1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Оконча3тельный ответ:bx = x 0 + (t 3 - t03 ) .(8.9)3Мы рассмотрели прямую и обратную задачу кинематики вдекартовой системе координат. Она сводится к простомудифференцированию и интегрированию по каждой из проекций.В векторной формеtr(t ) =tò v(t ) dt + r(t ),v(t ) =0t0ò a(t ) dt + v(t ).0(8.10)t0Здесь каждое векторное уравнение является удобной записью трехуравнений для движения по каждой проекции.Еще немного математикиВ физике часто требуется упростить формулы, содержащие малыевеличины, сохранив при этом главные члены, содержащие эти малыевеличины. Приведем некоторые полезные математические приемы.1.f (x ) = 1 + x » 1 +x, где x  1 .226(8.11)Это нетрудно проверить, возведя обе части в квадрат, получаетсяслева 1 + x , справа 1 + x + x 2/4 .

Последним членом можнопренебречь, так как он следующего порядка малости по сравнению совторым членом, содержащим x .1+a2., где a, b  1 .f (x ) =1+bДомножая числитель и знаменатель на (1 - b ) и пренебрегаячленами второго порядка малости, получаемf (x ) =1 + a (1 + a)(1 - b ) 1 + a - b - ab==» 1 + a - b . (8.12)1+b(1 + b )(1 - b )1 - b2Ряд ТейлораЛюбую гладкую функцию вблизи точки a можно разложить в рядТейлора11f (a + x ) = f (a ) + f ¢(a ) x + f ¢¢(a ) x 2 +  f n (a )x n .(8.13)2!n!Действительно, продифференцировав выражение один раз (учитывая,что (x n )¢ = nx n -1 ), получаем f ¢(a + x ) = f ¢(a ) плюс члены, содержащие малый параметр x . Продифференцировав дважды, получаемf ¢¢(a + x ) = f ¢¢(a ) + малые члены и т. д.

Тем самым мы проверили, чтопри малых x производные всех порядков у функций слева и справаравны. Такое может быть только в том случае, если равны сами функции. Разложение в ряд некоторых функций, которые нам понадобятся вдальнейшем ( x  1 ),x2 x3ex = 1 + x ++ ,(8.14)26x2ln(1 + x ) = x -  ,(8.15)2x3(8.16)sin x = x - ,6x2cos x = 1 - ,(8.17)2x3tg x = x + .(8.18)327§ 9.

Ускорение при криволинейном движенииДвижение по окружностиYvRXСначала рассмотрим равномерноедвижение по окружности в декартовыхкординатах(рис. 15).Пустьточкадвижется по окружности радиуса R .Радиус-вектор точки составляет уголj = wt относительно оси X , где w –угловая скорость.

За период обращенияT = 2pR v приращение угла поворотаравно wT = 2p , отсюдаРис. 15w=2pv= .TR(9.1)Учитывая, что x = R cos j, y = R sin j , получаемx = R cos wtx = -Rw sin wtx = -Rw 2 cos wty = R sin wty = Rw cos wty = -Rw 2 sin wt,(9.2)откудаx = -w 2x ,y = -w 2y(9.3)v 2 æç r ö÷ç ÷,R çè R ÷÷ø(9.4)r = -w 2 r = -илигде r = i x + j y – радиус-вектор точки, |r| º R . Получается, что ускорение направлено к центру окружности.Рассмотрим то же самое в полярной системеvкоординат (рис. 16).

При смещении точки на уголvd j вектор v поворачивается на этот же угол.dИзменение вектора скорости находим, совместивначаланачального и конечного векторов скорости.RТогда векторы начальной, конечной скорости иизменения скорости образуют равнобедренныйтреугольник с углом при вершине d j . Изменениескорости по модулю равноРис. 16dv = 2v sin(d j/2) » vd j ,28(9.5)а вектор изменения скорости направлен к центру окружностиdv = -e r vd j,(9.6)где er – единичной вектор, направленный вдоль радиус-вектора точки.Отсюда ускорение –an =dvdjv2= -e rv= -e rv w = -e r .dtdtR(9.7)При равномерном движении по окружности точка имеетцентростремительное ускорение an , перпендикулярное скорости(«нормальное» ускорение).

Этот результат эквивалентен формуле (9.4).Если меняется абсолютное значение скорости, то кромецентростремительногоускорениядобавляетсятангенциальноеускорение a t , направленное по касательной к окружности (вдольнаправления скорости) и равноеa t = ejdv,dt(9.8)где ej – единичный вектор в направлении скорости, v – модульскорости (скаляр). Полное ускорение при движении по окружности –a = a n + a t = -e rv2dv.+ ejRdt(9.9)Тангенциальное и нормальное ускорение при произвольномдвиженииРассмотрим случай произвольного движения. Известно, что черезлюбые три точки можно провести окружность.

Выберем триближайшие точки на траектории и проведем окружность. Как былопоказано выше, полное ускорение будет суммой тангенцального инормального ускоренийv2dv+t .(9.10)RdtЗдесь n = -e r – единичный вектор в направлении центра окружности,a = an + at = nt = e j – единичный вектор в направлении скорости. Отсюда получаемспособ нахождения R. Поскольку t и n перпендикулярны, то29a 2 - a t2an1===R v2v2v 2 - v 2.v2(9.11)1wdj= v w, v = 0, тогда= .RvdtДругой способ нахождения радиуса кривизны:Для равномерного движения v = va1= n2 ;RvЗдесь (av)an = | a n | = | a - a t | = a -(av)v.v2(9.12)– скалярное произведение, модуль вектора – этоA = Ax2 + Ay2 .

