называют центробежным потенциалом или центробежной энергией. Отсюда радиальная скоростьr =dr2=E -U эф (r ) .dtm()(70.15)Знак « » означает тот факт, что при данном r частица может двигаться как к центру, так и от центра с той же скоростью. Можно выбрать любой знак, поскольку эти два решения отличаются только началом отсчета времени. Для определенности выбираем знак «+».177Интегрируя (70.15), находим связь между временем и радиальной координатойrt=m2òr0drE -U эф (r )+ t0 .(70.16)Учитывая связь между углом и временем (70.11)L(70.17)dtmr 2и подставляя dt из (70.15), получаем уравнение траектории в плоскости (r, j)dj =j=m2òLdrmr 2E -U (r ) -2L2mr 2+ const .(70.18)Границы области движения по радиусу соответствуют r = 0 в (70.14),т.
е. r находится из уравненияL2.E = U (r ) +2mr 2(70.19)Если имеется две границы rmin и rmax , то движение называется финитным (ограниченным). Угол поворота при движении от rmin до rmax и об-ратноLdrmr 2rmaxDj = 2mòrminL2E -U (r ) 2mr 2.(70.20)Траектория замкнута, если Dj = 2p k n , где k, n – целые числа (траектория замыкается после n колебаний по радиусу и k полных оборотов по j ). В общем случае траектория незамкнута. Оказывается, оназамкнута только для потенциалов U = -a/r при любых L и E < 0 иU = m w 2r 2 /2 (пространственный осциллятор) при любых L и E .178Падение на центр возможно, если r 2(r = 0) > 0 , т.
е. (см. (70.14))L2>02mr 2при r 0 ,(70.21)L2< Er 2 = 02mпри r = 0 .(70.22)E -U (r ) -илиr 2U (r ) +Поскольку E – конечная величина, то последний член в выраженииравен нулю. Отсюда следуют условия падения на центр:1) L = 0(следует из (70.21));(70.23)L2aL2a=(– круговая орбита);(70.24)иa>2m2mr2a3) U = - n , n > 2 , a > 0 .(70.25)r1В слабом гравитационном поле U µ - , поэтому частицы не паrдают на центр, однако в сильном гравитационном поле (вблизи черныхдыр) в потенциале появляются члены более высокой степениabU µ - - 2 ... , что приводит к падению материи на центр тяготения.r rПримеры эффективного потенциала1. Притягивающий кулоновский (гравитационный) потенциалaaL2.
(70.26)U = - , U эф = - +U эф (r )rr2mr 2На малых расстояниях доминирует второй член, на больших – первый член.E2При E > 0 (линия E 2 ) частица, приле-2) U = -rE1rminrmaxРис. 51тевшая из бесконечности, отразится отпотенциального барьера и улетит обратно (инфинитное движение). Для финитного движения необходимо E < 0(линия E1 ), при этом движение по радиусу ограничено rmin и rmax .1792. Пространственный осцилляторПространственный осциллятор – этотело на пружинке, которое может нетолько колебаться вдоль пружинки, нои вращаться вокруг закрепленногоконца.
В этом случаеU эф (r )ErrminU =kr 2,2U эф =kr 2L2+. (70.27)22mr 2Движение финитно при любой физически возможной энергии.rmaxРис. 52Движение по круговым орбитамЧастица движется по окружности, если rmin = rmax . При этом¢ = 0 . ПустьU эфnaa, F = - n +1 .nrrЧастица будет двигаться по окружности приU =-(70.28)mv 2na= n +1 .(70.29)rrЭто получается как из приравнивания ускорения, вызванного силой,ускорению, необходимому для движения по окружности ( r = -v 2/ r ),¢ = 0 , где U эф дается (70.14).так и из U эфКазалось бы, все просто, при каждом радиусе найдется скорость,необходимая для кругового движения. Но будет ли это движение устойчиво? Движение устойчиво, когда на круговой орбите эффективныйпотенциал имеет минимум, и неустойчиво (падение на центр), когда вэтой точке U эф имеет максимум.Условия устойчивости движения аналогично условиям падения нацентр, рассмотренным ранее:a > 0, 0 < n < 2 ;(70.30)a < 0,n < 0.180(70.31)При устойчивом движении небольшой радиальный толчок тела приведет к колебаниям вблизи исходной круговой орбиты, например, приn = 1 окружность превращается в эллипс.Гравитационный потенциал удовлетворяет условию (70.30), а пространственный осциллятор – условию (70.31).
