1611143688-95d5594d2be0e95e89d686a35c61b15f (825053), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Для получения правильных формул продифференцируем преобразования Лоренцаdx = g(dx ¢ + Vdt ¢), dy = dy ¢, dz = dz ¢, dt = g(dt ¢ +Vdx ¢).c2(22.2)Разделив dx , dy, dz на dt , получаемvx =vy¢ gvz¢ gv ¢ +Vdxdydz; vy =; vz =. (22.3)= x==dtvx¢Vdtvx¢Vdtvx¢V1+ 21+ 21+ 2cccЗаменяя знак у V , получаем формулы преобразования скоростей изS в S¢vx¢ =v -Vdx ¢;= xdt ¢vxV1- 2cvy¢ =vy gvz gdy ¢dz ¢; vz¢ =. (22.4)==dt ¢vxVdt ¢vxV1- 21- 2ccЛегко убедиться, что при малых скоростях эти формулы переходятв правило Галилея для преобразования скоростей.Пример. Если ракета летит со скоростью V » c и выпускают вперед снаряд со скоростью vx¢ » c относительно ракеты, то согласно(22.3) скорость снаряда относительно неподвижного наблюдателя будет равнаv = (vx¢ + V ) (1 + vx¢ V c 2 ) » c.(22.5)51§ 23.
АберрацияПусть в системе S ¢ движется тело со скоростью v ¢ под углом q ¢ коси OX ¢ . Найдем, под каким углом к оси X это тело движется в системе S (рис. 22).S¢Sv¢Vq¢O¢OРис. 22Поскольку vx¢ = v ¢ cos q ¢ и vy¢ = v ¢ sin q ¢ , то, применяя формулыпреобразования скоростей (22.3), находимvx =V + v ¢ cos q ¢Vv ¢1 + 2 cos q ¢cvy =v ¢ sin q ¢.æö÷¢Vvg çç1 + 2 cos q ¢÷÷çècø÷(23.1)Откудаtg q =vyvx=(sin q ¢g cos q ¢ + V v ¢)tg q ¢ =,sin q(g cos q -V v).(23.2)В случае, если тело движется с предельной скоростью v ¢ = c , например свет, можно легко получить выражения для sin q и cos q , заметив, что и в системе S скорость света также равна c.
Тогдаsin q =vyc=sin q ¢æöVg çç1 + cos q ¢÷÷÷÷øçèccos q =;vxc=cos q ¢ + V cV1 + cos q ¢cЭтот случай ( v ¢ = c ) называется световой аберрацией.52. (23.3)q ¢ q и V -V :Обратный переход получается заменой q q ¢,sin q ¢ =vy¢c=sin q;æ Vö÷çg ç1 - cos q ÷÷÷øçèccos q ¢ =vx¢c=cos q -V cV1 - cos qc.(23.4)Пример. Пусть в космическом корабле произошла вспышка света.Нетрудно получить направления лучей в лабораторной системе:q=0q¢ = 0 q ¢ = p 2 sin q = 1 -V 2 c 2 = 1 g .q¢ = p q=p(23.5)Видим, что свет, испущенный в системе корабля в переднюю полусферу, соберeтся в конус sin q = 1 g вокруг направления движениякорабля.
Это явление называют «эффектом фары».Явление аберрации искажает картину звeздного неба. Рассмотрим,что увидят наблюдатели в космическом корабле. Воспользуемся формулами (23.4) и учтем, что свет от звeзд падает на корабль, т. е. нужнозаменить c на -c . Пусть в лабораторной системе луч света падает накорабль по углом q к направлению движения. Тогда в системе корабляsin qsin q ¢ =.(23.6)æö÷Vçg ç1 + cos q ÷÷÷øçècПередняя полусфера неба соберется в системе отсчeта корабля в уголsin q ¢ = 1 -V 2 c 2 = 1 g .(23.7)Более того, в иллюминатор на носу корабля будут видны звезды иззадней полусферы, которые не были видны, когда корабль покоился.В этом нет ничего удивительного: если дождь бьет вам на спину, топри движении вперед капли будет падать на вас спереди.Явление звeздной аберрации впервые наблюдал Брэдли в 1725 г.В результате орбитального движения Земли относительно Солнцаугол, под которым видны звeзды, меняется в течение года на величинуV /c » 10-4 .
