1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Полагая в (57.11) t = 0 , сразу получаем c1 = x 0 . Вторуюконстанту находим, дифференцируя (57.11) и приравнивая v 0 при t = 0 :x ¢(t ) = -ge-g t(c1 cos Wt + c2 sin Wt ) + ex ¢(0) º v 0 = -gc1 + c2W , откуда c2 =-g t(-c1W sin Wt + c2W cos Wt ) ,v 0 + gx 0.WВ результате получаем искомое решение при g < w 0 :x (t ) = e -gt (x 0 cos Wt +v 0 + gx 0sin Wt ) .(57.14)WЕсли w0 < g , то в (57.8) выражение под корнем становится отрица-тельным и решение естьZ = A 1e-gt -g 2 -w02 t+ A 2e-gt + g 2 -w02 tæ - g2 -w02 t+ c2ex = Re Z = e-gt ççc1eçè153,(57.15)g 2 -w02 t ö÷÷÷ .ø(57.16)В этом случае решение апериодическое, при затухании совершаетсяменее одного колебания. Константы c1, 2 легко находятся из начальныхусловий, аналогично предыдущему случаю (найдите сами).Наконец, рассмотрим случай g = w 0 .

Если подставить g = w 0 в(57.16), то получим x = c e -gt . Это неверно! Одна константа не можетудовлетворить двум начальным условиям (координата и скорость).В теории дифференциальных уравнений показывается, что решениемуравнения x + 2gx + w02x = 0 при g = w 0 являетсяx (t ) = (c1 + c2 t )eЭто можно показать так. Положим-g t.(57.17)g 2 - w02 = e  0 .

С учетом ма-лости e и того, что e x » 1 + x при малом x , формулу (57.16) можнозаписать в видеx (t ) = e -gt [b1(1 - et ) + b2 (1 + et )] = e -gt [(b1 + b2 ) + e(b2 - b1 )t ] .(57.18)Делая замену b1 + b2  c1 , e(b2 - b1 )  c2 , получаем (57.17). Константа c2 может быть и не малой величиной (хотя содержит малую e ), есликонстанты b1 и b2 очень большие и противоположные по знаку. Начальные условия учитываются аналогично (57.14).

В результате получаетсяx (t ) = e-gt [x 0 + (x 0 g + v0 )t ] .(57.19)Таким образом, получены решения для всех случаев свободных колебаний с затуханием.§ 58. Вынужденные колебанияРассмотрим движение осциллятора с затуханием под действиемвнешней гармонической силы F (t ) = F0 cos w t (для удобства выборомначала отсчета времени делаем начальную фазу равной нулю). Уравнение движенияx + 2g x + w02x =154F0mcos w t .(58.1)Как обсуждалось в § 56, общим решением данного уравнения являетсясумма решения однородного уравнения (без правой части) и частногорешения неоднородного (с правой частью) уравнения.

Найдем это частное решение. Записываем силу в виде F = F0e iwt и ищем решение ввиде Z = Ae iwt . Подставляя в (58.1), получаемAeiwt (-w 2 + i w2g + w 20) =F0meiwt ,(58.2)откудаA=F0m(w 20- w 2 + i 2wg ).(58.3)Решение неоднородного уравненияx (t ) = Re(Ae iwt ) =F0 cos(wt + d)m (w 20- w 2 )2 + 4 g 2 w 2= a cos(wt + d) ,(58.4)где относительная фаза между координатой и силойatg d =sin d-2gw= 2.cos dw 0- w 2(58.5)Легко найти, что амплитуда достигаетмаксимума приw * = w02 - 2g 2 .*(58.6)Зависимость амплитуды от частоты изображена на рис. 43. Амплитуда колебанийРис.

43равнаw=0a=F0m w02w = w*a=w  w0a==F0– растянутая пружина,kF02m g w02 - g 2,(58.8)F0mw221 + 4 g /w155(58.7)2=F0w02k w 2 1 + 4g 2/w 2. (58.9)В случае малого трения, w0  g ,w * » w0a=F02m gw0=F0 w0m w 2g20=F0kQ,(58.10)т. е. амплитуда в резонансе в Q раз (Q – добротность) больше, чем пристатическом воздействии.При малом затухании, g  w0 ,aµ1(w0 + w)2 (w0 - w)2 + 4 g 2 w 2»12w0 (Dw)2 + g 2(58.11)и при Dw = g амплитуда падает в 2 раз.

Относительная ширина резонансной кривой2Dw2g1== .(58.12)w0w0 QИсследуем поведение относительной фазы d , даваемой (58.5). Этаформула записана так, что числитель равен синусу, а знаменатель косинусу этой фазы. Отсюда находим относительный сдвиг фазы координаты и силы:w=0 d = 0,pw = w0d =- ,(58.13)2w  w0 , w  g  d = -p.Интересно посмотреть сдвиг фазы для скорости. Если x = a cos wt , тоæpöx ¢/w = -a sin wt = a cos çççwt + ÷÷÷ , т. е. скорость опережает координату2 ø÷èпо фазе наp, а значит, сдвиг фазы скорости относительно силы будет2pw = 0  dF = ,2(58.14)w = w0  dF = 0,pw  w0  dF = - ,2т.

е. в резонансе скорость и сила находятся в фазе, при этом мощность,закачиваемая в осциллятор, максимальна.156Общее решение уравнения колебаний под действием внешней силыесть сумма решения однородного уравнения и найденного выше частного решенияF0 cos(w t + d)x (t ) =+ (57.11), (57.16) или (57.17) (58.15)m (w 20- w 2)2 + 4g 2 w 2для w0 > g , w0 < g и w0 = g соответственно.Рассмотрим еще отдельно случай g = 0 , при этомx (t ) =F0 cos w tm(w 20- w 2)+ c1 cos w0 t + c2 sin w0 t.(58.16)Пусть x (0) = 0, x(0) = 0 , тогда получается c2 = 0 иx (t ) =F0 (cos w t - cos w0 t )m(w 20- w 2)=-æ w + w ö÷ æ w - w ö÷0 ÷0 ÷2F0 sin çççt ÷ sin çççt÷÷÷øèç 2ø èç 2m(w 0+ w)(w 0- w).

