1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Доску начинают опускать с ускорениемa. Чему равно удлинение пружины в момент отрыва телаот доски? Каково максимальное удлинение пружины?Ответ.x   m k  g  a  , xмакс   m k  g  2 ga  a 2 .gkmaРис. 3.373.38. Локомотив массой m начинает двигаться со станции так, что егоскорость меняется по закону v   x , где   постоянная, x  пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив,за первые t секунд.Решение.Уравнение движения локомотива:mdvF,dtгде F  суммарная сила, действующая на локомотив.Так как известна зависимость скорости от пройденного пути, то можнонайти силу:F md v dx  mm 2v.dx dt 2 x2Т.

е. локомотив движется с постоянным ускорением  2 2 . Работа силыF равна кинетической энергии, которую локомотив приобретет за время t:592dvmv 2 m   2 t m 4 t 2. A   Fdx  m  dx  m  v d v  22 2 8dt00xv3.39. Груз массой m медленно поднимают на высоту h по наклоннойплоскости с помощью блока и троса. При этом совершается работа A. Затем трос отпускают и груз скользит вниз. Какую скорость он наберет,опустившись до исходной точки?Ответ. v  4 gh  2 A m .F3.40. Небольшое тело массой m медленновтащили в горку, действуя силой F, которая вкаждой точке направлена по касательной к траектории.

Найти работу этой силы, если высотагорки h, длина ее основания l и коэффициенттрения k.Ответ. A  mg  h  kl  .3.41. Частица массой m влетает в область действиятормозящей силы F под углом  к направлению этойсилы. Под каким углом к направлению силы F она вылетит из этой области? Ширина области действия силы l.При каком условии частица не сможет пересечь эту область?Решение.hmРис. 3.40FРис. 3.41Постоянная сила F является потенциальной, так как может быть представлена градиентом потенциальной энергии U = Fx. Следовательно, можно записать закон сохранения полной энергии частицы:mv 2 mv 2 Fl ,22где v   скорость вылетевшей частицы. В направлении, перпендикулярном действию силы, импульс частицы также сохраняется:mv sin   mv  sin  ,где   угол вылета частицы.

Выражая v  из первого соотношения и подставляя во второе, получаем:60sin  sin 12 Flmv 2.Если    2 , частица не сможет пересечь область действия силы.Ответ. sin  sin 12 Flmv 2; при Fl mv 2cos 2  .23.42. На покоящийся шар налетает шар такой же массы. Найдите уголразлета шаров после нецентрального упругого удара.Ответ.

   2 .3.43. При упругом столкновении налетающей частицы с покоящейся первая полетела подуглом  к направлению первоначального движения, а вторая  под углом  . Найдите отношение масс этих частиц.Ответ.22m1 sin      sin .m2sin 2 12Рис. 3.433.44. Три упругих шара с массами m1, m2 и m3 находятся на одной прямой в покое. Потом шар m1 ударяет шар m2 с известной скоростью v1 . Какова должна быть масса m2 второго шара, чтобы после его удара о шар m3скорость последнего была наибольшей?Решение.Пусть скорости шаров после удара u1, u2 и u3. Законы сохранения дляудара первого шара со вторым:m1v12 m1u12 m2 u22,222m1v1  m1u1  m2 u2 .Перенеся первые слагаемые справа налево и деля первое выражение навторое, получимv1  u1  u2 .61Исключая u1 , получимu2 2m1v1 .m1  m2Аналогично можно получить для удара второго шара с третьим:u3 2m22m22m1v u2 m2  m3 m2  m3   m1  m2  14m1v1m1  m2  m3 m1m3m2.Наибольшее u3 будет при наименьшем знаменателе:ddm2m1m3 m1m3 m1  m2  m3   1 2  0 .mm22 Ответ.

m2  m1m3 .3.45. Бусинки массой m1, m2 и m3 могутскользить вдоль горизонтальной спицы безтрения, причем m1  m2 и m3  m2 . Определить максимальные скорости крайних бусинок, если вначале они покоились, а средняябусинка имела скорость v . Удары упругие.Ответ. v1  vvm2m1m3Рис. 3.45m2 m3m2 m1., v3  vm3  m1  m3 m1  m1  m3 3.46. Тяжелая частица массой m1 сталкивается с покоящейся легкойчастицей массой m2. На какой наибольший угол может отклониться тяжелая частица в результате упругого удара?Ответ. sin   m2 m1 .3.47. По горизонтальной плоскости может скользить без трения гладкаягорка высоты h и массой m1. Горка плавно переходит в плоскость.

При какойнаименьшей скорости горки небольшоеgтело массой m2, неподвижно лежащее наее пути, перевалит через вершину?hm2Ответ. v  2 gh 1  m2 m1  .m1Рис. 3.47623.48. Какой минимальной скоростью должен обладать нерелятивистский нейтрон, чтобы при столкновении с покоившимся ядром массой Mувеличить его внутреннюю энергию на E ?Решение.Чтобы внутренняя энергия ядра при столкновении возросла, столкновение должно быть неупругим.

