1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Постоянная Хаббла измерена экспериментально по «красному смещению» спектров объектов, до которых известно расстояние сточностью в несколько процентов, и равнаH = c ⋅ 0.8 ⋅ 10-28 см-1 .(76.6)Определение средней плотности оказалось очень сложной задачей.Прямой подсчет видимой массы (звезды, светящийся газ) давалr » 0.04rкр , и только в 2005 г. удалось измерить плотность Вселеннойкосвенным методом (см. § 104) с однопроцентной точностью.
Оказалось, что плотность Вселенной равна критической плотностиr = rкр » 10-29 г/см 3 .(76.7)При этом известные формы материи составляют всего около 5 %. Более подробно о Вселенной будет рассказано в последней главе.§ 77. Рассеяние частицПри прохождении пучка частиц через мишень некоторые частицырассеиваются, а некоторые могут вообще исчезнуть в результате какой-то реакции. Вероятность взаимодействия пропорциональна толщине мишени dx и ее плотности ndP = sndx ,(77.1)где коэффициент пропорциональности называют сечением процесса.Его геометрический смысл простой: если частицы мишени представляют собой шарики радиуса R , а налетающие частицы имеют существенно меньшие размеры, то s = pR 2 , т.
е. сечение равно проекционной площади частиц мишени.Рассеяние является упругим, если исходные частицы остаются неизменными и новых частиц не рождается. В обратном случае процессрассеяния является неупругим.При столкновениях частицы могут рассеиваться на различные углы.Обычно чем ближе к рассеивающему центру пролетает частица, тем200больше угол рассеяния. Чтобы учесть этот факт, в классической физике вводится понятие прицельного параметра, так чтоdP = d s n Dx ,d s = 2pr d r ,(77.2)где r – прицельный параметр (расстояние исходной траектории отрассеивающего центра). В случае упомянутых шариков после интегрирования по прицельным параметрам (77.2) переходит в s = pR 2 .Прицельный параметр в задаче рассеяния является ненаблюдаемойвеличиной, однако его можно связать с углом рассеяния.Пусть имеется зависимость r(q) , тогдаdr(77.3)dq .dqЗдесь взято абсолютное значение производной, поскольку угол обычноdrотсчитывают от нуля и dq является положительной величиной, аdqможет быть как положительной, так и чаще отрицательной величиной(угол уменьшается при увеличении прицельного параметра).Сечение обычно относят не к элементу плоского угла q , а к элементу телесного углаd W = 2p sin q d q ,(77.4)d s = 2prтогда (77.3) переходит вr dr(77.5)dW .sin q d qПри рассеянии поляризованных частиц сечение может зависеть нетолько от полярного угла q , но и от азимутального угла.Следует заметить, что в микромире для описания процессов рассеяния необходимо использовать квантовую механику, поскольку движение частицы нельзя описать траекторией с прицельными параметрами.Однако мы продолжим рассмотрение в рамках классической механики.Условия применимости этого подхода будут изучаться в курсе квантовой механики.ds =§ 78.
Рассеяние на сфереДля простоты рассмотрим сначала упругое рассеяние точечныхчастиц на неподвижной сфере. Как видно из рис. 59,201qrfRРис. 59æ p - q ÷öq÷÷ = R cos , (78.1)r = R sin f = R sin çççè 2 ÷ø2где q = p - 2f . Дифференциальное сечениерассеянияdr(78.2)d s = 2prdq ,dqгдеdr1q= - R sin ⋅dq22(78.3)Отсюда получаемqq1R2(78.4)d s = pR 2 cos sin d q = pR 2 sin qd q =dW .2224Это изотропное распределение. Из рисунка может показаться, что изотропии нет, поскольку справа за сферой имеется тень, куда не проникают частицы. Однако если экспериментатор интересуется только угловым распределением, то это распределение будет изотропным. Есливзглянуть на процесс рассеяния с расстояний, много больше радиусасферы, то будет виден изотропный «ежик» из рассеянных частиц.§ 79. Резерфордовское рассеяние на малые углыПусть a - частицы обстреливают тонкую мишень с целью изучениясилы взаимодействия a - частиц с ядрами (опыт Резерфорда).
Считаем,что ядра неподвижны, а a - частицы рассеиваются на малые углыq 1 . Предположим, что сила зависит от расстояния какa.(79.1)rkЗадачей эксперимента является нахождения k . Сделаем приближенный расчет. Пусть скорость a - частицы равна v . Время взаимодействия (рассматриваем нерелятивистский случай)rt» .(79.2)vБудем считать, что на a - частицу действует поперечная сила F = a /rkF=на участке пути длиной r , тогда частица получает поперечный импульс202vP^ F t q(79.3)Угол рассеянияrq » tg q »Рис.
