1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Тогда c = 2q1 и подстановкав (80.2) с учетом m = m1/2 дает дифференциальное сечение рассеяния2æ a ö÷ cos q1 d W1m1v12E=d s1 = ççç ÷÷,где.142èç E1 ÷ø sin q1206(80.10)Заметим, что при 1 эта формула совпадает с (80.2) для бесконечнотяжелой частицы-мишени. Это связано с тем, что при малых углах рассеяния частица мишени за время взаимодействия сдвигается очень мало, поэтому ответ не зависит от ее массы.Упражнение.
Пусть частица с массой m1 , имеющая на бесконечности скорость v1 , налетает на покоящуюся частицу с массой m2 с прицельным параметром r . Найти расстояние наименьшего сближения,если потенциальная энергия взаимодействия частиц U = -a.rРешение. Используя общий подход к решению задачи двух тел,можно считать, что одна из частиц закреплена, а налетает частица сприведенной массой с относительной скоростью, равной начальнойотносительной скорости частиц, т.
е. v1 . Записываем уравнения сохра-нения момента импульса и энергии для начального положения и расстояния минимального сближения dmv1r = mvd ,mv122=(80.11)mv 2 a- .d2(80.12)Подставляя v из первого уравнения во второе, находим ответ задачи:d =-aa2+ r2 ,22 4mv1m v1где m =m1m2m1 + m2.(80.13)Поскольку расстояние не может быть отрицательным, перед корнемнужно взять знак плюс.Сечение рассеяния (сечение реакции) – это очень широко используемые характеристики в атомной физике и физике элементарных частиц.
Для их расчетов используется квантовая механика, и сечения процессов уже нельзя представлять чисто геометрически, но по-прежнемувероятность рассеяния (или процесса рождения новых частиц) даетсяформулой dp = nxds .207ГЛАВА IXДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА§ 81. Твердое тело, система координат, угловая скорость,ось вращенияДо сих пор рассматривалась в основном кинематика и динамика поступательного движения. Кинематика вращательного движения твердого тела обсуждалась кратко в § 11, где было введено понятие угловой скорости, найдено перемещение и скорость точек при вращениитела вокруг оси.
В § 38 был введен момент импульса системы и былопоказано, что для замкнутой системы он сохраняется вследствие второго и третьего закона Ньютона. Было показано также, что сохранениемомента импульса обусловлено изотропностью пространства.При дальнейшем рассмотрении динамики вращательного движениямы увидим, что имеется много аналогий между динамикой поступательного и вращательного движения: закон сохранения импульса p изакон сохранения момента импульса L ; поступательная скорость v иугловая скорость ω , импульс p = mv и момент импульса L = I ω , гдеI – момент инерции; кинетические энергии K =mv 2I w2и K =, за22dpdL=F и= τ , где τ – момент сил.
Однако в обdtdtщем случае рассмотрение вращательного движения является болеесложной задачей, поскольку момент инерции зависит от формы тела.Это приводит, например, к тому, что вектор угловой скорости можетне совпадать с вектором момента импульса и менять направление впространстве даже в отсутствие внешних сил.Далее мы проанализируем общие законы движения твердого тела,но конкретное рассмотрение проведем только для достаточно простыхслучаев.
Более детально движения твердого тела будет изучаться вкурсе аналитической механики.Твердое тело – система материальных точек, расстояния междукоторыми неизменно. Движение будем описывать с помощью двухсистем отсчета: инерциальной системы XYZ и системы координатx 1, x 2 , x 3 (или x , y, z ), жестко связанной с телом и участвующей во всехконы движенияего движениях. Для задания положения тела в неподвижной системе от208счета необходимо 6 чисел: три координаты для задания начала отсчетаподвижной системы и три угла для ориентации ее осей относительнонеподвижной системы, т.
