1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 25
Текст из файла (страница 25)
При уменьшении длины нитки энергия возрастает, поскольку совершается работа больше, чем mg Dl .160Итак, при медленном изменении параметров осциллятора инвариантом является величинаEI =.(60.7)w0m w02x 02, а максимальная скорость v 0 = w0x 0 , то пло2щадь внутри фазовой кривой является адиабатическим инвариантомПоскольку E =x 0v 0 = const .(60.8)Формула (60.7) справедлива для случая, когда масса не меняется.Изменение массы означает, что система незамкнута, в этом случае решение задачи зависит от механизма изменения массы.
В случае симметричного испарения суммарная реактивная сила, действующая натело со стороны отлетающих частиц, равна нулю, тогда вместо (60.5)получится 2 22xx 2mxxkxx 2kxx 2E =+k++ m=+ m+ x (kx +mx) =2222220(60.9) 2æ k m ö Ekxx 2=+ m= ççç + ÷÷÷.22è k m ø÷ 2ОтсюдаdE1 dk 1 dm=+E2 k2 m ln E =1ln km + const2I =EkmEkm.= const .(60.10)Примеры.1. Математический маятник (маленькое тело на нитке в поле тяжести).
В этом случае уравнение колебаний mx = -mgx/l , т. е. эффекE l. При исm gпарении получается E µ m , что естественно, так как при испарениидоля уносимой энергии, как кинетической так и потенциальной, пропорциональна доле отделившейся массы. Более удивительным являет-тивный коэффициент жесткости k * = mg/l .
Тогда I =161ся возрастание энергии колебаний при укорочении нитки: E µ 1/ l .Это связано с тем, что при втягивании нитки через точку подвеса совершается работа не только против силы тяжести ( mg ), но и противдополнительного натяжения нити, связанного с колебаниями ( mv 2/l ).2. Тело на пружинке. В этом случае инвариант дается уравнением(60.10).
При медленном испарении E µ m . Заметим, что при испарении только в точке с максимальной амплитудой энергия не зависелабы от массы, а при испарении только в точке с максимальной скоростью энергия была бы пропорциональна массе. При адиабатическомиспарении получается промежуточный результат.Заметим, что при адиабатическом испарении массы для маятникаE µ m , а для пружинки E µ m .
Это различие возникает из-за того,что в случае пружинки при мгновенном испарении массы Dm уменьшается кинетическая энергия оставшейся части тела, а потенциальнаяэнергия сохраняется, в то время как у маятника уменьшаются и кинетическая и потенциальная энергии.Интересно, что при увеличении коэффициента жесткости энергияколебаний увеличивается.
Откуда она берется? Что значит увеличитьжесткость в момент, когда пружинка уже частично растянута? Для этого к ней нужно прицепить параллельно еще одну растянутую пружинку. Вот она то и приносит дополнительную энергию.162ГЛАВА VIIВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ§ 61. Упругие средыДеформации тел под действием сил называются упругими, если приснятии напряжения их размеры восстанавливаются.
При небольшихотносительных деформациях относительное удлинение пропорционально приложенной силе, деленной на поперечное сечениеT = -P =FFZРис. 45FDlk Dl=Eº Ee º,SlSгдеE–модуль(61.1)Юнга,e=Dl,lFES=. Данное соотношение наDllзывается законом Гука.kºПри продольном растяжении (вдоль Z) поперечные размеры стержня уменьшаютсяDxDyDzDl== -mº -m,(61.2)xyzlгде m – коэффициент Пуассона.Изменение объема при растяжении в одном направленииDVD(xyz ) Dx Dy DzDz==++=(61.3)(1 - 2m) ,Vxyzxyzz1так что при m = объем сохраняется. Для резины m » 0.5 , металлов2m » 0.3 , алмаза 0.07.При равномерном обжатииex = ey = ez = -163P(1 - 2m) ,E(61.4)отсюдаDVDx Dy DzP=++= ex + ey + ez = - ,(61.5)VxyzKE– коэффициент объемного сжатия.где K =3(1 - 2m)Коэффициент Пуассона не может быть больше 0.5, иначе при прикладывании внешнего давления объем будет расти и тело будет совершать работу.