Пусть масса нейтрона m, его скорость достолкновения v , после столкновения – v  , а скорость ядра после столкновения u. Тогда запишем законы сохранения импульса и энергии в нерелятивистском приближении (рассматриваем лобовое столкновение):mv  Mu  mv  ,mv 2 Mu 2 mv 2 E .222Выразим v  из первого выражения, подставим во второе и получимvM mEu.Mu2mДля нахождения минимального значения v приравниваем нулю производную:d v M  m E0,2mduMu 2из чего получаемu2Em,M m  M v мин 2 E  m  M mM2E,где   mM  m  M   приведенная масса.Второй, более простой способ, решения данной задачи заключается втом, чтобы рассмотреть процесс в системе покоя центра масс, в которойнейтрон и ядро движутся навстречу друг другу и суммарный импульс системы равен нулю. Очевидно, что для наиболее эффективной передачи кинетической энергии их движения во внутреннюю энергию ядра их скорости после столкновения должны быть равны нулю (при этом полный импульс в системе центра масс сохранится).

Из чего следует, что в лабора63торной системе их скорости должны быть равны v   u , что после постановки в законы сохранения дает тот же ответ.3.49. Два тела массой m1 и m2 прикреплены к нитям одинаковой длиныс общей точкой подвеса и отклонены: одно влево, другое вправо  на одини тот же угол. Тела одновременно отпускают.

При ударе друг о друга онислипаются. Определите отношение высоты, на которую тела поднимаютсяпосле слипания, к высоте, с которой они начали свое движение вниз.Ответ. h h0   m1  m2   m1  m2   .23.50. Снаряд, летящий со скоростью v  500 м/с , разрывается на триодинаковых осколка так, что кинетическая энергия системы увеличилась в  1,5 раза. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков?Ответ. v макс  v 1  2   1  1км/с .64ЧАСТЬ 4РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКАРелятивистские энергия и импульс4-вектор импульса вводится путем замены обычной скорости v на4-скорость u :P  mdRmcmv m u   p0 , p ; p0 ,p,22d1 v c1  v 2 c2а закон сохранения импульса запишем как закон сохранения 4-импульса: P   P ,i  0 3 .jВеличиныE  p0 c mc 21  v 2 c2mvp1  v 2 c2– релятивистская энергия,– релятивистский импульс.Квадрат 4-импульса является инвариантом при преобразованиях Лоренца:P2 E2 p 2  m 2 c 2  inv .c2Энергия и импульс связаны соотношением:pEv.c2Преобразования Лоренца для энергии и импульсов:E   ( E   Vp), px   ( px VE ), p y  p y , pz  pz ;c2E    ( E  Vp), px   ( px VE ), p y  p y , pz  pz ,c265где   1 / 1  V 2 / c 2 .Для фотона m  0 , тогда E  p c .

Энергия фотона E   , импульсp   c .Поскольку  E c , p  – 4-вектор, то является 4-вектором и  c, k ,где | k |  c . Отсюда следуют формулы для эффекта Доплера:    (  k xV ), k x   (k x  tg  pypxc), k y  k y , k z  k z .sin p  sin .  E V  px  2 V     cos  c  vРелятивистская силаПоопределениютрехмернаясилаF  dp dt .ДифференцируяE  p c  m c , получаем EdE  c pdp , откуда22 22 22dE pc 2 dp ( vF) ,dtE dtкак и в классике, изменение энергии равно работе сил.Примечание: следует обратить внимание, что фактор  используется вдвух значениях. Он может относиться как к скорости v рассматриваемойчастицы,   1 / 1  v 2 / c 2 , как в предыдущей формуле, а может и к скорости V системы отсчета S  , если речь идет о преобразовании какой-либовеличины при переходе к другой системе отсчета.Тогда закон преобразования сил при переходе из неподвижной системыS в систему S , движущуюся со скоростью V в направлении оси X, получается из определения трехмерной силы:VV (dpx  2 dE ) Fx  2 (Fv )dpxccFx ,VVvdt  (dt  2 dx)1  2xcc66Fy, z dp y , zdt dp y , zFy , z 1  V 2 c 2,VVv (dt  2 dx)1  2xccгде   1/ 1  V 2 / c 2 , V – скорость системыпреобразования получается заменой V  V :Fx S  .

Обратный законV(F v )Fy, z 1  V 2 c 2c2, Fy , z .V v xV v x11 2c2cFx Например, если тело покоится в S' системе, т. е. v ¢ = 0 , и на него действует сила F  , то сила в неподвижной системе S:Fx  Fx,Fy , z  Fy, z 1  V 2 c 2 .Продольные силы одинаковы в обеих системах, а поперечные отличаютсяв  раз.Связь между силой F и ускорением a  dv dt в релятивистском случае:Fdp d(av ) v ( mv)  m a  m 3 2  m a  m 3 b (ba) ,dt dtcгде   1/ 1  v 2 / c 2 , b  v / c .Отсюда можно получить (см.

Характеристики

Список файлов книги