1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

За 5 лет наблюдений с Землисветящийся объект, находящийся нарасстоянии 105 св. лет, совершилвидимоеугловоеперемещение104 рад, т. е. его кажущаяся скорость в два раза больше скоростисвета с. Найдите, под каким углом клинии наблюдения может двигатьсяРис. 2.5объект, чтобы его реальная скоростьбыла меньше с. Какова минимально возможная скорость объекта?Решение.Пусть объект движется со скоростью V под углом α к линии наблюдения AB.Если объект пройдет путь AC, то видимое с Земли перемещение будетравно OC  L  10 св. лет. Свет, испущенный объектом из точки A, придетк Земле раньше, чем свет, испущенный из точки С, на время:LLctg AC BC  AB AC AOT c  cVcV sin c V(так как угол θ мал, то BC  OB ).

Отсюда следует, что скорость объекта:Vc.cTcos  sin L291 53 .2Скорость объекта будет минимальной тогда, когда выражениеcTcos  sin  принимает максимальное значение. Это происходит приL12  arctg  26, 6 , так что Vmin c  0,9c .25Из условия V  c находим, что   2arctg2.6. Каким станет угол между диагоналями квадрата, когда он будет двигаться со скоростью V в направлении, параллельном одной из его сторон?Ответ. Продольный размер квадрата сократится в γ раз, поперечный останется прежним. Угол между диагоналями   2arctg .2.7.

В двух точках инерциальной системы отсчета K произошли события, разделенные промежутком времени Δt. Покажите, что если эти события причинно связаны в системе K (например, выстрел и попадание пули вмишень), то они причинно связаны и в любой другой инерциальной системе отсчета K  .Решение.x x t     t    t 1    0,c ct так как для причинно связанных событий t  0 и x t  c . xx     x   ct   t  c ,tтогдаx cxt.t  1   xc t30Покажем, что x  t   c . Действительно, в зависимости от знака x  x x c     1  0 , либо  c     1  0 , что вернополучаем либо  t tвсегда.2.8. В инерциальной системе отсчета K два события Р и Q произошлина расстоянии 3 106 км друг от друга, причем сначала произошло событиеР, а через 15 с после него событие Q.

Существует ли инерциальная системаотсчета, в которой событие Q случилось раньше события Р? А другаяинерциальная система отсчета, в которой события Р и Q произошли в одном и том же месте?Решение.За 15 с свет проходит расстояние  4,5 106 км. Это больше, чем расстояние в пространстве между событиями Р и Q. Значит, в принципе событие Р могло быть причиной события Q, а последовательность таких событий во времени ни в какой инерциальной системе отсчета не может оказаться перевернутой.

Зато какая-нибудь ракета вполне могла за 15 с перелететь (с постоянной скоростью, меньшей с) от места события Р к местусобытия Q. В системе отсчета ракеты события Р и Q произошли в одномместе.2.9. В системе Земли событие В произошло через 1 с после события А ина расстоянии 6 105 км от него. С какой скоростью и в каком направлениидолжна лететь ракета, чтобы в связанной с ней инерциальной системе отсчета события А и В были одновременны?Решение.Так как в системе ракеты события А и В одновременны, т.

е.x ct. Пусть ось x направлена от места, гдеt     t    0 , то  xc произошло событие А, к месту, где произошло событие В, тогдаx  6  105 км, t  1 с, и  ct 1 . Следовательно, ракета должнаx 2лететь со скоростью v  0,5c в направлении от точки А к точке В.312.10. На концах двух стержней2'1'собственной длины l0 укрепленыодинаковые синхронизированныедруг с другом часы.

Стержни приведены в движение с относительной скоростью v . В момент, когдачасы 1 и 1 находятся друг против1друга, стрелки обоих часовпоказывают нулевой отсчет. ОпреРис. 2.10делите показания часов в момент,когда поравняются друг с другом часы: а) 1 и 2 ; б) 2 и 1 ; в) 2 и 2 .Ответ. а) t1 2l0lllll, t2  0 ; б) t2  0 , t1  0 ; в) t2  t2  0  0 .vvv vvvВ системе K сначала поравняются друг с другом часы 1 и 2 и толькозатем часы 2 и 1 . В системе K , наоборот, сначала поравняются часы 2 и1 , а затем часы 1 и 2 .2.11.

Два кольца вращаются с равными по величине и противоположными по направлению угловыми скоростями ω вокруг общего центра.Предположим, что на одном кольце сидит Алиса, на другом – Боб и в некоторый момент времени, когда они проезжают друг мимо друга, показания их часов совпадают. Алиса думает, что раз Боб движется относительноеё, то его часы идут медленнее и к их следующей встрече ее часы уйдутвперед, а Боб придерживается противоположного мнения.