Пример нерелятивистской аберрации – изменение направления падения капель дождя при движении наблюдателя.53§ 24. Эффект ДоплераПри наблюдении звeздного неба из кабины движущегося космического корабля меняется не только распределение звeзд на небе, но иизменяется их цвет и яркость. Как известно, свет характеризуется частотой, длиной волны и скоростью распространения. Пусть волна возбуждается электронами, движущимися в плоскости XY (т. е. z = 0 ).Волна будет распространяться в направлении Z .
Рассмотрим толькоэлектрическую компоненту поля. Пусть вблизи поверхности z = 0E = E 0 (t ) . Тогда поле в точке с координатой zE (t, z ) = E 0 (t - z c) ,(24.1)т. е. равно полю у источника с задержкой z c . Пусть E 0 = A cos wt ,тогдаE (t, z ) = A cos(wt - kz ) ,(24.2)где k = w c . В заданной точке пространства поле меняется с периодом(фаза, wt - kz , меняется на 2p )T = 2p/w .(24.3)При фиксированном t поле имеет «гребни» и «впадины» спространственным периодом ( k Dz = 2p )l=Сдругойсоотношениястороны,2p2p. k=klk = w c,l = cT ,откуда(24.4)следуютwl = 2p c.тривиальные(24.5)Пусть поле наблюдается в точке с радиус-вектором r , тогдаz = r ⋅ cos q и можно записатьE (t, r) = A cos(wt - kr) .(24.6)Здесь k – волновой вектор, направленный в сторону распространения волны, его модуль определен (24.4).54Переходим, наконец, к нашей задаче – преобразованию частоты иволнового вектора волны при переходе из одной инерциальной системыотсчeта в другую.
Здесь может возникнуть вопрос, зачем нужно знатьпреобразование вектора k ? Во-первых, оказывается, между w и k имеется глубокая связь – они образуют 4-вектор; во-вторых, для квантовэлектромагнитного поля, фотонов, энергия и импульс равны E = w ,p = k (это будет обсуждаться в разделе релятивистская динамика).Итак, представим себе, что источник, неподвижный в системе S ¢ ,которая движется со скоростью V вдоль X , создаeт систему плоскихэлектромагнитных волн, распространяющихся из начала координат O ¢под углом q ¢ с длиной волны l ¢ = l0 и периодом T ¢ = T0 = l0/c (дляпростоты считаем, что происходят короткие вспышки через время T0 ).В лабораторной системе S фронт волны движется под углом q (рис. 23).SActBVt cos qqklXVtVисточникРис. 23Пусть первый фронт испустился при x ¢ = x = 0 .
К моменту очередной вспышки он будет в точке А. Следующую волну в системе Sисточник создаст через время t = gT0 (фронт, проходящий через точкуB), это следствие того, что в лабораторной системе время течет в g размедленнее, чем по часам движущегося источника волн. За это время всистеме S источник сдвинется на расстояние Vt вдоль оси X . На рисунке вспышки обозначены пунктирными линиями. Длина волны, т. е.расстояние между фронтами, будет равнаcT = l = AB = ct -Vt cos q = c gT0 (1 -55Vcos q) .c(24.7)1gV= (1 - cos q)T0 TcОтсюда находимилиw0 º w ¢ = gw(1 -Vcos q) = g(w - kxV ) = g(w - kV) ,c(24.8)(24.9)где kx – проекция волнового вектора на ось X.