(58.17)æ w + w ö÷0 ÷Здесь sin çççt ÷ описывает быстрые колебания на полусумме час÷øçè 2æ w - w ö÷0 ÷t ÷ – медленные биения на полуразности частот, т. е.тот, а sin ççç÷øçè 2амплитуда то нарастает, то убывает. При w = w0x µ t sin w0t ,(58.18)т. е. амплитуда растет линейно со временем.Потери энергии осциллятора при малом затуханииПри малом затухании, w0  g,dáE ñmv 22= fтрv = - bv = -4g= -2 g E ,dt2(58.19)отсюдаdáE ñ= -2gáE ñdtáE ñ = E 0e-2gt .Это следует также из того, что E µ v 2 µ x 2 µ (e -gt )2 = e -2 gt .157(58.20)Работа сил при вынужденных колебанияхЕсли осциллятор с малым затуханием колеблется с постоянной амплитудой, то мощность внешних сил равна потерям энергии на трениеP ==dáE ñ= 2gáE ñ = 2gm x 2 = 2gm w02 x 2dtgw02F02m [(w 20- w 2 )2 + 4g 2 w 2 ](58.21).Например, при облучении атомов светом с напряженностью электрического поля  = 0 cos wt происходит рассеяние (т.

е. поглощение иизлучение света), при этом мощность дается формулой (58.21), гдеF0 = e0 . Наиболее интенсивно рассеяние происходит на резонанснойчастоте (см. (58.6)) w * = w02 - 2g 2 » w0 .§ 59. Параметрический резонансПри вынужденных колебаниях к осциллятору прикладывается внешняя сила. Внешнее воздействие может также осуществляться путем изменения во времени параметров системы. При некоторых частотах изменения параметров может возникать параметрический резонанс. Рассмотрим такой резонанс на частном примере – обычных качелях.При раскачке качелей мы внизу встаем, а в верхней точке приседаем.

В верхней точке качели покоятся, и приседание на их движение невлияет (только меняется на мгновение натяжение веревок). В нижнейточке встаем на dl при длине качелей l . Из сохранения момента импульсаævldl ö(59.1)» v çç1 + ÷÷÷ .v + dv =çèl - dll ÷øНайдем изменение энергии. В нижней точке потенциальная энергияравна нулю, поэтомуE=mv 2,2dE = mvdv = mv 2158dldl= 2E .ll(59.2)Это есть приращение энергии за одно вставание. С учетом того, что заодин период качели проходят нижнюю точку дважды, то число вставаний за время dt будет2dtdN =,(59.3)Tw dl2w dldE4dl dtотсюда== 4 0 dt,(59.4)E = E 0 exp( 0 t ) .El T2p lp lЭнергия качелей растет, потому что при вставании в нижней точке совершается бóльшая работа, чем возвращается при приседании в верхней точке, ввиду дополнительной прижимающей вниз силы mv 2/l .

Поскольку есть затухание E = E 0e-2gt , то для роста амплитуды нужно2w0 dldlgpp>=.> 2g илиp llw02Q(59.5)§ 60. Адиабатический инвариантРассмотрим следующую задачу. Пусть маленький шарик летаетмежду неподвижной стенкой и тяжелой пластиной, удаляющейся отстенки со скоростью u , упруго отражаясь от них. При этом пластинадвижется очень медленно, так что за один период движения шарикаотносительное изменение расстояния между стенкой и пластиной мало. На фазовой плоскости шарик описывает траекторию, показанную на рис.X44 сплошной линией. Через большоеvколичество периодов движения фазоваятраектория изменится, как схематичноXпоказано пунктирной линией. Как меняется площадь S внутри фазовойкривой?xРис.

44Поскольку S = 2xv, то ее изменениеDS = 2(v Dx + x Dv ) .(60.1)Изменение модуля скорости шарика при упругом отскакивании отстенки, удаляющейся со скоростью u , равноDv = -2u .159(60.2)Это следует из того, что в системе стенки шарик до столкновения имеет скорость v - u , которая меняется на противоположную при отскакивании. При переходе в неподвижную систему от этой скорости нужно отнять скорость стенки, в результате скорость шарика после отскокабудет v - 2u .

Изменение расстояния пластины от стенки за один период движения шарика2xDx = uT = u.(60.3)vПодставляя (60.2), (60.3) в (60.1), получаем2xDS = 2(v u- x 2u ) = 0 .(60.4)vИтак, при медленном, адиабатическом, изменении параметров системы (расстоянии между стенкой и пластиной) фазовая кривая остается(почти) замкнутой, ее форма меняется, но площадь остается постоянной и является адиабатическим инвариантом.Рассмотрим теперь осциллятор в виде тела на пружинке.

Найдемсохраняющуюся величину при медленном изменении коэффициентажесткости.mx 2 kx 2+, где k медленно меняется. ПродифференИмеем E =22цируем и произведем усреднение по большому промежутку времени 2 22xx 2mxxkxkxk E) =. (60.5)+k+=+ x (E =kx +mx2222k 20Отсюда для средней энергии получаемdE1 dk1= ln E = ln k + const2 k2EEk=E= const ,w0(60.6)где w0 = k/m , m считается постоянной. В случае математическогомаятника (шарик на нитке) w02 = g/l , значит, инвариантом является величина I = E l /g .

Характеристики

Список файлов лекций