1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Таким образом, суммарное время движениясвета от источника и обратно равноT2 L 2 l n  1 .cc2.18. Вдоль оси пенала длиной L, закрывающегося с торцов крышкамиА и В (рис. 2.18 a), со скоростью V движется карандаш. Собственная длинакарандаша L0 удовлетворяет условию L0 > L > L0/γ (где γ – релятивистскийфактор карандаша). Сначала крышка А пенала открыта, а крышка В закрыта. Когда карандаш влетает в пенал, крышка А закрывается, так что в течение некоторого времени карандаш находится в закрытом пенале(рис.

2.18 б). Опишите явление в системе отсчета карандаша.Рис. 2.18352.19. Релятивистский трактор движется по полю с постоянной скоростью V. Сидящий в кабине тракторист насчитал на каждой половине гусеницы по N траков. Сколько траков насчитает на верхней и нижней половинах гусеницы неподвижный наблюдатель?Решение.Пусть L – длина рамы трактора, а l – длина одного трака в сопутствующей системе отсчета. По условию L l  N . В системе неподвижногонаблюдателя рама имеет длину L  , а каждый из траков нижней половины гусеницы – длину  l , так как относительно земли эти траки не движутся.

Отсюда следует, что число траков на нижней половине гусеницы равноN1  N 1   2  . Тогда на верхней половине число траков равноN 2  2 N  N1  N 1   2  .2.20. Пусть в системе K две частицы движутся навстречу друг другу соскоростями v1  1c и v 2   2 c , где 1 и  2 больше 1/2, но меньше 1.Найти скорость сближения этих частиц в системе K. Противоречит ли результат теории относительности? Найти относительную скорость частицсогласно формуле преобразования скоростей.Ответ.

Скорость сближения частиц в системе K равнаv1  v 2   1   2  c  c . Однако это не есть реальная скорость распространения чего бы то ни было физического.Относительная скорость частиц в теории относительности – это скорость одной частицы в системе отсчета, где другая частица покоится:vотн v1  v 2  2 1 c  c , так как 1  1   2  1  0 .vv1  1  21  1 22c2.21. В системе галактики фотон пролетает ее диаметр за времяT  105 лет.

Сколько времени потребуется фотону на это путешествие всистеме отсчета протона с релятивистским фактором   1010 , летящегоследом за фотоном? Как изменится результат, если протон летит навстречуфотону?36Решение.а) В системе протона, летящего вслед за фотоном, галактика имеет размер L  , причем край галактики приближается к протону со скоростью V,фотон и край галактики сближаются со скоростью c  V и встретятся черезвремяT L c  V LT 5 106 лет.2 c 2б) Если протон летит навстречу фотону, то в системе протона край галактики и фотон сближаются со скоростью c  V . В результате фотон догонит удаляющийся от него край галактики за времяT L2 L 2 T  2 1015 лет. c V c2.22. Два одинаковых стержня собственной длины l0 движутся в продольном направлении навстречу друг другу с одной и той же скоростью Vотносительно лабораторной системы отсчета.

Чему равна длина каждогостержня в системе отсчета, связанной с другим стержнем?Ответ. l 1  2l0 .1  22.23. Массивная плита, движущаяся перпендикулярно своей плоскостисо скоростью c/2, налетает на легкую неподвижную частицу. Найти скорость частицы после упругого столкновения с плитой.Решение.В системе плиты скорость частицы до столкновения была c/2, и послеупругого столкновения частица удаляется от плиты также со скоростьюc/2. Согласно формуле сложения скоростей, в лабораторной системе ско2рость частицы после отражения будет равна u c  0,8 c .1  22.24.

С помощью формулы преобразования скоростей получить результат опыта Физо. В этом опыте в лабораторной системе отсчета определялась скорость света в воде, текущей со скоростью V. Показатель преломления света в воде n .37Решение.Пусть K  – система отсчета, где вода покоится. В этой системе скорость света равна c n . Переходя к системе K, относительно которой K движется со скоростью u  c , имеемcuu  c1cnv u  1     u 1  2u  ncnnn1cn.2.25. Релятивистский танк движется по направлению к крепости соскоростью V.

Он выпускает n снарядов в секунду (по часам танкиста).Скорость снарядов относительно танка u. Сколько снарядов в секунду попадает в крепость (по часам гарнизона в крепости)?Решение.В системе отсчета танка расстояние между двумя последовательно выпущенными снарядами    u n , при этом крепость движется навстречусо скоростью V и снаряды попадают в крепость через промежутки времени t      u  V  .

В системе отсчета крепости расстояние между попавшими снарядами x  0 , следовательно t    V t . Отсюда получаем частоту попадания снарядов в системе отсчета крепости:n1  V  V u  V  n Vt t  V1  u.2.26. Фотон летит поперек ракеты со скоростью света относительно ракеты. Ракета же сама движется относительно звезд со скоростью V.

Определить полную скорость фотона в системе звезд.Решение.В системе звезд скорость фотон имеет две составляющие: продольную(вдоль движения ракеты) u x  V и поперечную u y  c  V . Полная скорость фотона в системе звезд равна u  u x2  u y2  c . Как и следовало ожидать, в любой инерциальной системе отсчета фотон имеет одинаковую помодулю скорость c, но только она по-разному проектируется на оси координат (так как направление полета фотона зависит от системы отсчета).382.27. Катер, имеющий относительно воды скорость u, движется изпункта А в пункт В, находящийся строго напротив на другом берегу релятивистской реки шириной L, текущей со скоростью V.

