1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В качестве часов может быть испольв системе S ¢в системе SBBl0cAcA1a)VtA2б)Рис. 20зован любой периодический процесс. Пусть часы состоят из двух отражателей, расположенных на жестком стержне, и между ними движетсякороткий сигнал, распространяющийся со скоростью c, рис. 20, а.Пусть такими часами снабжены все наблюдатели в системе S .
Одни из38таких часов расположим в системе S ¢ вдоль оси Y ¢ . Что скажут наблюдатели в системе S , присмотревшись к работе движущихся относительно них часов? В системе S ¢ сигнал проходит путь туда и обратноза времяt 0 = 2l0 c .(16.1)С точки зрения наблюдателей, находящихся в системе S , сигнал заодин период проходит путь, изображенный на рис. 20, б. Пусть периоддвижения света по часам в S равен t .
Поскольку поперечный размерпри движении не меняется и скорость сигнала равна c, то из теоремыПифагора следует2æt öc t = 2 l + V ççç ÷÷÷ ,è 2 ÷ø202(16.2)откудаt=2l 01c1 -V 2 c 2=t01 -V 2 c 2.(16.3)Отсюда следует вывод: движущиеся часы идут медленнее, чемтечeт время в неподвижной системе, в g = 11 -V 2 c 2 > 1 раз. Этоявление многократно наблюдали в экспериментах с быстро движущимися нестабильными частицами. Увеличение их времени жизни достигало тысяч раз в точном согласии с предсказанием.В связи с этим явлением замедления времени часто возникает вопрос, сформулированный как «парадокс близнецов».
Один из братьевблизнецов улетел на ракете и, вернувшись домой, оказался моложесвоего брата, оставшегося на Земле. Кажущийся парадокс заключаетсяв том, что если задачу рассматривать в системе ракеты, то летал брат,оставшийся на Земле, тогда он должен быть моложе. Получается противоречие. Задача, на первый вгляд, кажется симметричной, поэтомубратья должны постареть одинаково. На самом деле парадокса здесьнет. Обратите внимание, что при нашем рассмотрении в системеS ¢ сигнал был испущен и принят в одной и той же точке A , в то времякак в системе S эти события произошли в разных точках A 1 и A 2 .Симметрии нет.
В парадоксе близнецов тоже нет симметрии. Близнец,оставшийся на Земле, всe время находился в одной и той же инерциальной системе, летавший же на космическом корабле при развороте39назад перепрыгнул из одной инерциальной системы в другую. При таком переходе нужно синхронизовать заново все часы в системе космонавта. Поэтому считать, что космонавт покоился, а Земля летала от него и вернулась назад, просто некорректно. Правильный ответ соответствует рассмотрению в системе Земли, т. е. близнец-космонавт окажется моложе своего брата-близнеца, оставшегося на Земле.В экспериментах на ускорителях рождаются различные нестабильные частицы. Они пробегают некоторый путь в детекторе и распадаются.
В этих экспериментах с огромной точность проверено, что ихсреднее время жизни дается формулой (16.3).§ 17. Сокращение продольного размера движущегося телаПосмотрим, что произойдет, если те же часы в системе S ¢ положить вдоль оси X ¢ . От этого их длина и скорость хода в системе покояне изменятся.
С точки зрения наблюдателей, находящихся в системеS , сигнал в движущихся относительно них часах за время t1 пробегает от левого конца до правого, а затем за время t2 возвращается обратно. Путь, проходимый сигналом при его распространении слева направо, равен длине часов плюс смещение правого конца за время t1 , т. е.c t 1 = l + V t1 .(17.1)Здесь l – пока неизвестная длина часов в системе S . При движениисигнала справа налево путь будет меньше l на смещение левого конца,т.