е. твердое тело имеет 6 степеней свободы.Координата точки тела относительно неподвижной системыr = R + r ,Zx3x2rrRXx1YРис. 66скорость точки на теле(81.1)где обозначения понятны из рис. 66. Какбыло показано в § 11, при повороте телана угол d φ вокруг оси, проходящей через начало координат, радиус векторточки изменяется на dr = [d φ × r] , тогдав неподвижной системе отсчетаdr = dR + dr dR [dφ r] .Вводя обозначенияdrdRdφ,ω=,v= ,V=dtdtdtv = V + [ω r ] ,(81.2)находим(81.3)где V – поступательная скорость тела, ω – угловая скорость.
При чистопоступательном движении линия между двумя произвольными точками на теле перемещается параллельно самой себе; при чисто вращательном тело совершает движение вокруг некоторого направления.Пока мы не делали никаких предположений о выборе центра подвижной системы. Пусть центр подвижной системы сдвинули на векторa , так что r = a + r ¢ . Подставляя в (81.3), получаемv = V + [ω a ] + [ ω r ¢ ] .(81.4)С другой стороны, по определению,v = V ¢ + [ω ¢ r ¢] ,отсюдаV ¢ = V + [ω a] ,ω¢ = ω .(81.5)(81.6)Таким образом, угловая скорость не зависит от выбора начала отсчета,скорость же поступательного движения такого абсолютного характеране имеет.
Полная скорость точки на теле есть сумма скоростей этогоцентра и вращательной скорости точки (относительно этого центра).209В некоторых случаях выбором a можно сделать V ¢ = 0 . Тогда вседвижение будет сводиться к вращению относительно мгновенногоцентра вращения. Из (81.6) следует, что для этого необходимо V ^ ω .Для вращений имеет место закон сложения угловых скоростей.Действительно, вместо одновременного вращения с двумя угловымискоростями совершим два последовательных малых поворота за равные времена сначала с угловой скоростью 1 , затем с ω 2 .
Изменениерадиус вектора при первом повороте dr1 = [ω1r] dt , при втором повороте dr2 = [ω 2 (r + dr1 )] dt [ω 2r] dt (отброшен малый член второго порядка). Откуда dr = dr1 + dr2 = [ω r] dt , где ω = ω1 + ω2 .Примеры.1. Колесо катится по дороге со скоростью V. Нижняя точка является мгновенной осью вращения. Центр колеса движется со скоростью V,а верхняя точка колеса – со скоростью 2V.2. Левый конец палки длины L имеет мгновенную скорость VA подуглом a к палке, при этом точка B смещается направо вдоль палки. Найти скорость точки, расположенной на расстоянии x от правого конца.Решение. Проводя линии перпендикулярноVA axскоростямправого и левого концов, находим поBAложение мгновенной оси вращения (точка О).LVVУгловая скорость w = A = A sin a . СкоростьAOLaзаданной точкиРис.
67OVAL2sin aVx = w (OB ) + x =+ x 2 . (81.7)2Ltg a22§ 82. Кинетическая энергия и момент импульса вращающегося телаКинетическая энергия телаКинетическая энергия тела в неподвижной системе координатK =åV2=2m ivi2=å2åmimi2(V + [ω r ])2i+ å m i V[ω ri ] + å210=mi2(82.1)2[ω ri ] .V2MV 2– это кинетическая энергия поступа=22тельногодвижения.Второйчленможнозаписатькакå m i V[ωri ] = V[ωå m i ri ] . Тогда если начало отсчета подвижнойПервый членå miсистемы координат помещено в центре масс тела, то второй член равеннулю, поскольку å mi ri = 0 .
В результате получаем, что кинетическая энергия тела есть сумма энергии поступательного движения телакак целого ( M = å m i ) и вращательной энергии (далее индекс « i »для краткости опускаем)K = K п + K вр ,MV 2где К п =,2K вр = åm2[ω r ]2 = å(82.2)m2(w 2r 2 - (ωr)2 ) . (82.3)При получении последнего равенства использована заменаsin2 q 1 - cos2 q .Напомним, что координаты частиц здесь даются в системе координат, жестко привязанной к телу и вращающейся вместе с ним. Угловаяскорость также определена относительно подвижной системы координат и в общем случае изменяется по направлению и величине (дажеесли тело свободно, то постоянной величиной является момент импульса, а не угловые скорости).Рассмотрим сначала простейший случай, когда угловая скоростьпостоянна, например, тело вращается на закрепленной оси.