Однако если потенциалaU (r ) = - 10 , то тело будет двигаться по окружности, но неустойчиво.rМалейшее начальное радиальное движение будет нарастать, и телоупадет на центр или улетит на бесконечность.§ 71. Кеплерова задачаНемецкий математик и астроном Кеплер (1571–1630) из анализаданных датского астронома Тихо Браге (1546–1601) установил три эмпирических закона.1. Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, водном из фокусов которого находится Солнце.2. Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центрСолнца, причем за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.3.
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятсякак кубы больших полуосей орбит планет: T12 T22 = a13 a23 .Применяя третий закон Кеплера к круговому движению в гравитационном поле, нетрудно найти, что для этого сила должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния. Об этом догадывались ещедо Ньютона (в письме Галею Ньютон упоминал имена Буллиальда, Рена и Гука как своих предшественников).
Исаак Ньютон строго математически показал, что при силе, обратно пропорциональной квадратурасстояния, планеты движутся по законам Кеплера, поэтому его считают автором закона всемирного тяготения. Рассмотрим эту задачу.Траектория движенияИтак, имеемaaL2U = - , U эф = - +, a > 0,rr2mr 2m a2L2при r* =,U эф, min = 2Lmaгде последнее соотношение соответствует круговому движению.181(71.1)Из (70.18) получаемj=Ldrr2ò2öæçç2mE + 2m a - L ÷÷÷ççèrr 2 ÷ø= -òУчитывая, чтоò+ const =(71.2)æ L am ö÷÷d çç çè rL ÷÷ø222öæçç2mE + a m ÷÷ - æçç L - am ö÷÷÷çèçL ø÷÷L2 ø÷ èç rdxa2 - x 2= - arccos+ const.x, получаемaL amrL+ const .j = arccos(71.3)22am2mE + 2LВыбором начала отсчета делаем const = 0 .
Отсюда траектория движенияp= 1 + e cos j ,(71.4)rгде введены обозначенияp=L2,mae = 1+2EL2.m a2(71.5)Это кривые, соответствующие коническим сечениям (кривые, покоторым поверхность круглого конуса пересекается плоскостью,см. курс аналитической геометрии). Величины p и e называютсяпараметром и эксцентриситетом орбиты.В аналитической геометрии показывается, что приe = 0 – это круг;e < 1 – эллипс ( E < 0 – финитная траектория);e = 1 – парабола ( E = 0 );e > 1 – гипербола ( E > 0 ).182Случай e < 1 , E < 0 – эллипсРассмотрим случай эллиптической траектории.
Как известно, у эллипса имеется два фокусаисумма расстояний отa pфокусов до любой точкиbпостоянна и равна 2a .j2bУравнение эллипса в деC c OO¢картовых координатах сначалом в центре эллипса2armaxx 2 y2+= 1.a 2 b2rmin(71.6)Центр тяготения находится в одном из фокусов,пусть в правом (рис. 53).Из (71.4) минимальное расстояние от фокуса (перигелий) и максимальное расстояние (афелий или апогелий)pprmin =, rmax =,(71.7)1 +e1 -epпараметр p равен радиусу при j = . Большая полуось21aap==(71.8)a = (rmin + rmax ) =222E2|E |1 -eРис. 53(при финитном движении энергия отрицательна, поэтому здесь использован модуль E , чтобы знак минус не вводил в заблуждение), отсюдаrmin = a(1 - e),rmax = a(1 + e) .(71.9)Расстояние между фокусом и центром эллипсаc = 0.5(rmax - rmin ) = ae ,(71.10)малая полуосьb = a 2 - c2 = a 1 - e2 =p1 -e2=L2m | E |.(71.11)Как мы видим, большая полуось a зависит только от полной энергии,а малая полуось – также от момента импульса.183Заметим, что выражение для rmax , rmin , и a , легко получить из законов сохранения энергии и момента импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
