1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Нетрудно заметить, что кинетическиеэнергии одинаковой по объему порции жидкости на входе и выходеразличаются, это происходит за счет давлений, совершающих работунад жидкостью. Давление на боковую поверхность трубок тока работыне совершает, так как действует перпендикулярно направлению движения жидкости. Работа сил, действующих на левый торец трубки (сила, умноженная на перемещение) A1 = P1S1V1t , работа сил справаA2 = -P2S 2V2t (знаки минус, поскольку сила и перемещение имеютпротивоположные направления). Работа равна разности кинетическойэнергии вышедшей и вошедшей одинаковых порций жидкостиmV222-mV122= A1 + A2 ,m = rV1S1Dt = rV2S 2Dt ,(90.2)откудаrV2S 2DtV222-rV1S1DtV122= P1S1V1Dt - P2S 2V2Dt .(90.3)Сокращая на V1S1Dt = V2S 2Dt , получаемP1 +rV122= P2 +rV222.(90.4)Если вход и выход находятся на разной высоте, нужно учесть еще изменение потенциальной энергии рассматриваемой порции жидкости, врезультате получим закон БернуллиP+rV 2+ rgh = const .2(90.5)Для горизонтальной трубы с переменным сечением давление в узкихместах трубы будет меньше, чем в широких.229Пусть жидкость обтекает покоящийся шар.
Линии тока будут огибать шар. Однако одна линия, идущая к центру шара, упрется перпендикулярно в шар и оборвется, т. е. скорость станет равной нулю. Отличие давления в этой точке от давления вдалеке от шара находится изrV 2.уравнения Бернулли и равно DP =2Формула ТорричеллиРассмотрим вытекание воды из широкого бака через дырку, расположенную на высоте h ниже уровня воды в баке. Трубка тока воды,вытекающей из бака, начинается с поверхности воды, где она равна посечению площади бака и имеет близкую к нулю скорость.
Из уравнения Бернулли следует ( PA – атмосферное давление)PA + rgh = PA +rV 2,(90.6)2откуда находим скорость истечения водыgV = 2gh .h(90.7)Это формула Торричелли (1608–1647).Из этой формулы следует, что скорость независит от размера отверстия. Однако все знаРис. 84ют, что если сжать конец шланга с водой, тоструя будет вытекать с существенно бóльшейскоростью. Это связано с тем, что скорость течения в шланге определяется совсем другим механизмом – вязкостью воды (это явление будет рассматриваться в курсе молекулярной физики).
В то время какпри маленьком отверстии вода в шланге движется медленно и вязкостью (фактически трением о стенки шланга) можно пренебречь. В этомслучае скорость истечения находится так же, как было рассмотреновыше, только rgh в (90.6) нужно заменить на давление в водопроводеP . В результате получаем скорость истечения воды из маленького отверстия в шлангеVV = 2P/r .230(90.8)Гидравлический ударПусть по трубе течет вода со скоростью V .
Если кран быстро перекрыть, то вода начнет останавливаться, кинетическая энергия будетпереходить в энергию сжатия и по воде со скоростью звука ( c ) побежит волна сжатия. Сила, действующая на торец трубы, равна импульсуводы, останавливающейся за единицу времени. Отсюда находим давлениеP = rVc .(90.9)Скорость звука в воде 1435 м/с. При скорости воды 1 м/с в трубах возникнет давление P = 1.4 ⋅ 107 дин/см2 = 1.4 ⋅ 106 н/м2 » 14 атм. Этоявление называется гидроударом. Чтобы трубы не разорвало, кранынужно закрывать медленно (за времена бóльшие, чем время распространения ударной волны вдоль трубы до широкой магистральнойтрубы).
Если попытаться быстро заткнуть кран с текущей водой пальцем, то ввиду гидроудара из-под пальца вначале брызнет струйка воды(даже при низком давлении в водопроводе), затем сдерживать напорводы станет намного легче.Кумулятивный снарядВ конце Второй мировой войны Германия стала использовать фаустпатроны, которые пробивали броню толщиной 20 см. Они состоялииз металлического конуса, окруженного взрывчаткой (рис. 85). Привзрыве образуется струя металла, летящаявперед с огромной скоростью. Для объясненияu механизма возникновения струи достаточноαзакона Бернулли.При взрыве снаряда возникает очень большое давление и металлический конус ведет себя как жидкость.
