1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

При этом концыстержня проходят через плоскость пластинки не одновременно.42ЧАСТЬ 3НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКАВ нерелятивистской динамике движение материальной точки в инерциальной системе отсчета подчиняется основному уравнению динамики(второй закон Ньютона):ma  mdvF.dtСогласно третьему закону Ньютона силы взаимодействия двух материальных точек i и k равны по модулю и действуют вдоль прямой, соединяющейэти материальные точки:Fik  Fki .Прямым следствием второго и третьего законов Ньютона является сохранение полного импульса замкнутой системы двух материальных точек:p  p1  p 2  m1 v1  m2 v 2  const .А для незамкнутой системы произвольного количества N материальных точек более общим следствием второго и третьего законов Ньютона являетсяуравнение, связывающее ее полный импульс и полную внешнюю силу:NNdP d N  mi v i  Fi  Fi внеш  Fвнеш .dt dt i 1i 1i 1Учитывая данное соотношение в нерелятивистской системе, целесообразно ввести понятие центра масс, расположенного в точке:R1 N mi ri ,m i 1где m   mi  полная масса.

Тогда для скорости центра масс V  dR dtвыполняется уравнениеmdV Fвнеш ,dt43в соответствии с которым поступательное движение произвольного тела(системы материальных точек) можно рассматривать как движение материальной точки массой m, расположенной в центре масс R. Также из этогоуравнения следует сохранение проекции полного импульса системы налюбое направление, вдоль которого не действует внешняя сила.Полную силу, действующую на произвольное тело можно разделить напотенциальную и непотенциальную составляющие:Fвнеш  Fп  Fн .Потенциальная сила зависит только от положения точки в пространстве иможет быть представлена как градиент (производная по координате) некоторой функции U(r), называемой потенциальной энергией:Fп  U , Fп x  U.xДля произвольного тела, движущегося вдоль некоторого пути l под действием силы F из точки 1 в точку 2, можно ввести понятие работы, котораяравна приращению кинетической энергии тела K  mv 2 2 :222111A   Fdl   Fvdt   mvdv mv 22 mv12 K 2  K1 .22А если в силе F есть потенциальная составляющая, то можно ввести понятие полной энергии тела в потенциальном поле:E  K U ,приращение которой равно работе только непотенциальных сил:2E2  E1   Fн dl .1Следствием этого является закон сохранения полной энергии, если на систему не действуют непотенциальные (неконсервативные) силы: E1  E2 .44Нерелятивистская динамика (задачи)3.1.

Четырьмя натянутыми нитямигруз закреплен на тележке. Сила натяжения горизонтальных нитей соответственно T1 и T2, а вертикальных  T3 иT4. С каким ускорением тележка движется по горизонтальной плоскости?gT1T4T2T3Решение.Рис. 3.1Выпишем уравнения движения груза массой m в вертикальном и горизонтальном направлении соответственно с учетом того, что в вертикальном направлении скорость и ускорениеравны нулю:0  mg  T3  T4 ,ma  T2  T1 .Сокращаем m и получаем ответ: a  g T2  T1  T4  T3  .3.2.

Два тела массой m1 и m2 связаны нитью, выдерживающей силу натяжения T. К телам в разных направлениях вдоль нити приложены силыF1   t и F2  2 t , где   постоянный коэффициент, t  время действиясилы. Определите, в какой момент времени нить порвется.Ответ. t T  m1  m2   2m1  m2 .g3.3. Маляр работает в подвесной люльке. Ему понадобилось срочно подняться вверх. Он принимается тянуть за веревку с такой силой, что сила его давления напол люльки уменьшается до 400 Н. Масса люльки 12 кг,масса маляра 72 кг. Чему равно ускорение люльки?Рис.

