1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В процессе падения на него действует только сила тяжести, и его скорость непосредственно перед ударом о поверхность равна v  2 gx , а длина части каната,уже упавшей к моменту времени t, равна x  gt 2 2 . После удара этот элемент покоится, и поэтому импульс, передаваемый столу за время dt , равенdp   m l  2 gxdx . Таким образом, показания весов в момент времени tбудут складываться из силы тяжести, действующей на уже упавшую частьканата, и скорости передачи импульса от падающей части:Fmdp m gt 2 m 2 3m3m 2 2g x t   g v gx g t .ldtlll22lСледовательно, в момент завершения падения всего каната весы покажут F  3mg при x  l .Полный импульс, переданный канатом весам:lm2m2 2ml2 gx dx 2 gl 2g ,3320 lpчто несколько меньше, чем если рассматривать канат как материальнуюточку, расположенную в центре масс на высоте l/2 .3.20. Свернутая в клубок тяжелая однородная цепь лежит на краю горизонтального стола,gпричем вначале одно звено цепи свешивается состола.

Под действием силы тяжести цепь начинает соскальзывать. Принимая нулевые начальРис. 3.20ные условия, определить закон движения цепи.Считать, что звенья цепи поочередно приобретают только вертикальнуюскорость.Ответ. x gt 2.6523.21. Цепь с неупругими звеньями перекинутачерез блок, причем часть ее лежит на столе, а часть– на полу. После того как цепь отпустили, она начала двигаться. Найдите скорость установившегосяравномерного движения цепи. Высота стола h.hОтвет. v  gh .Рис.

3.213.22. Платформа с двигателем, на которой находится цистерна с водой,начинает движение по рельсам из состояния покоя. Двигатель обеспечивает постоянную силу тяги f . В дне цистерны имеется отверстие, через которое вытекает масса  за единицу времени. До какой скорости разгонитсяплатформа за время, когда суммарная масса содержимого платформыуменьшится вдвое? Трением пренебречь.Решение.Так как вода вытекает вниз, то каждый элемент ее массы dmв, вытекающий за время dt, в процессе истечения не меняет текущей горизонтальной скорости v , в то время как скорость тележки с оставшейся водойприрастает на d v . Пусть текущее значение массы тележки с водой m.

Тогда уравнение движения для системы выглядит следующим образом: m  dmв v  d v   dmв v  mvdtmdv f ,dtгде произведением приращений dmв d v пренебрегаем. Кроме того, так какскорость истечения воды постоянна, то уравнение для текущей массы тележки с водой, учитывая, что dm   dmв :dm  .dtОно легко интегрируется:m  m0   t ,где m0  масса тележки с водой в начальный момент времени. В итогеполучаем уравнение движения53 m0   t dv f ,dtкоторое интегрируем разделением переменных:vtfdt,m0   t0 dv  v0vflnm0.m0   tУчитывая, что время, через которое масса тележки уменьшится вдвое,равно m0 2 , получаем ответ:vfln 2 .3.23.

Найти закон движения сферической капли жидкости через неподвижный туман в поле тяжести. В начальный момент масса капли мала, аскорость равна нулю. Считать, что при соударении частички тумана прилипают к капле.Ответ. x gt 2.143.24. Ледяной метеорит сферической формы тормозится в атмосфереЗемли. Сила трения о воздух пропорциональна его площади и скорости:F   Sv .

Скорость испарения вещества метеорита пропорциональна егоплощади: dM dt    S , причем в системе отсчета метеорита испарениеизотропно. Найти зависимость скорости метеорита от времени, если егоплотность ρ, а начальный радиус равен R0. Силой тяжести пренебречь. Начальная скорость метеорита V0.3 Ответ. v  v 0 1 t .  R0 3.25. Найти зависимость скорости движения кальмара от времени, еслион затрачивает мощность N и выбрасывает воду со скоростью u.

Стартоваяскорость кальмара равна нулю. Сила трения F  V .54Решение.Пусть кальмар в единицу времени захватывает массу  покоящейсяводы и выбрасывает ее назад со скоростью u относительно себя. Тогдаэнергия, которую он затрачивает на разгон этой порции воды: N   u 2 2 ,т. е.   2N u 2 . Запишем уравнение движения для системы, состоящей изкальмара и порции воды  dt , которую он за время dt захватил и выбросил:m V  dV    V  u  dt  mV  0   dtdt V ,mdV V    u  V  .dtВ полученном уравнении, введя обозначение Vпр   u     , разделяем переменные и интегрируем:dV 0 V  Vпр   m 0 dt .VtПолучаем ответ:  t t  V  Vпр  1  e m   u1  e m  .3.26.