Пусть скорость металла u .Рис. 85Перейдем в систему отсчета, движущуюся направо со скоростью V = u/sin a . В этой сис-теме отсчета металл течет вдоль стенки конуса со скоростьюV0 = u/tg a и затем растекается вдоль оси направо и налево с той жескоростью V0 (следует из формулы (90.5) при P = const ).231Найдем, какая доля струи потечет направо. Пусть струя с сечениемS падает на плоскость под углом a . Из закона сохранения импульсаV0S L -V0S R = SV0 cos a ,SL + SR = S ,(90.10)откуда доля струи, летящей направо,S R = S (1 - cos a) / 2 .(90.11)Возвращаясь обратно в лабораторную систему отсчета, находим скорость струи, летящей направо и налево,VR = V0 + V = u(1 + cos a)/sin a ,VL = -V0 + V = u(1 - cos a)/sin a .(90.12)Оказывается, что обе струи летят в одну сторону, только первая сбольшой скоростью, а вторая с много меньшей скоростью (в 4/a 2 разпри малом a ). Пусть u = 2 км/с, a = 20 , тогда VR = 11, 4 км/с, этобольше, чем вторая космическая скорость.
Хотя масса этой струи мала,но она уносит бóльшую часть кинетической энергии металлическогоконуса. Такая концентрация энергии называется кумуляцией. Максимальное давление возникает в точке разделения потоков и равноP = rV02/2 , примерно 1, 5 ⋅ 106 атм. в нашем случае (в центре Земли3,7 млн атм.). Казалось бы, что при уменьшении угла конуса можноеще в несколько раз увеличить скорость струи, однако здесь возникнетограничение, связанное с объемной сжимаемостью металла.Длина струи равна длине образующей конуса.
При столкновенииструи с броней последняя ведет себя тоже как жидкость и точка соприкосновения движется вглубь брони со скоростью VR/2 , получается кумулятивное течение как в снаряде, но в обратную сторону, а глубинапроникновения в броню оказывается равной длине струи.232ГЛАВА XIДВИЖЕНИЕ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХСИСТЕМАХ ОТСЧЕТА§ 91. Неинерциальные системы отсчета. Неинерциальные силыДо сих пор исследовалось движение тел относительно инерциальных систем отсчета, в которых справедливы Законы Ньютона.Рассмотрим теперь движение тела (материальной точки) относительно системы отсчета S ¢ , которая совершает ускоренное поступательное движение относительно инерциальной системы S . Пусть R 0 – радиусSS¢вектор начала отсчета системы S ¢ , а r –тела в этой системе.
В нерелятивистскомслучае справедливо преобразование ГалилеяrRR = R0 + r , t = t ¢ .(91.1)R0Закон движения в инерциальной системеРис. 86md 2R= F,dt 2(91.2)отсюдаma = md 2R0d 2rF=m= F - ma 0 .dt 2dt 2(91.3)Следовательно, если движение рассматривается относительно системыотсчета, ускоренно движущейся относительно инерциальной системыотсчета, то во втором законе Ньютона, кроме реальной силы, появляется дополнительное слагаемое -ma 0 . Это не реальная, а фиктивная сила, имеющая чисто кинематическое происхождение, пропорциональнаямассе тел (как и гравитационная сила). Такие силы называют силамиинерции.
Они появляются в неинерциальных системах отсчета.Казалось бы, все можно рассматривать в инерциальных системах итогда не требуется вводить силы инерции. Это так, но иногда удобно233связывать систему координат с ускоренно движущимися телами, такими как вращающаяся Земля или ускоренно движущаяся тележка.Рассмотрим тележку, движущуюся с ускорением a 0 , на которой стоит подставка с висящим на нитке грузиком (рис. 87).
На какой угол отклонится грузик?В инерциальной системе задача решается так:TT cos a = mg ,ama 0 = T sin a ,mga0Рис. 87Tоткудаtga =Рис. 88g.T sin a = ma 0 и T cos a = mg ,откудаmga0(91.5)Из условия равновесия в неинерциальной системеследует (рис. 88)T = -mg + ma 0 ,(91.6)или- ma 0(91.4)tga =(91.7)a0.(91.8)gНайдем частоту колебаний. Эта задача решаетсяпроще в неинерциальной системе.