Заменой V -Vполучаем обратное преобразованиеw = gw ¢(1 +Vcos q ¢) = g(w ¢ + kx¢V ) = g(w ¢ + k ¢V) .c(24.10)Изменение частоты при движении источника называют эффектомДоплера. Формулы (24.9), (24.10) являются решением задачи в случае,когда движущийся источник испускает световую волну, перемещающуюся со скоростью c.Из (24.9) получаем, что при q = 0w0 = gw(1 -V c)w = w01 +V cæVö= gw0 ççç1 + ÷÷÷ . (24.11)1 -V cc ø÷èВ направлении, перпендикулярном движению источника ( q = p 2 ),w = w0 g .(24.12)Заметим, что в первом случае (продольный эффект Доплера) изменение частоты V / c , во втором (поперечный эффект) V 2 c 2 .Эффект Доплера существует и в классике при малых скоростях источника (изменение звука сирены движущегося автомобиля). Их нельзяполучить из вышеприведенных формул простой заменой скорости светана скорость звука, так как скорость звука, в отличие от света, привязанак среде и не является инвариантом при переходе из одной инерциальнойсистемы в другую, как мы видели в начале этого параграфа.Используя формулы (24.9) и (24.10), нетрудно получить формулыдля преобразования вектора k .
Учитывая, что | k | = w/c , | k ¢ | = w ¢/c ,и формулы для аберрации света (23.4), имеемVcos q æöwVc = g çæçk - b w ö÷÷cos q ¢ = g çç1 - cos q ÷÷÷kx¢ = k ¢ cos q ¢ =÷x÷øcc çècVc ø÷èç1 - cos qcw¢56ky¢ = k ¢ sin q ¢ =öw¢wæ Vsin qwsin q ¢ = g ççç1 - cos q ÷÷÷= sin q = kyæö÷ccèccø ç Vg çç1 - cos q ÷÷÷÷cèøkz¢ = = kz .(24.13)Вспоминая определение 4-вектора (§ 19), мы видим, что четверкаìïw üïчисел ïí , kïý есть 4-вектор, так как преобразуется так же, как иïïc ïïîþ4-вектор события R{ct, r} , т.
е. по формулам Лоренца.Приведем ещe один красивый вывод формул для преобразования wи k . В системе источника S ¢ волна имеет вид cos(w ¢t ¢ - k ¢x ¢) . В неподвижной системе S поле пропорционально cos(wt - kx ) . Заметимтеперь, что там, где поле равно нулю, оно равно нулю в любой системе.
Отсюда следует, что фаза волны (то, что стоит в скобке) являетсяинвариантомилиwt - kr = w ¢t ¢ - k ¢r ¢(24.14)wt - kx x - ky y - kz z = w ¢t ¢ - kx¢x ¢ - ky¢y ¢ - kz¢z ¢.(24.15)Подставляя x ¢, y ¢, z ¢, t ¢ из преобразований Лоренца и приравниваяего сомножители при t, x , y, z в левой и правой частях равенства, получаемw¢w = g(w ¢ + kx¢V ), kx = g(kx¢ + b ), ky = ky¢, kz = kz¢ , (24.16)cчто и решает поставленную задачу.Все эти формулы запоминать не надо.
Достаточно помнить, что{w/c, k} – это 4-вектор, который преобразуется так же, как {ct, r} .Заметим, что полученные формулы преобразования {w/c, k} длясвета содержат сразу и эффект Доплера, и световую аберрацию. Действительно,k¢k¢ksin qsin q ¢ = y = y = y =,(24.17)æö÷k¢w ¢/cw ¢/cVçg ç1 - cos q ÷÷÷øçèc57что совпадает с формулой (23.4).При рассмотрении аберрации был пример искажения картинызвездного неба при его рассмотрении из кабины космического корабля.Было получено, что вся передняя полусфера соберется в угол 1/g .
А какизменится цвет звезд? Это можно найти из формулы (24.9), только ускорости света нужно поменять знак, так как свет идет к кораблю.Иначе, знак нужно поменять, потому что для света, идущего в сторонукорабля, cos q имеет противоположный знак по сравнению со случаем,когда свет идет от корабля. Для q = 0 получаем w ¢ = gw 1 + V /c , а()для звезды, находящейся в неподвижной системе под углом q = p/2 ,частота света в системе корабля w ¢ = gw .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