За какое время онпересечет реку?Ответ. t LV u2 V 2.2.28. При быстром движении наблюдателя относительно небосвода впередней полусфере насчитывается в N раз больше звезд, чем в задней.Определите скорость этого движения, если для неподвижного наблюдателя звезды распределены по небу изотропно.Ответ.

V  cN 1.N 12.29. Из двух точек, разделенных расстоянием L, одновременно вылетают две частицы сперпендикулярными друг другу одинаковымипо величине скоростями V. Найти минимальноерасстояние между частицами:а) в лабораторной системе отсчета;б) в системе одной из частиц.VVL12Рис. 2.29aРешение.а) В лабораторной системе отсчета частицы сближаются со скоростью V2  V1 и вектор скорости сближения составляет угол 45 с осью x. Минимальным расстоянием между частицами будет длина перпендикуляра,опущенного из конца отрезка L на вектор скорости сближения частиц:Lmin  L sin 45  L2.y'б) Если в лабораторной системе отсчетачастицы имели координаты x1  y1  t1  0и x2  L , y2  t2  0 , то в системе отсчетапервой частицы их координаты будут равны x1  y1  t1  0 и x2   L , y2  0 ,At2   L c .В системе отсчета первой частицы вторая частица движется в направлении BC соскоростью, проекции которой на оси координат39CV/γαγL VРис.

2.29бBx'равны Vx  V , Vy  V  . Минимальным расстоянием между частицамибудет длина перпендикуляра AC, опущенного из начала координат A налинию движения второй частицы (рис. 2.29б), иLmin   L sin  L1  ctg 2L1  2.2.30. Два стержня с собственной длинойL0, ориентированные перпендикулярно другдругу, движутся с одинаковыми по величинескоростями V вдоль своей длины. Какова длина одного из стержней в системе отсчета другого стержня? Каким будет результат в случае, если стержни движутся перпендикулярносвоей длине?Рис. 2.30аРешение.а) Пусть первый стержень ориентирован вдоль оси x лабораторной системыотсчета и движется вдоль нее со скоростью V, а второй стержень движетсявдоль оси y так, что в момент времени tкоординаты его концов были равны x, y1  и  x, y2  . В лабораторной системе оба стержня имеют длину L  L0  .

Всистеме первого стержня второй стерженьиимеет компоненты скорости Vx  VVy  V  (рис. 2.30б).V/γV12Рис. 2.30бПо преобразованиям Лоренца координаты концов второго стержня вмомент времени t     t   x c  равны    x  Vt  , y1  и    x  Vt  , y2  .Следовательно, стержень остаетсяпараллельным оси y  , а его длинаравна L  y2  y1  L0  .V/γб) Пусть стержни движутся перпендикулярно своей длине (например, в лабораторной системе первый стержень ориентирован по осиy и движется вдоль оси x, а второйVα1402Рис.

2.30вθстержень параллелен оси x и движется вдоль оси y). В системе отсчетапервого стержня второй стержень будет двигаться под углом  arctg 1   к оси x (рис. 2.30в), причем ось второго стержня будетнаклонена под углом   arctg   2  к оси x .Обсудим более подробно, почему ось второго стержня будет наклонена. Пусть в лабораторной системе в момент времени t координаты концоввторого стержня равны  x1 , y  и  x2 , y  , при этом x2  x1  L0 . В системепервого стержня координаты концов второго стержня измеряются в один итот же момент времени t1  t2 , т.

е.   t1   x1 c     t2   x2 c  , откудаt2  t1   L0 c . Таким образом, в лабораторной системе отсчета координа-та правого конца второго стержня измеряется позже на время  L0 c иравнаy2  V  L0 c   2 L0 . В системе первого стержняy1  y1  0,y2  y2   L0 . По преобразованиям Лоренца:2x2  x1     x2  x1    c  t2  t1      L0   2 L0   L0  .Таким образом,tg y2  y1  2 L0  2 ,x2  x1 L0 т. е. второй стержень наклонен под углом   arctg   2  к оси x .Длина второго стержня равнаL  x2  x1    y2  y1 22 L0 1   2   4 .2.31. Парадокс метрового стержня.

Метровый стержень, расположенный параллельно оси x системы K, движется вдоль оси x со скоростью V.Тонкая пластинка, параллельная плоскости xz системы K, движется вверхвдоль оси y со скоростью u. В пластинке проделано круглое отверстиедиаметром в 1 м, центр которого лежит на оси у. Середина метровогостержня оказывается в начале координат системы K в тот самый момент,когда движущаяся вверх пластинка достигает плоскости y  0 . Но метровый стержень относительно K испытал лоренцево сокращение и, следовательно, свободно проходит через отверстие.

Соударения между стержнеми пластинкой по этим соображениям не произойдет.41Однако рассмотрим это «столкновение» с точки зрения системы K  ,связанной со стержнем. В системе K  стержень не подвержен сокращению, поскольку он покоится, зато лоренцево сокращение испытывает отверстие в пластине.

Следовательно, по этим соображениям соударениемежду стержнем и пластинкой будто бы неизбежно.Произойдет ли соударение стержня с пластинкой в действительности?Ответ. Соударения не произойдет и в системе K  , так как в ней плоскость движущейся стенки наклоняется. В итоге метровый стержень с полностью «сохранившейся» длиной проскальзывает через сократившеесяотверстие, но расположенное уже под углом к стержню.

Характеристики

Список файлов книги