При снятии давления объем вернется к прежнему значению. Процесс можно повторить много раз, получается неисчерпаемыйисточник энергии, что невозможно.Рассмотрим стержень, который не может расширяться вбок, так какс боков очень твердая среда. Тогда при приложении Pz возникают Px ,Py такие, что поперечные размеры не меняются:PmDx= - x + (Py + Pz ) = 0xEEPymDyey == - + (Px + Pz ) = 0.yEEex =(61.6)ОтсюдаPx = Py =ez = -PzE+mmP,1- m z(Px + Py )E=-Pz çæPz2m2 ÷÷öçç1 ÷÷ = - ,E çè1 - m ÷øE¢(61.7)гдеE¢ = E1- m(1 + m)(1 - 2m)(61.8)– модуль одностороннего сжатия. Например, если резинку поместить вметаллическую трубку, то в продольном направлении у нее будеточень малая сжимаемость и, соответственно, очень большой эффективный модуль Юнга.164§ 62.
Волны в среде, модель с шарикамиПредставим среду как линейку из стоящих вплотную шариков. Если крайнему шарику сообщить скорость, то он ударится о следующийшарик и остановится, передав ему весь свой импульс. Далее второйшарик ударит по третьему шарику и остановится и. т. д. В каждый момент в движении будет находиться только один шарик, а в конце будетдвигаться только последний шарик.Если после того как первый шарик остановится, по нему снова ударить, то по цепочке побежит волна, состоящая из двух шариков.В конце все шарики будут стоять, кроме двух последних.Теперь заменим шарики тонкими пластинками, стоящими вплотнуюдруг к другу (получается стержень), и начнем ударять по первой пластинке после каждой ее остановки.
По стопке побежит волна длительностью, равной времени воздействия на торец стержня. С уменьшением толщины пластинки к нулю удары становятся бесконечно частымии воздействие сводится к действию постоянной силы.§ 63. Скорость звука в упругой средеПриложим силу F к концу стержня, тогда он начнет двигаться снекоторой скоростью v и по стержню побежит волна сжатия со скоростью звука c .
Пусть v c , тогдаBFd (mv )cv= F,(63.1)dtРис. 46Отсюдаmv » (r + dr)S (c - v )vt » rScvt.P = F/S = rcv .(63.2)Относительное сжатие части стержня АВ равноDlvtv=- =lctc(63.3)(левый край передвинулся на vt ). ОтсюдаP = -EDlv=E .lc165(63.4)Приравнивая (63.2) и (63.4), получаем скорость звука для среды, подчиняющейся закону Гука,c=E.r(63.5)Из (63.2) находим скорость левого конца стержня v = P/rc = P/ rE .В общем случае вместо (63.4) можно записать уравнение непрерывности на движущейся границе B.
Переходим в систему отсчета движущегося фронта B, спереди фронта за единицу времени падает массаrc , а за фронт уходит (c - v )(r + d r) . Из сохранения потокаrc = (c - v )(r + d r), dr » rvc(63.6)(этот результат похож на (63.3), так как d r/r = -dl/l ). Объединяя(63.2) (с заменой P на dP) и (63.6), находим скорость звукаc=dP.dr(63.7)rdldP=rи для скорости звука поlEлучаем формулу (63.5). Используя (63.7), в курсе молекулярной физики будет получена скорость звука в газеВ случае закона Гука d r = -c= gP,rгдеg=cPcV.(63.8)Следует заметить, что формула (63.5) справедлива только для тонкихстержней, когда ничего не мешает стержню расширяться вбок.В противном случае вместо E нужно использовать E ¢ (формула (61.8)),тогда продольная скоростьc =E1- m.r (1 + m)(1 - 2m)(63.9)Эта скорость больше, чем в тонком стержне. Приближение толстогостержня работает в случаях: 1) стержень находится в очень жесткойтрубке; 2) длина стержня короче толщины; 3) длина волны меньшетолщины стержня.166Для справки: существуют еще и поперечные волны (частицы колеблются поперек движения волны).