3.3Ответ. a = 3,5 м/с2.3.4. Два шарика массой m каждый, связанные нитью длины l, движутсясо скоростью v по горизонтальному столу в направлении, перпендикулярном связывающей их нити (нить не провисает). Середина нити налетаетна гвоздь. Чему равна сила натяжения нити сразу после этого события?45Ответ. T  2mv 2 l .3.5. Тело массой m прикреплено к двум соединенным последовательнопружинам жесткости k1 и k2. К свободному концу цепочки пружин приложена постоянная сила F. Каково суммарное удлинение пружин, если колебания уже прекратились?Ответ.

x  F  k1  k2   k1k2  , эффективная жесткость двух пружин, соединенных последовательно 1 kэфф 1 k1  1 k2 .3.6. Шайбу положили на наклоннуюплоскость и сообщили направленную вверхначальную скорость v 0 . Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен k.При каком значении угла наклона  шайбапройдет вверх по плоскости наименьшеерасстояние? Чему оно равно?NFтрРешение.v0mgРис. 3.6На тело действуют сила тяжести mg ,сила реакции опоры N и сила трения Fтр , по модулю равная kN .Проекции уравнения движения на направления вдоль и перпендикулярно плоскости даютma   mg  k cos   sin   ,0  N  mg cos  .Таким образом, тело движется под действием постоянного ускоренияa   g  k cos   sin   .Интегрируем уравнение движенияd 2sa.dt 2Решение при начальных условиях s  0   0 и ds dt  0   v 0 получаемдвумя последовательными интегрированиями по времени:46s t  at 2 v0t .2Максимальное расстояние v 02 2 a тело проходит в момент времениt1  v 0 a .

Следовательно, чтобы расстояние было наименьшим, модульускорения должен быть наибольшим. Находим угол, обеспечивающийнаибольшее ускорение из условия d a d  0 . Решением являетсяtg  1 k и smin  v 02 / 2 g 1  k 2 .3.7. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости,составляющей угол  с горизонтом. Покрытие плоскости неоднородно икоэффициент трения зависит от пройденного пути x по закону k   x , где  постоянная.

Найти путь, пройденный бруском до остановки, и егомаксимальную скорость.Ответ. s 2tg, vmax gsin  tg .3.8. По деревянным сходням, образующим угол  с горизонтом, втаскивают запривязанную к нему веревку ящик. Коэффициент трения ящика о сходни k. Под каким углом к горизонту следует тянуть веревку, чтобы с наименьшим усилием втащить ящик?Ответ.     arctg k .gРис. 3.83.9. Сила сопротивления воздуха, действующая на капли тумана, пропорциональна произведению радиуса на скорость: f   rv . Капли радиуса 0.1 мм, падая с большой высоты, у земли имеют скорость около1 м/с. Какую скорость будут иметь капли, радиус которых в два разаменьше? В десять раз меньше?Решение.Падающая капля будет увеличивать свою скорость до тех пор, пока сила тяжести не станет равна силе сопротивления воздуха:43 rv  mg    r 3 g .47Из чего следует, что установившаяся скорость капли будет пропорциональна квадрату радиуса: v  r 2 .Ответ.

0,25 м/с, 0,01 м/с.3.10. Тело массой m, подброшенное вертикально вверх с малой скоростью V1 , вернулось обратно со скоростью V2 . Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости F  V , ускорение свободного падения g.Сколько времени тело находилось в полете?Решение.Запишем уравнение движения тела в поле тяжести, учитывая силу сопротивления воздуха:mdV  mg  V .dtЭто уравнение решается разделением переменных:V2V1TdVdt  ,V  mgm0Tm1lnV1mg.V1 2mgТак как начальная скорость мала, разложим логарифмы до квадратичных членов по V mg .Ответ. T V1  V2gV1  V2   .1 2mg3.11. Сила сопротивления, тормозящая моторную лодку массой m, пропорциональна квадрату скорости F  V 2 . За какое время после выключения мотора ее скорость уменьшится вдвое? Какое расстояние при этомпройдет лодка?Ответ.