е.c t 2 = l -V t 2 .(17.2)Период часов, лежащих на боку, естественно, не отличается от показаний часов, стоящих вертикально, отсюда, с учетом (16.3), (17.1),(17.2), получаемæö÷çç÷2l 01 ÷÷2llç 1÷÷ =. (17.3)t== t1 + t2 = çç+2öç2æ÷cVVVç÷V1 + ÷÷ c çç1 - ÷÷÷ç1 c 1- 2èçccøçèçc 2 ÷øcОтсюда находим длину горизонтально лежащих часов l , которая,оказывается, не совпадает с l 0 :l = l 0 1 -V 2 c 2 = l 0 / gg = 1 / 1 -V 2 c 2 .40(17.4)Итак, измеряемый размер тела вдоль направления движениясокращается!Приведем еще один вывод данной формулы. Пусть в системе Sрасположены часы Ч, мимо которых пролетает стержень со скоростьюV .
Длина стержня в системе S ¢ , где он покоится, равна l 0 . Пусть длина стержня в системе S равна l , тогда интервал времени между прохождением начала и конца стержня составит t 0 = l /V . Мы обозначили время индексом ноль, подчеркивая, что это собственное время, т. е.показания одних и тех же часов. Перейдем теперь в систему покоястержня S ¢ .
Мимо него проносятся часы Ч со скоростью V , разницавремени между пролетом начала и конца стержня будет t = l 0 / V .Здесь разница времени берется между показаниями часов, установленных в начале и конце стержня. Но мы знаем, что движущиеся часы, показания которых сравниваются с различными неподвижными часами,идут медленнее в g = 1 / 1 -V 2/ c 2 раз, т. е. t 0 = t 1 -V 2/ c 2 . Отсюдаll= 0V V1 -V 2/ c 2 , и мы снова получаем формулу (17.4):l = l 0 1 -V 2 c 2 , т.
е. продольные размеры движущегося предмета со-кращаются. Это не кажется, это действительно так. Если бы сокращения длины стержня не было, то он пролетел бы мимо часов Ч за времяll0/V , а мы только что показали, что это время меньше: 0 1 -V 2/ c 2 .VНекоторые примеры сокращения длиныМы установили, что если стержень движется, то в неподвижнойсистеме его длина будет в g раз меньше. Один пример. В ускорителеВЭПП-4 (ИЯФ СО РАН) электроны имеют энергию до 5 ГэВ, что соответствует g » 104 .
Длина пучка электронов (содержит порядка1010 электронов) в ускорителе (в лабораторной системе отсчета) составляет около 1 см. В системе отсчета пучка его длина будет в g разбольше, т. е. около 100 м! Это больше радиуса орбиты в ускорителе (R= 45 м). Если ускоритель представить квадратным, то в системе пучкасторона квадрата сократится в 104 раз и станет во много раз корочепучка. Это означает, что в сопутствующей системе пучок не вмещается41в размер стороны квадрата ускорителя, по которой он движется, частьпучка находится за углом.Еще один пример: космический корабль, движущийся со скоростьюV , летит до звезды, находящейся на расстоянии L .
За какое время почасам на корабле он долетит до звезды?Эту задачу можно решить в лабораторной системе, учитывая, чтодвижущиеся часы идут медленнее в g раз, отсюда t = L/gV . В системе же ракеты нужно рассуждать по-другому: расстояние до звезды сократится в g раз, отсюда получаем такой же ответ.Рассуждая о сокращении длины линейки при ее движении, мы интуитивно подразумеваем, что если взять реальную линейку и разогнать, то ее длина уменьшится в g раз. Так ли это? Рассмотрим дваэлектрона, расположенные вдоль оси X на расстоянии l 0 . Теперь одновременно во всех точках лабораторной системы включим электрическое поле, направленное вдоль оси X .
Электроны начнут ускоряться,пройденный ими путь за одно и то же время будет одинаковым, а этозначит, что расстояние между ними останется прежним, никакого сокращения длины в лабораторной системе не произошло! Более того, всопутствующей системе отсчета расстояние между ними увеличилосьв g раз.
