1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 12
Текст из файла (страница 12)
«динамис» – сила) – это сила, сообщающая телу с массой1 г ускорение 1 см/с2, [дин] = г·см/с2. Отсюда1 Н = 105 дин.§ 27. ИмпульсВеличина p mv называется в ньютоновской механике импульсомматериальной точки. Покажем, что для замкнутой системы суммарныйимпульс сохраняется.Закон сохранения импульсаИзменение суммарного импульса системы P = å PiNö÷dPd æç1= çå mi vi ÷ = å Fi = å å Fik = å (Fik + Fki ) = 0. (27.1)ç÷dtdt è i2 i,k ,i ¹kø i =1i k ¹iСмысл простой – материальные точки взаимодействуют попарно,сумма пары сил равна нулю по третьему закону Ньютона. Отсюдаследует закон сохранения импульса:P = å mvi = const.(27.2)iЕсли система незамкнутая, тоdP= Fвнеш = å Fi внеш ,dti(27.3)т. е. скорость изменения импульса равна сумме внешних сил.Центр массВ нерелятивистской ньютоновской механике можно ввести понятиецентра масс.
Преобразуем выражение для импульса системы частицP = å mi v i = å m iiidridt=ddtåm ri ii=md æç 1çdt çè möå m r ÷÷÷÷ø ,i i(27.4)iгде m = å mi . Радиус векторR=1å mi rim65(27.5)определяет точку в системе, которая называется центром масс (ц. м.)системы. Тогда импульс системы записывается в видеP=mdR= mV,dt(27.6)где V – скорость центра масс. Ускорение центра массFdV= внеш .dtm(27.7)Таким образом, центр масс тела движется с таким же ускорение, как иматериальная точка с массой, равной суммарной массе тела.
Этоозначает также, что в нерелятивистской механике справедлив законаддитивности масс – масса тела равна сумме масс его частей.Пример. К карандашу массы m приложили силу F, перпендикулярнуюкарандашу. Один раз сила приложена к центру карандаша, другой раз – кего концу. В каком случае ускорение центра карандаша будет больше?Ответ. Из формулы (27.7) следует, что ускорение центра масс независит от того, к какой точке тела приложена сила, так что в обоихслучаях ускорение ц. м. будет a = F/m несмотря на то, что во второмслучае наряду с поступательным движением карандаш будет еще ивращаться.Сила как мера скорости изменения импульсаРассмотрим альтернативный подход к определению массы и сил.Здесь первичным считается закон сохранения импульса, следующий изопытных фактов.
Постулируется, что каждой частице можно приписать определенную массу mi такую, что для замкнутой системычастицåpi= const , где pi = mi vi(27.8)(в релятивистской механике также работает закон сохраненияимпульса, но выражение для импульса другое).Приняв некоторую массу m0 за эталонную, можно найти массывсех остальных частиц, исследуя их взаимодействие с эталонной частицей| v¢ - v0 |.(27.9)mi vi + m 0 v 0 = mi vi¢ + m 0 v ¢0 mi = m 0 0| vi¢ - vi |66В этом подходе сила определяется как производная по времени отимпульса частицыdp(27.10)Fi = i .dtСоотношения (27.8), (27.10) эквивалентны второму закону Ньютона. Из опыта следует, что силы зависят от координат и скоростей. Еслисила определена (известна), то (27.10) может рассматриваться какуравнение движенияdpi(27.11)= Fi (r1, r2 ...v1, v2 ...) .dtТретий закон Ньютона следует из (27.8) только частично:dp1dtº F12 = -dp 2dt= -F21 .(27.12)Вывода о направленности сил вдоль линии, соединяющей тела, отсюда не следует.
В рассматриваемом подходе, когда исходными являются не законы Ньютона, к первичным законам следует отнести, кромезакона сохранения импульса, еще закон сохранения момента импульса(о нем будет речь позже). Как было уже упомянуто, он связан с изотропностью пространства и справедлив даже в релятивистском случае.Аддитивность массОбсудим еще раз одно, на первый взгляд очевидное утверждение обаддитивности масс, т.
е. о том, что масса составного телаm = m1 + m2 .(27.13)В физике даже такие «очевидные» основополагающие утверждениянужно доказывать. Оказывается, это правило сложения масс справедливо только при малых скоростях. Посмотрим, откуда берется выводоб аддитивности масс в классической механике. Выше, при выводеуравнения движения центра масс, мы уже сделали такой вывод.
Получим его другим способом: на основании закона сохранения импульса ипринципа относительности.На основании закона сохранения импульса в системе S можно записать(27.14)m1v1 + m2 v2 = mv .67Перейдем теперь в систему отсчeта S ¢ , движущуюся прямолинейно иравномерно относительно S со скоростью V .
Согласно принципу относительности закон сохранения импульса справедлив и в S ¢ системе:m1v1¢ + m2 v2¢ = mv ¢ .(27.15)В нерелятивистской механике скорости в системах S и S ¢ связаныпреобразованиями Галилея:v1¢ = v1 - V,v2¢ = v2 - V,v¢ = v - V .(27.16)Подстановка (4.12) в (4.11) даетm1(v1 - V) + m2 (v2 - V) = m(v - V) .(27.17)Учитывая (27.14), получаем(m1 + m2 )V = mV.(27.18)Отсюда получаем закон аддитивности масс:m = m1 + m2 .(27.19)Этот закон для химических реакций был открыт Ломоносовым иЛавуазье. В релятивистском случае это утверждение не верно.§ 28.