T mm, s  ln 2 .V0483.12. Диск диаметром D и массой М бомбардируется однородным потоком точечныхпылинок массой m  M , плотностью (количеством частиц в единице объема) n, скоростьюV. За какое время первоначально неподвижныйдиск ускорится до скорости u? Удары пылинокупругие.2MuОтвет. T . nmD 2V V  u 3.13. Плоская тележка, двигавшаяся соскоростью V, попадает под вертикальнопадающий дождь. Скорость капель u, средняя плотность дождя ρ, площадь горизонтальной поверхности тележки S. За какоевремя тележка остановится, если коэффициент трения колес о плоскость k? Вода стележки стекает, так что ее масса Мостается постоянной.Рис.

3.12Рис. 3.13Решение.Сила, тормозящая лодку, складывается из двух составляющих. Первойявляется сила трения, равнаяFтр  kN   k  Mg   Su 2  ,где сила реакции опоры N компенсирует вес тележки и суммарный вертикальный импульс, передаваемый дождем тележке в единицу времени. Последний является произведением массы капель  Su , падающей на тележку в единицу времени, и изменения вертикальной скорости капель во время падения u .

Второй составляющей является сила, возникающая в результате приобретения каплями воды, упавшими на тележку, импульса вгоризонтальном направлении (считаем, что вода стекает одинаково во всестороны), которая, соответственно, равнаFк    SuV .Таким образом, уравнение движения тележки в горизонтальном направлении:MdV   SuV  k  Mg   Su 2  .dt49Уравнение интегрируется разделением переменных:0dV Su T0 dt .kgMMV  ku  SuВ результате интегрирования получаем искомое время до остановки:VTMV.ln  1  Su  k  Mg   Su 2  3.14. Протон с начальной скоростью v летит прямо (лобовое столкновение) на первоначально покоящееся ядро гелия.

Какова скорость частицпри наибольшем их сближении? Масса ядра гелия близка к учетверенноймассе протона.Ответ. u  0, 2 v .3.15. При  -распаде покоящегося первоначальнонейтрона образуются протон, электрон и нейтрино.Импульсы протона и электрона p1 и p2 соответственно, угол между ними  . Определите импульс нейтрино.Ответ. p p2p12  2 p1 p2 cos   p22 .3.16. Две небольшие шайбы масс m1 и m2связаны нитью длины l и движутся по гладкойплоскости. В некоторый момент скорость одной шайбы равна нулю, а другой – v , причемее направление перпендикулярно нити. Найтисилу натяжения нити.Решение.p1Рис. 3.15m1l90vm2Рис. 3.16Центр масс замкнутой системы из двух шайб, находящийся на расстоянии x1  lm2  m1  m2  от первой шайбы, будет двигаться с постояннойскоростьюVцм m2v.m1  m250В системе отсчета S  , в которой центр масс покоится, шайбы будутвращаться вокруг него со скоростямиv1  Vцм  m2v,m1  m2v 2  v  Vцм m1v.m1  m2Следовательно, сила натяжения нити, обеспечивающая центростремительное ускорение каждой шайбы:T  m1v12 v 2 m1m2,x1l  m1  m2 что аналогично силе натяжения нити при вращении шайбы с приведенноймассой   m1m2  m1  m2  .3.17.

Где находится центр масс у а) однородногопрута, согнутого посередине под прямым углом;б) однородной треугольной пластинки; в) гардеробного номерка в виде диска с круглым отверстием(рис. 3.17)?Ответ. а) На середине отрезка, соединяющего центры двух половинок прута; б) в точке пересечения медиан; в) на прямой, соединяющей центры диска и отверстия, на расстоянии l  dr 2  R 2  r 2  от центраRrdРис. 3.17диска влево.3.18.

Человек с поднятыми руками стоит на платформе медицинскихвесов. Как изменяются показания весов при ускоренном движении руквниз?Ответ. Уменьшаются.3.19. Однородный гибкий канат, висевший вертикально, касаясь поверхности своим нижним концом, падает на площадку весов. Найти зависимость показаний весов от времени и полный импульс, который канатпередаст весам.51Решение.Рассмотрим небольшой элемент каната длиной dx, расположенный навысоте x над столом. Масса этого элемента dm   m l  dx .

Характеристики

Список файлов книги