Для нихc^ =G,r(63.10)E, при этом всегда c > c > c^ .2(1 + m)Поперечные волны существуют только в твердом веществе, вжидкости при сдвиге слоев не возникает возвращающих сил. Именнопо этому признаку геологи различают твердые и жидкие породы.где модуль сдвига G =§ 64. Волновое уравнениеРассмотрим звуковую волну в газе. При распространении волныпроисходит 3 явления.1. Газ движется, плотность меняется.2. При изменении плотности меняется давление.3. Неравномерность давления вызывает движение газа.Начнем с пункта 2.
В общем случае P = f (r) . В равновесииP0 = f (r0 ) . Отсюда отличие давления и плотности от равновесныхзначений в звуковой волне¶PPu = kru , где k =.(64.1)¶rЗдесь индекс u относится к изменению давления и плотности в волне.Теперь используем явление 1. Пусть в волне продольное (X) смещениечастиц равно y(x , t ) и в данный момент времени это смещение различнодля точек с разными начальными координатами x . Тогда возникает изменение плотности. Пусть x – невозмущенное положение частицы. В волнеона сместится в точку x + y(x , t ) .
Другая невозмущенная частица с координатой x + Dx при этом сместится в точку x + Dx + y(x + Dx , t ) .Частицы, которые находились в интервале Dx , теперь будут нахо¶yдиться в интервале Dx + y(x + Dx , t ) - y(x , t ) = Dx +Dx , где¶xвторой член много меньше первого, так как смещения малы. Из сохра-167æ¶y ö÷÷ . В этом выражениинения числа частиц r0Dx = (r0 + ru )Dx çç1 +çè¶x ø÷÷¶yявляются малыми величинами одного порядка. Пренебрегая¶x¶yвторого порядка малости, получаемчленом ru¶x¶yru » -r0.(64.2)¶xНаконец, явление 3 дает уравнение движения объема частиц винтервале Dxæ ¶2 y ö÷æ ¶2 y ö÷¶P¶P(64.3)r0Dx ççç 2 ÷÷ = - u Dx r0 ççç 2 ÷÷ = - u .÷÷çè ¶t ø÷dxdxèç ¶t ø÷ru иæ ¶2y ö¶rПодставляя (64.1) в (64.3), имеем r0 ççç 2 ÷÷÷ = -k u и с учетом (64.2)çè ¶t ÷ødxполучаемæ ¶ 2 y ö÷¶2 y¶Pçç÷÷ = c 2c2 = k =,.(64.4)2çç ¶t 2 ÷¶rdxèøНетрудно убедиться, что решением волнового уравнения являютсяфункцииæxö(64.5)y(x , t ) = y ççt ÷÷÷,çèc ÷øт.
е. любые функции, описывающие возмущения в среде, бегущие влевои вправо со скоростями c . Действительно, подставляя (64.5) в (64.4),получаем в левой части y ¢¢ и в правой y ¢¢ , где производная берется поаргументу функции (t x / c) , т. е. решение (64.5) удовлетворяет волновому уравнению (64.4). Это бегущая волна, поскольку если в точкеx = 0 в момент t = 0 было возмущение y(0) , то такое же возмущениебудет через время t в точке x = ct .
Таким образом, общее решениеволнового уравненияææxöxö(64.6)y(x , t ) = y1 ççt + ÷÷÷ + y2 ççt - ÷÷÷ .çèc ø÷c ø÷èçЗаметим, что скорость звука (64.4) совпадает с полученным ранее выражением (63.7).168Принцип суперпозицииЕсли в среде возбуждено несколько волн и для каждой из них имеется решение вида (64.6), то нетрудно видеть, что и сумма этих волнявляется решением волнового уравнения линейного (в первой степени)по амплитуде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