Детальное объяснение этому факту дано в конце следующегораздела (преобразования Лоренца).Рассмотрим теперь те же два заряда, но скрепленных жесткой спицей. В системе покоя спицы ее длина не меняется, а в системе лабораторной сокращается. После разгона расстояние между зарядамиуменьшилось с l 0 до l 0 /g , т. е. второй электрон приблизился к первому. Каким образом? Это могло произойти только за счет того, что вспице возникало натяжение, которое замедляло первый заряд и ускоряло второй заряд. Именно благодаря внутреннему напряжению спицеудается сохранять длину в сопутствующей системе отсчета.
Если былабы не спица, а слабенькая резинка, то она растянулась бы в сопутствующей ей системе отсчета. Детальное объяснение механизма такогорастяжения дано в конце следующего параграфа.42§ 18. Преобразование ЛоренцаПусть в системе S в точке с координатой x в момент времени tпроизошло некоторое событие. Найдем его координату x ¢ и время t ¢ всистеме S ¢ . Учитывая релятивистское сокращение продольного масштаба, можно утверждать, что если в S ¢ событие произошло в точкеx ¢ от начала отсчeта O ¢ , то в неподвижной системе S оно произойдетна расстоянии x ¢ 1 -V 2 c 2 от точки O ¢ , координата которой, в своюочередь, x 0 = Vt , следовательноx = Vt + x ¢ 1 -V 2 c 2 .(18.1)Отсюда получаемx¢ =x -Vt1 -V 2 c 2.(18.2)Поскольку системы S и S ¢ симметричны относительно друг другаи отличаются только знаком относительного движения, то после замены x x ¢ , x ¢ x , t t ¢ , V -V получаемx=x ¢ + Vt ¢1 -V 2 c 2.(18.3)Подстановка последнего выражения в (18.1) даетVx ¢c2 .t=1 -V 2 c 2t¢ +(18.4)Обратное преобразование получается путем замены V -V :Vxc2.t¢ =1 -V 2 c 2t-43(18.5)Учитывая, что поперечные размеры не меняются, в итоге получаемпрямые и обратные преобразования ЛоренцаLL-1ìï x ¢ = g(x -Vt )ìï x = g(x ¢ + Vt ¢)ïïïïïïy¢ = yy = y¢(18.6)ïïïíïíz¢ = zz = z¢ïïïïïïïï2t ¢ = g(t -Vx c )t = g(t ¢ + Vx ¢ c 2 ),ïïïîïîгде g = 1 / 1 -V 2/c 2 .Эти формулы получены для частного случая, когда скорость направлена вдоль оси X.
Нетрудно получить аналогичные формулы припроизвольном угле между V и осью X , представив вектор r в видедвух составляющих: r – вдоль скорости и r^ – в поперечном направлении:(Vr)(18.7), r^ = r - r,V2тогда преобразования Лоренца можно записать в видеVr ¢(18.8)r = g(r¢ + Vt ¢), r^ = r^¢ , t = g(t ¢ + 2 ) .cЗдесь Vr ¢ – это скалярное произведение. Для случая параллельных осей,но с произвольно направленной относительной скоростью V , эти формулы можно преобразовать к виду, впервые полученному Герглоцем:1r = r ¢ + 2 (g - 1)(Vr ¢)V + g Vt ¢, t = g(t ¢ + Vr ¢/c 2 ) (18.9)VПример.
Пусть два события произошли одновременно в системе S ¢r = r + r^ ,r = Vв различных точках x 1¢ и x 2¢ . Из формул обратного преобразованияЛоренца получаем временной интервал между событиями в системе St2 - t1 = gV(x 2¢ - x 1¢) ¹ 0 .c2(18.10)Именно поэтому при измерении длины линейки, лежащей вдольдвижения в системе S ¢ , экспериментаторы из систем S и S ¢ получают разные результаты.44Наконец, рассмотрим пример, позволяющий до конца понять, почему в приведенном в предыдущем разделе примере при одновременном ускорении в лабораторной системе двух зарядов расстояние в сопутствующей системе возрастает. Пусть эти два заряда, расположенные на расстоянии l 0 , одновременно (в лабораторной системе S ) в результате удара получают скорость V . В сопутствующей системе расстояние между ними будет в g раз больше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