Если известны декартовы компоненты скорости иускорения, то по этой формуле легко найти радиус кривизны.Рассмотрим еще один способ нахождения R, используя векторноепроизведение. Поскольку нормальная составляющая ускорения равнаполному ускорению, умноженному на синус угла между ускорением искоростью, то она может быть записана в видеan =| an |=| [av ] |.|v |(9.13)Если ускорение и скорость лежат в плоскости X–Y, тоединственная составляющая векторного произведения неравная нулюнаправлена по Z.

Используя формулу (6.6) для векторногопроизведения, находим - yx | ,| [av ] |=| xy(9.14)a - yx |1| [av ] || xy.= n2 == 23R|v |(x + y 2 )3/2v(9.15)30§ 10. Прямая задача кинематики в полярной системекординатВ некоторых случаях, например при описании движении планет,удобно пользоваться не декартовой, а полярной системой координат.Введем вектор er вдоль радиус-вектора, eje errпоперекрадиус-векторавнаправленииувеличения угла.

Радиус-вектор произвольнодвижущейся точки –jr = e rr .При движении меняется и длинанаправление er . Нетрудно видеть, чтоРис. 17de r = eφd j,dej = -erd j илиe r = eφj ,e j = -er j .(10.1)r,и(10.2)Отсюдаv = r = (e rr )¢ = e r r + ej r j .(10.3)Дифференцируя еще раз, используя правило дифференцирования( f1 f2 f3 )¢ = f1¢ f2 f3 + f1 f2¢f3 + f1 f2 f3¢ ,(10.4)находим ускорениеa = (e rr + ej rj ) + (-e r r j 2 + ej rj + ej r j) == e r (r - r j 2 ) + ej (2rj + r j).(10.5)Таким образом, зная r (t ) и j(t ) , мы можем найти a(t ) .Происхождение четырех слагаемых следующее: первый член – ускоренное движение по радиусу; второй член – центростремительное ускорение, которое имеет место при равномерном движении по окружности; третий член появляется при одновременном (даже равномерном)движении по радиусу и углу j .

Половина этого члена связана с поворотом e r , вторая половина – с тем, что при увеличении радиуса,при постоянной j , боковая скорость должна увеличиваться; четвертый член – есть не что иное, как тангенциальное ускорениепри движении по окружности.31§ 11. Поворот твердого тела вокруг осиПусть тело вращается вокруг оси с угловой скоростью w , так чтоугол поворота d j = w dt (рис. 18). Введем вектор угловой скорости ω ,равный по величине w и направленный вдоль оси вращения твердоготела по направлению движения буравчика.

Выбранная точка теладвижется по окружности радиуса r sin q , перемещение точки| dr | = r sin qd j = r w sin q dt .(11.1)С учетом направленияdrqωOdr = [ωr ] dt .Скорость перемещения точкиrv=dr= [ω r ].dt(11.3)По абсолютной величине скорость равнаv = w r sin q = wR ,Рис. 18(11.2)(11.4)где R – расстояние от точки до оси. Векторускорения точкиa = v = [ω r ] + [ω r ] .(11.5)Здесь первый член – это тангенциальное ускорение, второй член –нормальное ускорение v 2/R .§ 12. Инерциальные системы отсчeта, принцип относительностиВ качестве системы отсчeта может быть выбрана любая совокупность тел, движущаяся по произвольным законам.

Есть класс особоважных в механике систем.Тело называется свободным, если влиянием других тел на его движение можно пренебречь. Система отсчeта, связанная с набором покоящихся относительно друг друга свободных тел, называется инерциальной системой отсчeта.Обобщая экспериментальные данные, Галилей (1564–1642) сформулировал закон инерции (называется также первым законом Ньютона): свободное тело в любой инерциальной системе движется равномерно и прямолинейно.32Тела в выбранной инерциальной системе могут двигаться с разными скоростями, и с каждым из них можно связать другую инерциальную систему.

Таким образом, существует бесконечное число инерциальных систем. Галилей также впервые высказал мысль, что во всехинерциальных системах отсчeта механические явления протекаютодинаково.В дальнейшем было осознано, что вообще все законы физики винерциальных системах отсчета имеют одинаковый вид. Это общееутверждение называют принципом относительности (Галилей, Пуанкаре, Эйнштейн).Здесь может возникнуть сомнение, ведь траектория движения падающего вертикально вниз на Землю тела выглядит по-разному в неподвижной относительно Земли системе отсчeта и системе, движущейся относительно неe с постоянной скоростью.

Противоречия здесь нет:принцип относительности утверждает только то, что вид закона движения, записанный через собственные координаты систем отсчeта,имеет один и тот же вид. В данном случае закон движения одинаков вовсех системахz = -g .(12.1)§ 13. Преобразование ГалилеяПусть инерциальная система S ¢ движется поступательно со скоростью V относительно другой инерциальной системы S. Соответствующим сдвигом и поворотом осей координат (это никак не влияет напроцессы, так как пространство однородно и изотропно) можно сделать так, чтобы оси были параллельны и движение происходило вдольосей X , X ¢ (рис. 19). Примем, что в момент t = 0 начала системотсчeта совпадали.YY¢Положение материальной точки всистеме S характеризуется координатами x , y, z и временем t , а в системеVS ¢ – x ¢, y ¢, z ¢, t ¢ соответственно.

Характеристики

Список файлов лекций