1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Чемуравна их относительная скорость (рис. 8)?По определению, относительная скоростьv отн = v2 - v1 = v2 + (-v1 ) .18(6.3)Видим, что операция вычитания вектора эквивалентна прибавлениюv1v2v1vотнv2v1v2Рис. 8Рис. 9vотнРис. 10вектора с противоположным направлением. Пристраивая вектор (-v1 )к концу вектора v2 (рис. 9), находим построением вектор v отн .Заметим, что относительную скорость можно найти более простымпостроением.
Сведем начало векторов v1 и v2 в одну точку (рис. 10).Вектор, идущий от конца вектора v1 к концу вектора v2 , и будет вектор относительной скорости. Действительно, исходное выражение дляотносительной скорости v отн = v2 - v1 – то же самое, что иv1 + v отн = v 2 , соответствующее рис. 10.Для векторов создана векторная алгебра: b = g a – умножение на число; c = a + b или cx = ax + bx , cy = ay + by – сложение;c = a - b или сx = ax -bx ,c = (ab) º ab = | a || b | cos jсy = ay -by – вычитание;–скалярноеумножение(c – скаляр, т. е. число, j – угол между векторами); c = [ab] º [a, b] º a ´ b–векторноеумножение,| c |=| a || b | sin j .
Направление вектора c перпендикулярноa и b и находится по правилу буравчика при повороте a кb по кратчайшему пути, поэтому a × b = -b × a .Для скалярного и векторного произведений работает распределительный закон: (a + b)c = ab + bc .Запишем скалярное и векторное произведение через компонентывекторов.
Скалярное произведение двух векторов (ax , ay , az ) и (bx , by , bz )c = (ab) = (iax + jay + kaz )(ibx + jby + kbz ) = axbx + ayby + azbz , (6.4)19при этом учтено, что (ii) = ( jj) = (kk) = 1 , а (ij) = (jk) = (ik) = 0 .Убедимся, что получается формула c = (ab) =| a || b | cos j . Пустьa = (cos a, sin a), b = (cos b, sin b ) и j = b - a , тогдаab = cos a cos b + sin a sin b = cos(b - a) = cos j – все верно.Найдем теперь компоненты векторного произведения:c = a × b = (iax + jay + kaz ) × (ibx + jby + kbz ) .Учитывая, что[i j] = -[ ji ] = k,[ jk ] = -[ k j] = i,(6.5)[ k i ] = -[i k ] = j(используется правая система координат), получаемc = i(aybz - azby ) + j(azbx - axbz ) + k(axby - aybx ) .(6.6)В принципе можно придумать и другие операции векторами, но онине применяются, так как для них не работает распределительный закон.В данном курсе нам понадобятся еще произведения трех векторов:a[ bc] = [ab]c = [ca ]b ,(6.7)в результате такого произведения получается скаляр, соответствующийобъему параллелепипеда, построенного из этих векторов.Еще одно произведение трех векторов – это двойное векторноепроизведение[a [ bc]] = b(ac) - c(ab) .(6.8)Здесь в результате получается вектор.
Это выражение можно получитьпрямой проверкой.§ 7. Прямая задача кинематики, скорость и ускорениеПрямая задача кинематики заключается в нахождении скоростиv(t ) из известного r(t ) и ускорения a(t ) из v(t ) . Рассмотрим сначалаодномерную задачу.Dxпри Dt 0 в момент времениМгновенная скорость v =Dtt = t0 будет не что иное, как производная функции x (t ) , равная тангенсу угла наклона между касательной к графику и положительнымнаправлением оси t (рис. 11).20Xx (t )tt0Рис. 11Производная функции x (t ) в точке t0dx (t0 )x (t0 + dt ) - x (t0 ).=dt dt 0dtРассмотрим простейший пример:Подставляя в (7.1), получаемx (t ) = at 2 , где(7.1)a = const .2dx (t ) a(t + dt )2 - at 2 2at dt + a(dt )== 2at + adt = 2at .=dt 0dtdtdt(7.2)Используются различные обозначения производной:dx (t )– по Лейбницу;dtx ¢(t ) – по Лагранжу;x – по Ньютону.Все это мгновенная скорость v(t ) .Ускорение, по определению,a(t ) =v(t + dt ) - v(t ) dv=º v ¢(t ) º v(t ) .dtdt(7.3)Выразив v(t ) через x (t ) , получаемa(t ) =d 2x (t )º x ¢¢(t ) = x(t ) .dt 221(7.4)Выпишем производные от элементарных функций, часто встречающихся в физических задачах (подробности в курсе математического анализа):f (x )f ¢(x )f (x )f ¢(x )const0exexnx n -1n- n +1x11xn1xnxx1/ xsin xcos x(7.5)cos x2 x1- 2x1xln x- sin xtg x1 / cos2 xctg x- 1 / sin2 x .Дифференцирование произведения и дроби функцйПусть f (x ) = u(x )v(x ) , тогдаdfu(x + dx )v(x + dx ) - u(x )v(x )==dxdx=(u(x ) + u ¢(x )dx )(v(x ) + v ¢(x )dx ) - u(x )v(x )dx=(7.6)dx 0= u ¢(x )v(x ) + u(x )v ¢(x ).Аналогично находятся производные от любых произведений и дробей,в частности,f (x )f ¢(x )u(x )v(x )u ¢(x )v(x ) + u(x )v ¢(x )u(x )v(x )g(x )u ¢(x )v(x )g(x ) + u(x )v ¢(x )g(x ) + u(x )v(x )g ¢(x ) (7.7)u(x )v(x )u ¢(x )v(x ) - u(x )v ¢(x ).v 2 (x )22Дифференцирование сложной функцииПусть есть f (u ) , где u = g(x ) .
