1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

При интенсивности пучка N фотонов всекунду и мощности лазера W  EN свет действует с силойFp 2 E2WN.tccОтсюда масса зеркала m  2W cg  0,13 г.Преобразование энергии-импульса. Эффект Доплера4.6. Лазер испускает импульс света длительностью T и полной энергиейE, который отражается от идеального зеркала, приближающегося к лазеру соскоростью V. Каковы энергия и длительность светового импульса после отражения? Свет падает по нормали к поверхности зеркала.Решение.В Л-системе импульс света продолжительностью T будет отражаться отдвижущегося навстречу зеркала в течение времени t  cT /(c  V ).

За этовремя передний фронт успеет удалиться от зеркала на расстояниеd  (c  V )t  cT (c  V )/(c  V ), тогда в Л-системе продолжительность отраженного импульса будетTотр d1 T.1 cЭнергия светового импульса будет равна сумме энергий отраженныхотдельных фотонов:Eотр  E1 ,1 75что можно получить, сделав два преобразования Лоренца или заметив, чтодлина волны фотонов укоротится в то же число раз, как и длительностьимпульса, а E  1/ .4.7. На космическом корабле, удаляющемся от Земли со скоростьюV = c/2 , вышла из строя энергетическая установка. Чтобы обеспечить корабль энергией, с Земли посылают лазерный луч.

Какова должна быть мощность лазера, если на борту корабля потребляется мощность W?Решение.Энергия принимаемых на корабле фотонов E    E (1   ) . Длительностьвспышки изменяется так же, как и длина волны фотонов, т. е. T /T  E/E  .Отсюда W  E  / T    2 (1   ) 2 E / T =   2 (1   ) 2 W0 , т. е.

требуемая мощность лазера:W0  W1  3W .1 4.8. Пучок электронов со средней энергией частиц 50 ГэВ и относительным разбросом энергий 1 % движется в Л-системе отсчета вдоль оси X. Какова максимальная кинетическая энергия электронов в сопровождающейпучок системе отсчета?Решение.При переходе из Л-системы в систему пучка dE    (dE  VdP ) . ИзE  P 2 c 2  m 2 c 4 имеем EdE  c 2 PdP. C учетом V  Pc 2 /E получаем2dE   0.

Такой странный ответ означает, что dE   c1dE  c2 (dE ) 2   , гдеc1  0. В этом случае нужно разложить P  E 2 /c 2  m 2 c 2 в ряд Тейлора сучетом квадратичного члена. ПолучимdP Em2dE  3 (dE ) 2 .2Pc2PПосле подстановки в исходную формулу, с учетом P  E/c , получаем21  dE 2 mc  25 эВ.2 E Другой вариант решения – это нахождение сначала разброса по импульсам в системе покоя пучка (нуля не возникает), а затем энергетического разdE  76броса. Но до такого метода нужно догадаться.

Первый же способ являетсяпрямым решением задачи.4.9. Найти скорость центра инерции для системы частиц с импульсами pkи энергиями Ek.Ответ. V  c 2pEk.k4.10. Определите скорость и рабочую частоту радиомаяка НЛО, если приего приближении к Земле принимаемая частота радиосигнала была ω, а приудалении – ω/4.Решение.В общем случае E   ( E   VP ). Когда радиомаяк приближается, тоскорость НЛО и импульс фотонов имеют одно и то же направление, а когдаудаляется, то противоположные. Соответственно,    0 (1  V /c) и/4   0 (1  V /c). Откуда находим 0   /2 и V  0, 6c .4.11. Космический корабль, летящий со скоростью V1, посылает сигналчастотой ω1 и после его отражения от летящего навстречу другого космического корабля принимает сигнал частотой ω2 (частоты даны в системе отсчета первого корабля).

Найти скорость второго корабля.Ответ. V2  c 1 (1  2 )  1  2.1 (2  1 )  2  14.12. Источник света с частотой ν0 движется со скоростью V в неподвижной среде с показателем преломления n мимо неподвижного наблюдателя.Какую частоту будет регистрировать наблюдатель при приближении источника света и при его удалении?Решение.В Л-системе частота света будет    0  .