В системе тележки эффективное ускорение(91.9)g¢ = g - a0 ,отсюда частота колебанийw¢ =g¢,lгде g ¢= g 2 + a 02(91.10)§ 92. Силы инерции во вращающейся системе отсчетаЦентробежная силаДля того чтобы тело было неподвижно относительно диска, вращающегося с угловой скоростью w , к нему нужно приложить силу,направленную к центру,mv 2F = ma = -er= -m w 2 r .(92.1)r234Чтобы объяснить неподвижность тела в системе вращающегося дисканужно объявить, что кроме этой реальной силы (например, натяжениеверевки, связывающей тело с осью) в этой системе действует силаинерцииFi = m w 2 r ,(92.2)направленная от центра. Ее называют центробежной силой.
Эта силауравновешивает натяжение веревки, и тело остается неподвижным относительно вращающегося диска. Такой силы нет в инерциальной лабораторной системе, ее вводят только при рассмотрении движения вовращающейся системе отсчета.Кориолисова силаРассмотрим движение тела со скоростью v относительно ободавращающегося диска.
Для такого движения в неподвижной системекоординат должна действовать центростремительная силаFц = -er m(wr + v )2.r(92.3)Наблюдатель, сидящий на диске, видит, что веревка натянута с такимнатяжением, значит, в этой системе отсчета натяжение веревки уравновешено силами инерцииæmv 2 ö÷Fi = -Fц = er çççm w 2r + 2m wv +(92.4)÷÷ .çèr ÷øПервый член в (92.4) – это уже знакомая центробежная сила, третий член– это обычная центростремительная сила, необходимая для движения поокружности, второй член, F = 2m wv , зависит как от угловой скоростивращения диска, так и от скорости движения тела относительно диска.Эта сила называется Кориолисовой силой ( Г. Кориолис, 1792–1843).Рассмотрим движение тела вдоль спицы вращающего колеса. Момент импульса тела L = m wr 2 увеличивается при движении от центра.Изменение момента импульса за единицу времени равно моменту силоткудаdLdr= 2m wr= Fr ,dtdt(92.5)F = 2m wv .(92.6)235Эта сила, с которой спица действует на тело, сопротивляясь силе Кориолиса.
Поскольку сила Кориолиса перпендикулярна угловой скорости и скорости тела, то в векторном виде ее можно записать какFКор 2m [ vω] .(92.7)Далее мы получим это выражение строго математически.Рассмотрим снова рис. 86. Система S является неподвижной, а система S ¢ движется относительно ее как поступательно, так и вращательно. Скорость материальной точки относительно неподвижной системыv абс = v0 + r = v0 + [ω r] + v отн ,(92.8)где v0 – поступательная скорость начала отсчета системы S ¢ , [ω r] –скорость, связанная с вращение системы S ¢ (как для твердого тела),v отн – скорость точки относительно начала отсчета системы S ¢ . Действительноr = i x + jy + kz ,r = ix + jy + kz + x(92.9)didjdk.+y +zdtdtdt(92.10)didjdk [ω i ], [ω j], [ω k ] , и вводя обозначениеdtdtdt= ix + jy + kz , из (92.10) получаем (92.8).Учитывая, чтоv отнУскорение точки относительно неподвижной системыa абс = a 0 + [ω r ] + [ω r ] + v отн .(92.11)r [ωr ] v отн(92.12)v отн = [ω v отн ] + a отн ,(92.13)Учитывая, чтои аналогичнонаходимa абс = a 0 + [ω r ] + [ω[ω r ]] + 2[ω v отн ] + центробежноепереносноекориолисово236a отн .относительное(92.14)Рассмотрим смысл каждого члена.a абс = F/m – это ускорение, вызванное реальной силой;a 0 + [ω r ] + [ω[ω r ]] – переносное ускорение, связанное с движением системы S ¢ ;2[ω v отн ] – ускорение Кориолиса.Член [ω[ω r ]] в переносном ускорении – это центробежное ускорение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