Водометный катер движется в спокойной воде. Сила сопротивления воды движению катера F   v 2 . Скорость выбрасываемой воды относительно катера u. Определите установившуюся скорость катера, еслисечение потока захваченной двигателем воды S, плотность воды  .Ответ. V   Su   S    .3.27. При какой минимальной мощности двигателей ракета сможетоторваться от стартового стола? Скорость истечения газов u = 2 км/с, начальная масса ракеты M0 = 103 т. Какую массу газов должна она ежесекундно выбрасывать, чтобы оставаться неподвижной в поле тяжести?55Решение.Для того чтобы ракета оторвалась от стартового стола, а также оставалась неподвижной в поле тяжести, двигатели ракеты должны обеспечиватьреактивную силу Fр   u , равную силе тяжести, действующей на ракету: u  mg .Следовательно, в начальный момент времени мощность двигателейдолжна быть равна:N0 u 22M 0 gu 1010 Вт = 10 ГВт .2В дальнейшем за счет выброса газа масса ракеты будет уменьшаться:dmmg   ,dtuи после интегрированияMM0tdmg dt mu0получаем t c M0g gt exp     5exp  т с.u u  200  t c Ответ.

N 0  10 ГВт ,   5exp   т с. 200 3.28. Будет ли увеличиваться скорость ракеты, если скорость истечения газов относительно ракеты меньше скорости самой ракеты, т. е. вытекающие из сопла ракеты газы летят вслед за ракетой?Ответ. Скорость ракеты будет увеличиваться.3.29. Газ, вытекающий из сопла ракеты, имеет скорость u относительнонее. Определите изменение скорости ракеты после того, как ее масса из-заистечения газа уменьшилась в n раз.Ответ. v  u ln n .563.30.

Ракета взлетает вертикально вверх, выбрасывая раскаленные газыпоследовательно двумя равными малыми, по сравнению с массой ракеты,порциями. Скорость истечения газов относительно ракеты постоянна иравна u. Каким должен быть промежуток времени между сгоранием порций, чтобы ракета достигла максимальной высоты? Сгорание топливапроисходит мгновенно. Сопротивлением воздуха пренебречь.Решение.Высота подъема ракеты в отсутствие сил трения будет определятьсязаконом сохранения энергии, поэтому максимальная высота будет достигнута в случае максимума кинетической энергии, приобретенной ракетой врезультате двух запусков двигателя. Каждый запуск в силу сохраненияполного импульса обеспечивает прирост импульса ракеты:mv  u mг ,где mг – масса газов, выброшенных в одной порции. При этом приросткинетической энергии в результате запуска двигателя:K  m v  v 22 v  mг v2. mvv  m v u mг  u 2222m2m2Следовательно, максимальный прирост кинетической энергии во втором запуске будет обеспечен в случае максимального значения скоростиракеты v в этот момент времени, т.

е. сразу после первого запуска.Ответ. Второй запуск двигателя следует делать сразу после первого.3.31. Из длинной полоски резины жесткости k сделали рогатку. Найдите кинетическую энергию грузика, выпущенного из этой рогатки, еслирезину растянули с силой F и затем отпустили.Ответ. K  F 2  8k  .B3.32. На легкий стержень насажен массивный шар.В каком случае стержень упадет быстрее: если его поставить вертикально на конец A или на конец B? Стоящий на земле конец стержня не проскальзывает.Ответ. Стержень упадет быстрее, если его поставитьна конец B.57AРис.

3.323.33. Гантель длины l с шариками одинаковой массы на концах установлена вертикально на гладкой горизонтальной поверхности. Затем гантель отпускают. Определите скорость верхнего шарика перед ударом оплоскость.NОтвет. v  2gl .3.34. Материальная точка покоится в верхнейточке абсолютно гладкой сферы радиуса R, а затем начинает скользить вниз по поверхности сферы под действием силы тяжести. Какое расстояние пройдет она вниз от начальной точки прежде,чем оторвется от сферы?vR Рис. 3.34Решение.Пусть точка прошла расстояние s  R , тогда по закону сохраненияэнергии:mv 2 mgR 1  cos   .2Центростремительное ускорение точки обеспечивается равнодействующейсилы тяжести и силы реакции опоры N :mv2 mg cos   N .RА условием отрыва от сферы является равенство нулю силы реакции опоры N  0 , что дает cos   2 3 .Ответ.

s  R arccos  2 3 .3.35. Тележка скатывается по гладким рельсам, образующим вертикальнуюпетлю радиуса R. С какой минимальнойвысоты от нижней точки петли должнаскатиться тележка для того, чтобы непокинуть рельсы?Ответ. h  2,5R .gRРис. 3.35583.36. Груз массой m, подвешенный на пружине жесткости k, находится на подставке. Пружина при этом недеформирована. Подставку быстро убирают. Определите максимальное удлинение пружины и максимальнуюскорость груза.gkmРис. 3.36Ответ. h  2mg k , v  g m k .3.37. Тело массой m, подвешенное на пружине жесткости k, лежит на доске таким образом, что пружина недеформирована.

Характеристики

Список файлов книги