Будем считать, что V  c/n .Тогда если свет и источник движутся в одном направлении, то за одно колебание свет пройдет путь c / n , а источник – путь V / . Их разность будетравна длине волны света в среде:1  c / n  V /   (c / n  V ) /  0 .В случае противоположного направления движения:2  c / n  V /   (c / n  V ) /  0 .77Для наблюдателя в Л-системе регистрируемая частота света равна прибл c/n101 (1  n ),  удал c/n201 (1  n ).4.13.

Для определения скорости космического объекта, пролетающего мимо Земли,его зондируют лазерным лучом с частотойфотонов ν0. Определите скорость объекта почастоте νн фотонов, «вернувшихся» к наблюдателю, и по углу θ между направлениемдвижения объекта и лучом света.Рис. 4.13Решение.Частота света, приходящего на ракету и отраженного от нее,    0 (1   cos  ) .

Обратно возвращается свет с частотой  н , получаемойиз соотношения    н (1   cos  ). Отсюда находимн 01   cos 1   cos и V c 0  н 1. 0   н cos 4.14. Найти изменение направления движения фотона при отражении отмассивного зеркала, движущегося со скоростью V перпендикулярно своейплоскости.Решение.Пусть фотон имеет энергию E . В системе зеркалападающий фотон имеетE    E , Px   ( Px VVEE )   2 E , Py  Py  .2cccПосле отражения от зеркала горизонтальный импульс меняется на противоположный и становится равнымPx  Рис. 4.14VE,c2вертикальный импульс и энергия остаются неизменными. Тогда вЛ-системе:78Px , f   ( Px VE )  2 2 EV / c 2 .c2В результатеtg   Py / Px , f c2 2V.4.15.

Идеальное двухстороннее зеркалоускоряется лучом лазера. Какой будет установившаяся скорость зеркала, если с противоположной стороны его тормозит луч второго лазера в четыре раза меньшей мощности? Свет падает по нормали к поверхностизеркала.W /4WV ?Рис. 4.15Ответ. V  c /3 .Законы сохранения энергии и импульса. Распад частиц4.16. Релятивистская частица распадается на два фотона. Углы вылетафотонов относительно исходного направления движения частицы равны 1и  2 , суммарная энергия фотонов равна E. Найти массу распавшейся частицы и ее скорость.Решение.Из сохранения энергии и равенства поперечных импульсов фотонов имеем E  E1  E2 , E1 sin 1  E2 sin  2 , откудаE1  Esin  2sin 1, E2  E.sin 1  sin  2sin 1  sin  2Масса распавшейся частицы (полагаем c  1 ):m 2  ( P1  P2 ) 2  P12  P22  2 P1 P2  0  0  2 E1 E2 (1  cos(1   2 )).Скорость:VPc E1 cos 1  E2 cos  2.EE4.17.

π0-мезон распадается на лету на два γ-кванта, углы вылета которыхсоставляют соответственно θ1 и θ2 с начальным направлением движенияπ0-мезона. Найти энергию π0-мезона, если его масса равна М.79Ответ. E Mc 2 2sin 1 22 sin 1sin  2sinsin 12 .4.18. Найти энергию π0-мезонов, распадающихся по схеме π0 →γ + γ, если счетчик, расположенный по направлению их движения, регистрируетγ-кванты распада с энергией 270 МэВ. Масса π0-мезона 135 МэВ.Решение.В системе π0 мезона энергия фотона E   mc 2 /2 . В Л-системе:E   E  (1   )   mc 2 (1   ) / 2 .Выразив  через  , после некоторый преобразований найдем  иE   mc 2  E m2 c 4.4 EНо есть более короткое решение.

Заметим, что инвариантная масса двухфотонов,летящихвпротивоположныхнаправлениях,W 2  4 E1 E2  4( E  E ) E  m 2 c 4 , откуда сразу находим E .4.19. Энергия возбуждения ядра Fe57 равна 14,4 кэВ. Оценить, на сколькоотличается от энергии возбуждения энергия фотона, испущенного незакрепленным возбужденным ядром? Какова скорость ядра после испускания фотона?Решение.Поскольку энергия фотона много меньше массы ядра (точнее Mc2), расчет можно сделать приближенно. Полагаем сначала, что фотон полетел сэнергией, равной энергии возбуждения E0 .