Тогда f (x ) = sin2 x . ЗдесьНапример:df= 2u,dudfdf du=. dxdu dx (7.8) f = u 2 , где u = sin x . Находимdudf= cos x , следовательно= 2 sin x cos x = sin 2x .dxdxИспользуя эти довольно простые правила, можно найти производную от любой функции, являющейся комбинацией элементарных математических функций. Задача всегда имеет решение.При движении в пространстве удобно использовать векторное описание, при этом мгновенная скорость (рис.
12)r(t + Dt ) - r(t ) dr= .Dt 0Dtdtv(t ) = limrr (t dt )r (t )Рис. 12vzГодографскоростиv(t)vyvxРис. 13dv d 2 r= 2 . dtdtВ декартовых кординатах ædx dy dz öv = (vx , vy , vz ) = ççç , , ÷÷÷ .è dt dt dt ÷øАналогичноa(t ) =(7.9)(7.10) (7.11) Конецвектораr(t )описываеттраекторию в X , Y , Z -пространстве. Поаналогии можно нарисовать то же дляскорости (рис. 13).
Такую кривую впространствескоростейназываютгодографом скорости. Он показываетзначения скорости во время движения.Это понятие используется редко.23§ 8. Обратная задача кинематики При движении под действием силы известно ускорение a(t ) инеобходимо найти v(t ) и r(t ) .В одномерном случае перемещение – это площадь под кривой v(t )(рис. 14), которая находится как сумма малых перемещений. Пристремлении шага суммирования к нулю сумма переходит вопределенный интегралx - x 0 = å vi Dti =itò v(t )dt .(8.1)t0Примечание.
Следует различать «перемещение» и «пройденныйтелом путь». Перемещение в(одномерном случае) – это разницаv(t )координат конечной и начальныхточекt2S=tt0ò v(t )dt.(8.2)t1Путь пройденный телом – этоtt2S=Рис. 14òv(t ) dt.(8.3)t1Например, автомобиль целый день ездил по городу и вернулся вгараж, тогда перемещение равно нулю, а путь равен изменениюпоказаний одометра (счетчика пробега). Таким образом, путь иперемещение равны только при одномерном движения в одномнаправлении.Итак, известна скорость v(t ) , нужно найти путь S (t ) . Как это сделать математически? Поскольку мы знаем, что v(t ) = S ¢(t ) , то задачасводится к нахождению такой функции S (t ) , чтобы ее производнаяравнялась скорости v(t ) . Эта задача, обратная нахождению производной, называется взятием интеграла от функции.Интеграл от f (x ) записывается так:ò f (x )dx = F (x ) + const ,24(8.4)где функция F (x ) такая, что F ¢(x ) = f (x ) , ее называют первообразнойфункцией от f (x ) .
Константа в (8.4) отражает тот факт, чтопервообразная определена с точностью до константы, посколькупроизводная от константы равна нулю: (F (x ) + const)¢ = F ¢(x ) .Поэтому такой интеграл называют неопределенным интегралом.Можно представить, что неопределенный интеграл – это площадь подкривой f (x ) , где x меняется от некого постоянного, нонеопределенного значения до переменного значения x .Для того, чтобы найти площадь S в области a < x < b , нужно отзначения неопределенного интеграла в точке b отнять его значение вточке a , при этом константа выпадет и получается определенныйинтеграл, равный разности значений первообразной в точках b и a :bS=ò f (x )dx = F (b) - F (a ) .(8.5)aТаким образом обратная задача кинематики сводится к взятиюинтегралов, т. е. нахождению первообразных.Для некоторых функций интеграл находится сразу, например,поскольку (sin x )¢ = cos x , то ò cos x dx = sin x + const .
В отличие отпроцедуры нахождения производной взятие интеграла является болеесложной задачей. Не для всякой функции, состоящей из элементарныхфункций, можно найти первообразную, выражающуюся черезэлементарные функции.Если функция сложная и интеграл не берется, то для физиков это непроблема, так как любой определенный интеграл можно быстро найтис помощью компьютера, разбив отрезок ab на малые отрезки Dx ипросуммировав f (x i )Dx .
Однако лучше, когда ответ задачи можновыразить не числом, а формулой для произвольных a и b .Техниканахожденияинтеграловизлагаетсявкурсематематического анализа. Ниже приведена таблица некоторыхпростейших интегралов:x n +1ò x dx = n + 1 , (n - действ. число, n ¹ -1) ò sin x dx = - cos xndxò x = ln | x |,ò e dx = ex(8.6)ò cos x dx = sin xò tg x dx = - ln | cos x |.(x ¹ 0)x25Пример. Пусть скорость v = bt 2 ( b – число), найти перемещение завремя от t1 до t2 .Ответ находится путем взятия определенного интегралаt2x=bt2ò bt dt = 3 t |23t1t1=b 3(t2 - t13 ) .3(8.7)Эту же задачу можно сформулировать несколько иначе: пустьскорость v = bt 2 , найти, как путь (перемещение) зависит от времени,если x = x 0 в момент t0 . В этом случае берется неопределенныйинтеграл, а константа находится из начальных условий:x=bò bt dt = 3 t23+ const .(8.8)bПодставляя сюда x = x 0 , t = t0 , находим const = x 0 - t03 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