Задача двух тел, приведенная массаРассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, сила взаимодействия которых зависит только от расстояния:F21 = -F12 = F(r),r = r2 - r1 .(28.1)Уравнения движенияm1r1 = -F(r) ,m2r2 = F(r)(28.2)можно упростить, введя новые переменные – радиус-вектор центрамассm r + m2 r2(28.3)R= 11m1 + m2и радиус-вектор относительного расстоянияr = r2 - r1 .68(28.4)Внутренние силы не влияют на движение центра масс, поэтому центрмасс движется с постоянной скоростьюR = R 0 + Vt .(28.5)Уравнение движение для относительного расстояния получаетсяr = r2 - r1 =F(r) F(r) F(r),+=m2m1m(28.6)гдеm=m1m2(28.7)m1 + m2называют приведенной массой.
Таким образом, задача двух тел свеласьк задаче движения одного тела с массой m под действием силы F(r) .Предположим, что мы решили это уравнение и нашли r(t ) . Для нахождения координаты каждой точки нужно сначала выразить расстояние каждой частицы относительно центра тяжести через r(t ) . Расстояние частиц относительно центра масс r1¢ и r2¢ легко найти, перенесяначало отсчета в центр масс. Тогдаm1r1¢ + m2 r2¢ = 0r2¢ - r1¢ = r ,(28.8)где первое уравнение следует из (28.3), отсюдаr1¢ = -m2m1 + m2r,r2¢ =m1m1 + m2r.(28.9)Полное решениеr1 = R + r1¢ = R 0 + Vt r2 = R + r2¢ = R 0 + Vt +m2m1 + m2m1m1 + m2rr.(28.10)Пример.
Найти частоту колебаний двух тел с массами m1 и m2 , соединенных пружинкой с жесткостью k .В соответствии с изложенным выше задача сводится к колебаниямm1m2тела массы m =на пружинке жесткости k , у которой второйm1 + m2конец прицеплен к бесконечно тяжелой стенке.69Другой пример – это движение двух тел, связанных гравитацией(Солнце и Земля, например). Они будут оба двигаться вокруг общегоцентра масс.
Эту задачу можно свести к вращению приведенной массыmmв силовом поле F = -G 1 3 2 r .r§ 29. Реактивное движениеЛюбую задачу по механике можно решить, в принципе, используязаконы Ньютона. Однако иногда задача решается проще, если использовать законы сохранения.
Рассмотрим в качестве примера движениеракеты с реактивным двигателем.Ускорение ракете сообщают выброшенные назад продукты горения. Пусть их скорость относительно ракеты равна u 0 . Перейдем всистему ракеты. Пусть ракета выбрасывает малую порцию газа. По закону сохранения импульсаm Dv = Dm гu 0 = -Dmu 0 ,(29.1)где m – текущая масса ракеты, Dv – приращение скорости ракеты,Dm г – масса порции выброшенного газа, равная убыли массы ракеты-Dm . Мы нашли приращение скорости Dv в системе ракеты, но всоответствии с преобразованиями Галилея изменение скорости будетточно таким же и в лабораторной системе отсчета.
Переходя кбесконечно малым порциям газа, получаем уравнениеdmdv=- .mu0(29.2)В процессе ускорения масса ракеты меняется от m 0 до m , а скорость – от 0 до v . Интегрируя обе части уравнения в указанных пределах, получаемmòm0dm1=mu0vmò dv ln m00=-vu0(29.3)и окончательноm = m 0 exp(- v u 0 ) .70(29.4)Это знаменитая формула Мещерского – Циолковского, дающаясвязь между оставшейся массой ракеты и набранной скоростью.В табл. 1 приведено отношение m 0 m в зависимости от скорости истечения газов при достижении ракетой первой космической скоростиv = 8 км/с.Таблица 1Зависимость m 0 m от u 0 при скорости ракеты 8 км/сu 0, км/с1234m0 m298054.614.57.4Скорость истечения газов u0 определяется жаропрочностью двигателя(u0)~ T ,приT = 30000молекулыH2O(кислородно-водородный двигатель) имеют скорость 2 км/с. Видно, что для достижения высоких скоростей и уменьшения начальной массы ракетынужно увеличивать скорость истечения газа.
Метод сжигания газа достиг предела, дальнейшее продвижение связано с созданием ионныхдвигателей, где молекулы газа получают большую скорость за счетразгона в электрическом поле.Из (29.3) легко найти зависимость скорости от времени. Если двигательвыбрасываетежесекундноодинаковуюмассугазаdm г = -dm = a dt , где a = const , то масса ракеты зависит от временикак m = m 0 - at . Подставляя эту массу в (29.4), получаемv = u 0 lnm0m 0 - at71.(29.5)§ 30. Работа и кинетическая энергияРассмотрим перемещение материальной точки (частицы) из точки 1в 2 вдоль некоторого пути l под действием силы F , которая в общемслучае может зависеть от координаты, скорости и времени. На каждомучастке силу можно разложить на продольную (тангенциальную) иперпендикулярную (нормальную) составляющую по отношению к линии движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