Что же произойдет в действительности?Решение.Из соображений симметрии ясно, что при следующей встрече Алисы иБоба показания их часов будут одинаковыми. В этом нетрудно убедиться,рассматривая интервалы собственного времени Алисы и Боба в системекоординат, связанной с покоящимся инерциальным наблюдателем.В полярных координатах d 2  dt 2  dr 2  r 2 d 2  dz 2 .Координаты мгновенно сопутствующей инерциальной системы, связанной с Алисой,  A  t при постоянных r и z, координаты Боба B  t при постоянных r и z. Следовательно, d A2  d B2  dt 2 1  r 2 2 и интервалы собственного времени для Алисы и Боба совпадают.322.12.

Луч света движется через системузеркал, расположенных в вершинах квадратасо стороной L. Найти время движения фотоначерез систему с точки зрения наблюдателей,движущихся со скоростью V, в направленияхпараллельно и перпендикулярно начальнойскорости фотона.VLОтвет. Для наблюдателя, движущегося параллельно начальной скорости фотона:t   3     L c , для наблюдателя, движущегосяVРис. 2.12перпендикулярно:t  3 L c .2.13. Космический корабль удаляется от Земли со скоростью V. Черезвремя Т после его старта с Земли посылают сигнал связи.

Каково с точкизрения космонавтов расстояние между Землей и кораблем в момент получения сигнала?Решение.В системе отсчета корабля сигнал с Земли будет послан в момент времени  T , Земля будет находиться при этом на расстоянии  TV . Сигналпройдет это расстояние за время  T , в течение которого Земля удалитсяеще на расстояние  TV . Таким образом, с точки зрения космонавтов расстояние между Землей и кораблем в момент получения сигнала составитL   TV   TV   VT 1    .2.14. Пуля, летящая со скоростью v относительно камеры и имеющая всвоей системе покоя длину b, сфотографирована с большого расстояния(рис.

2.14). За пулей параллельно ее траектории расположен метровыйстержень, покоящийся относительно камеры. Направление на камеру составляет угол α с направлением скорости пули. Чему равна кажущаясядлина пули, измеренная по снимку? (Какая часть метрового стержня наснимке будет закрыта пулей?)Решение.Традиционный ответ b  относится к измерениям, произведенным одновременно в лабораторной системе отсчета, но фотоны в лабораторнойсистеме отсчета испускаются не одновременно.

Они приходят одновременно, в силу чего (см. рис. 2.14) фотон 2 должен пройти за дополнительное время путь b cos  , где b – кажущаяся длина пули. Из преобразова33ния Лоренца находим (здесь штрихованные координаты относятся кЛ-системе)b  x    x  V t      b   b cos   ,откуда b b 1   cos  .b'b/γb/γvαb' cos αк камере12Рис. 2.142.15.

Хотя время жизни неподвижного мюона мало – около 2 106 с,мюоны, рожденные космическими лучами на высоте 30 км, достигают поверхности Земли. Определите верхний предел разницы между скоростьюсвета и скоростью мюонов.2c  c Ответ. l   v  c  v     2 104 c .2 l 2.16. Насколько должна отличаться от скорости света скорость образующихся на Солнце мюонов, чтобы от Солнца до Земли успевало долететь, не распавшись, 95 % частиц? Собственное время жизни мюонов около 2 106 с. Свет идет от Солнца до Земли около 500 с.Решение.Из закона радиоактивного распада dN dt   N , где λ – обратное время жизни мюонов в лабораторной системе,   1  , найдем число долетевшихдоЗемлимюонов34N  N 0 e t .Учитывая,чтоt  L v  ct v  t  , где t  500 с, найдем   5 109 и, соответствен-но, c  v c2 2  2 2 1020 c .2.17.

Источник света находится на расстоянии L от неподвижного зеркала. По пути от источника к зеркалу и обратно свет проходит через стеклянную пластинку толщиной l с показателем преломления n, движущуюсяот источника вдоль луча со скоростью V. Найти время движения света отисточника до зеркала и обратно.Решение.Рассмотрим два события: A – вход фотона в пластинку, B – выход фотона из пластинки. В системе пластинки расстояние между этими событиями x   l , а время t   nl c . В лабораторной системе x   l 1   n  ,t   l  n c   c  . Полное время движения фотона от источника до зер-кала складывается из времени движения внутри пластинки и вне ее:T  t L  x L  l   n  11    .cc cВремя движения фотона в обратном направлении получается из этоговыражения заменой V  V .

Характеристики

Список файлов книги