Тогда точки тела движутся вокруг оси на расстояниях ri = ri sin qi со скоростями v^ = ri w , тогда выражение для кинетической энергии приобретаетпростой и понятный видmmv 2mmK вр = å [ω × r ]2 = å w 2r 2 sin2 q = å (rw)2 = å ^ (82.4)2222илигдеK вр =1 2Iw ,2I = å mr 2 º å m i ri2 .(82.5)(82.6)Величина I называется моментом инерции тела относительно оси.211Момент импульса телаНайдем момент импульса вращающегося тела в неподвижной системе отсчета. По определению,L = å [r p] = å m (R + r)×(V + [ωr]) == å m [RV ] + [å mr ⋅ V ] + [R [ωå m r ]] + å m [ r[ωr ]].(82.7)Если начало отсчета подвижной системы, прикрепленной к телу, отсчитывается от центра масс тела, то å m r = 0 , поэтому второй и третий члены равны нулю.
В результате получаемL = [R p] m [r[ω r ]] .(82.8)Отсюда видим, что момент импульса есть сумма момента импульса,связанного с поступательным движением, и момента импульса вращательного движения. Если импульс тела равен нулю, то момент импульса не зависит от начала отсчета.Далее будем считать, что центр масс тела покоится. Используя правило векторной алгебры a × (b× c) = b(ac) - c(ab) , получаемL = å m(ωr 2-r(rω)) .(82.9)Это есть общее выражение для момента импульса тела относительно центра масс тела.
Во-первых, замечаем, что направления моментаимпульса и угловой скорости в общем случае не совпадают. Возьмем,например, гантель, у которой одна масса m расположена в точке r , авторая масса – в точке -r , при этом направление вектора r имеет уголq по отношению к угловой скорости. В соответствие с (82.9) полныймомент импульса L = 2mr 2w sin q и направлен ^ r , откуда видно, чтонаправления угловой скорости и момента импульса отличаются.При вращении тела вокруг закрепленной оси направления L и ωтакже могут не совпадать, как в рассмотренном выше примере. Крометого, направление L может не сохраняться, так как подшипники могутдавить на ось в боковом направлении, создавая момент сил, изменяющий момент импульса (это и будет происходить в рассмотренном примере).
Однако при вращении тела вокруг оси сохраняется проекциямомента импульса на направление угловой скорости. Действительно,если сила действует на ось перпендикулярно оси, то создаваемый еймомент сил в направлении оси вращения (пусть это ось Z ) равен нулю(так как плечо равно нулю). Момент импульса вдоль оси может ме212няться только за счет сил трения, действующих по касательной к оси.Чтобы они создавали меньший момент сил, ось в месте закрепленияобычно делают как можно тоньше.Итак, при вращении тела, закрепленного на оси, направленнойвдоль Z , сохраняется проекция момента импульсаLz = I wz ,I = å m r2 ,(82.10)где r 2 = x 2 + y 2 – расстояние точки до оси вращения.
Это следует непосредственно из (82.9), действительно:Lz = å m(wz r 2 - wz z 2 ) = å m wz (x 2 + y 2 ) .Сравнивая общие выражения для кинетической энергии вращения(82.3) и момента импульса (82.9), нетрудно заметить, чтоK вр =1Lω .2(82.11)§ 83. Главные оси вращения, главные моменты инерциителаПроанализируем выражение для момента импульса тела (82.9).Компонента момента импульса вдоль оси x («прибитой» к телу)Lx = å m(wx r 2 - x (rω)) == wx å m(y 2 + z 2 ) - wy å mxy - wz å mxz .(83.1)В него дают вклады не только угловая скорость wx , но и угловые скорости вдоль осей y и z.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