601отсюдаa.v rk -1P^P=a,mv r k -1(79.4)21æ a ök -1r » çç 2 ÷÷÷çè mv q ÷øиæ a ök -1dr» çç 2 ÷÷÷çè mv ÷ødq11-k qkk -1.(79.5)Число частиц, рассеявшихся на мишени,2æ a ök -1dN = N 0ndx ⋅ 2pr d r = N 0ndx ⋅ 2p ççç 2 ÷÷÷è mv ø÷2k -1æ a ö= N 0ndx ⋅ ççç 2 ÷÷÷è mv ø÷dW1-k q2kk -1dq1-k qk +1k -1=(79.6),где N 0 – число частиц, упавших на мишень.Пусть детектор, занимающий некоторый малый телесный угол, помещается под различными углами. Тогда отношение скоростей счета будет2kj (q) æç q0 ö÷÷k -1=ç ÷ .j (q0 ) ççè q ÷øдетектормишеньRРис.
61dW =dSR2(79.7)В эксперименте у Резерфорда получилось(длямалыхуглов)4j (q) q = const , откуда k = 2 . Ока-залось, что a - частицы взаимодействуют с ядрами как электрически заряженные частицы. Кроме зависимости силы от расстояния этот эксперимент показал, что ядро имеетразмеры r 10-13 см (при таких прицельных параметрах формула перестает работать) и что заряд ядра равен Ze . Почти вся информация остроении частиц была получена в подобных экспериментах.203§ 80.
Формула РезерфордаВ предыдущем параграфе была получена приближенная формуладля сечения при рассеянии на малые углы для потенциала U = a/ r n .Однако у нас есть все для получения точной формулы для рассеяния вкулоновском поле U = a/ r , где связь между углом рассеяния, начальной скоростью частицы и прицельным параметром дается формулой (71.27)catg =.(80.1)22rmv¥Здесь – угол рассеяния. Подставляя это выражение в (77.5), получаем2æ a ÷ö d W÷.d s = ççç2 ÷÷÷øçè 2mv¥4 csin2(80.2)Это знаменитая формула Резерфорда.
Расчет по квантовой механикедает (по случайности) сечение рассеяния в кулоновском поле, полностью совпадающее с формулой Резерфорда.Учет массы частиц мишени (факультативно)Формула (80.2) получена для случая рассеяния на бесконечно массивном источнике поля. Рассмотрим теперь случай конечной массычастиц мишени. Картина рассеяния будет следующей: на покоящуюсячастицу с массой m2 налетает частица с массой m1 , имеющая на бесконечности от мишени скорость v1 иm1, v1q1rm2q2прицельный параметр r .
После взаимодействия угол рассеяния налетающейчастицы q1 и частицы мишени q2 (зависит от q1 ). Для вычисления дифферен-циальных сечений нужно найти связьэтих углов с прицельным параметром.Вспомним задачу двух тел, рассмотренную ранее. Относительныйрадиус вектор r двух частиц под действием взаимных сил изменяетсятак, как если бы одну частицу (например, мишени) закрепили, а второйРис. 62204(налетающей) частице приписали приведенную массу m =рис. 63 (справа). Поскольку r1¢ = rm2m1 + m2m1m2m1 + m2,, то траектория частицы смассой m1 в системе центра масс будет подобна траектории частицы сприведенной массой (справа), значит, их углы отклонения будут одинаковы.
Начальная скорость приведенной массы должна быть такаяже, как и относительная начальная скорость налетающей частицы имишени, т. е. равна скорости налетающей частицы.cm1r1¢ц.м.cmr2¢rm2rРис. 63Таким образом, для решения задачи мы должны сначала найти уголотклонения частицы с приведенной массой в поле бесконечно тяжелогоцентра. Этот угол c будет равен углу рассеяния налетающей частицы всистеме центра масс. Угол рассеяния частицы мишени в системе ц.
м. равен p - c . Далее эти углы нужно преобразовать в лабораторную систему, т. е. выразить c в формуле (80.2) через углы в лабораторной системе.Кроме этого, вместо m в (80.2) нужно подставить приведенную массуm1m2и вместо v¥ – начальную скорость налетающей частицы.m=m1 + m2Найдем связь между c и q1 и q2 . Скорость системы центра массv ц. м . =m1v1m1 + m2.(80.3)Импульс частиц в системе ц.
м.p = m1(v1 - v ц.м. ) =m1m2m1 + m2205v1 = mv1 .(80.4)Импульс налетающей частицы после рассеяния и угол рассеяния в лабораторной системе:p1¢ = m1v ц.м. + n p =p1¢(80.5)bnm12m1m2=v +v n = a + bn,cq1m1 + m2 1 m1 + m2 1am2 sin cb sin cРис. 64.(80.6)=tg q1 =a + b cos c m1 + m2 cos cИмпульс частицы мишени и угол после рассеяния:b(v1/v1 )q2p2¢bncp2 ¢ = m 2 v ц. м . - n p ==m1m2m1 + m2v1 -m1m2m1 + m2q2 =Рис.
65v1n = bp-c.2v1v1- bn,(80.7)(80.8)Ввиду простой связи (80.8) легко получить сечение рассеяния, выраженное через угол рассеяния частицы мишени2æ a ö÷ d W2d s2 = ççç 2 ÷÷.3÷çè mv¥ ø÷ cos q2(80.9)Для налетающей частицы, из-за сложной связи углов в лабораторной и ц. м. системах, получаются слишком громоздкие формулы. Нужно учитывать также (§ 39), что при m1 > m2 один и тот же угол q1 соответствует двум разным углам c . На рис. 64 в этом случае a > b .Рассмотрим только случай равных масс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