Ядро будет нерелятивистское иего скорость V  ( E0 /c) / M  E0 /Mc . Энергия фотона будет равна энергиивозбуждения минус кинетическая энергия ядра:E  E0 2E2MV E0  0 2 .22 Mc4.20. Частица с массой M и энергией Е распадается на лету на две одинаковые частицы с массами m, при этом одна из частиц полетела под прямымуглом относительно направления начального движения. Чему равны энергииконечных частиц?80Решение.Пишем закон сохранения 4-импульса: P  P1  P2 . «Исключаем» из уравнениявторуючастицу(полагаемс = 1):2222222P2  m  ( P  P1 )  P  2 PP1  P1  M  2 EE1  m .

Откуда, добавляя спо размерности:E1 M 2c4.2E4.21. Найти массу J/Ψ -мезона, распавшегося на электрон и позитрон содинаковыми энергиями 3,1 ГэВ и углом разлета 600 .1Ответ. M J / 2 E 2 2  2 sin   m 2 cos 2   3,1 ГэВ.22  c4.22. Частица с массой m распадается на лету на две частицы с массамиm1 и m2 (m1  m2 ) . При какой энергии частицы продукты распада будутлететь только в переднюю полусферу?m 2  m12  m22 2c .2m14.23. Место распада пучка π0-мезонов с энергией 1 ГэВ окружено счетчиками, регистрирующими энергии всех γ-квантов распада π0 . Во сколькораз будут отличаться скорости счета маленьких счетчиков, установленныхпод углами 00 и 900.Ответ.

E Решение.В Л-системе распад изотропный:dP (вероятность) =d 0 2 sin  0 d 01  d (cos  0 ) .442Найдем теперь угловое распределение в лабораторной системе отсчета.Для световой аберрации:cos  0 cos   V c,V1  cos cоткуда81d (cos  )d (cos  0 ) .2 V 1  cos  cВ результате угловое распределение:2dp  12d (cos  ) V 1  cos  c22=d V4  1  cos  c2.2А отношение скоростей счета при угле  /2 и 0 равно (1  V /c) 2 .4.24.

Найти распределение распадных частиц по энергиям в Л-системе, если в Ц-системе угловое распределение имеет вид dN  sin 2 0 d 0 , где  0 –угол между скоростью V первичной частицы и направлением вылета распадной частицы в Ц-системе. Скорость распадных частиц в Ц-системе равна V0 .Решение.В Ц-системе dN  sin  0 cos  0 d (cos  0 ) . Преобразование энергииE   ( E0  p0V cos  0 ) .

Поставляя cos  0 в исходную формулу, получаемискомое угловое распределение.Неупругие столкновения. Пороги рождения частиц4.25. Доказать, что излучение и поглощение света свободным электроном в вакууме невозможно. Возможна ли однофотонная аннигиляция электрон-позитронной пары по схеме e+e-→γ ?Ответ. Посмотрите, не изменится ли масса электрона после поглощенияфотона, не приобретет ли массу фотон после аннигиляции электрона и позитрона?4.26. Два фотона движутся навстречу друг другу. При каких энергияхфотонов будут рождаться электрон-позитронные пары?Решение.На пороге рождения ( P1  P2 ) 2  0  4 E1 E2 c 2  0  (2mc) 2 .Т.

е. для рождения пары e+e– необходимо E1 E2  (me c 2 ) 2 .824.27. Два фотона с энергиями E1 и E2 сталкиваются под углом  ирождают частицу. Чему равна масса этой частицы?Ответ. m 2 2 E1 E2(1  cos  ).c44.28. Тело большой массой M (стенка), движущееся со скоростью V, слипается с покоящимся телом массой m. Чему равна масса образовавшегосятела? Считать, что M  m .Решение.W 2  ( P1  P2 ) 2  P12  2 P1 P2  P22  M 2  2 Mm  m 2 .Пренебрегая последним членом, находимW  M 2  2 Mm  M   m .4.29.

Характеристики

Список файлов книги