1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Скользящий по верхней ступеньке лестницы шарик срывается с нее и через время упруго ударяется о вторую ступеньку. Черезкакое время после этого произойдет следующий удар, если он приходится на третью ступеньку? Высота ступенек одинакова.Рис. 13Решение.Пусть высота ступеньки H. Так как шарик двигался вначале горизонтально, то H связана с временем  формулой H  g 2 2. Горизонтальнаякомпонента скорости при движении не меняется.

После первого упругогоудара вертикальная компонента скорости, сохраняясь по величине, меняетзнак. В течение времени  шарик будет подниматься до своей максималь8ной высоты, а затем до следующего удара падать с высоты 2H в течениевремени t1, которое определяется из 2 H  gt12 2. Искомое время:t    t1    2  (1  2) .14. Колесо катится без проскальзывания с постоянной скоростью v . Сверхней точки обода колеса срывается камешек.

Через какое время колесонаедет на этот камешек? Радиус колеса – R, ускорение свободного падения – g.Решение.Если ось колеса движется со скоростью v и нет проскальзывания, тоскорость нижней точки равна нулю, а верхней, как и горизонтальная скорость камешка, равна 2v. Время падения камешка t  2  2 R g , времядвижения оси по горизонтали T  2v t v  2t в два раза больше. Значит,наезд произойдет через T  4 R g .15. Пружина жесткости k связывает тело массой m со стенкой.

Второетело такой же массы m прислонено к первому. Пружину деформируют, смещаятела на расстояние x по направлению кстенке, а затем отпускают. Найдите расстояние между телами в момент, когдапервое остановится. Трения нет.Рис. 15Решение.Скорость в положении, где пружина не деформи-рова-на:2mV 2 kx 2,22откуда V  x k 2m . С этой скоростью движется правое тело после разъединения. Левое сдвинется из положения равновесия на y;mV 2 ky 2 1 kx 2,222 2откуда y  x2.9T 4 2mпроедет z  Vk2 x.Искомое расстояние будет z  y    12 2Правое тело за четверть периодаmx.k 2 216. В стене укреплен горизонтальный стержень, по которому без трения может двигаться бусинка массой m.

Бусинка соединена со стенкойнитью длины 2L, к середине которой привязан груз массой M. Вначаленить натянута. Грузы отпускают. Какие скорости наберут груз и бусинкаперед ударом о стенку? Ускорение свободного падения g, размерами телможно пренебречь.Решение.Скорость бусинки всегда вдвое больше горизонтальной составляющей скорости груза, передударом u  2V . Сохранение энергии даетРис. 16MV 2 mu 2 MgL.22Ответ. V 2 gL2 gL, u2.M  4mM  4m17. К концу стержня, закрепленного на широкой подставке, привязанна нерастяжимой нити груз массой m.

Массаподставки со стержнем – M. Груз отклонили на90 от вертикали и отпустили. Найдите коэффициент трения между подставкой и горизонтальной поверхностью стола, если подставканачала сдвигаться в момент, когда нить составляла угол  с вертикалью.Решение.Рис. 17Из закона сохранения энергииmv 2 mgh  mgR cos  .2Чтобы найти натяжение нити в конечном состоянии, запишем второйзакон Ньютона для проекции сил вдоль нити:10Tmv 2 mg cos  .RИз двух предыдущих соотношений получаем, что T  3mg cos  . В момент, когда подставка сдвинется с места, проекция силы натяжения нитивдоль пола, равная T sin  , должна сравняться с величиной силы тренияскольжения N, где N  Mg  T cos  – реакция опоры со стороны пола.Следовательно,T sin 3m sin  cos .Mg  T cos  M  3m cos 2 18.

На тело массой m, вначале покоившееся на горизонтальной плоскости, в течение времени t действует горизонтальная сила F. Коэффициенттрения тела о плоскость равен k. Какое расстояние пройдет тело за времядвижения?Решение.Пусть L – искомый путь; l – путь, пройденный после окончания действия силы F; v – скорость тела после разгона; a – ускорение при разгоне.Из кинематики следует, что L  l  at 2 2, v  at. По второму закону Ньютона имеем ma  F  kmg. Кинетическая энергия расходуется на работупротив силы трения:kmgl mv 2.2Ответ. L F F 2  kg  t .2kmg  m19.

По гладкому столу движутся два тела массой m1 и m2, соединенныеневесомой нерастяжимой нитью длины l. В некоторый момент временискорость тела массой m1 оказывается равной нулю, а скорость тела массойm2 – равной v и направленной перпендикулярно нити. Найти силу натяжения нити.Решение.Можно считать, что тела участвуют в двух движениях: во вращениивокруг центра масс системы и в поступательном движении вместе с цен11тром масс.

Положение центра масс относительно тела массой m1 находимиз уравненияm2x1 (m1  m2 )  lm2 ; отсюда x1  l.m1  m2Второе тело находится на расстоянии x2  l  x1 от центра масс. Так каксуммарная скорость тела массой m2 равна v , а скорость тела массой m1равна нулю, то имеем систему уравненийv ц.м.   x2  v , v ц.м.   x1  0, m2 x2  m1 x1 ,где  – угловая скорость вращения, а vц.м. – скорость центра масс. Отсюдаv ц.м.

m2v.m1  m22x1 . ОкончательноСила натяжения T  m1v ц.м.m1m2 v 2.m1  m2 lМожно было бы решить задачу, перейдя в систему центра масс, инерциальную в отсутствие внешних горизонтальных сил. В этой системе силанатяжения T обусловливает вращательное движение каждого из тел вокругцентра масс. Скорость каждого тела легко вычисляется. Если известныскорость, масса и радиус вращения, можно найти T.T20. Какое количество теплоты выделится приперевертывании наполовину погруженного вводу свободно плавающего бруска квадратногосечения из неустойчивого вертикального положения в более устойчивое горизонтальное? Масса бруска m = 10 г, длина l = 20 см, сечениеd  d  1 1 см2.

Считать, что ускорение свобод-ного падения g = 10 см/с2.Рис. 20Решение.Так как брусок свободно плавает, масса вытесненной им воды равнамассе бруска m. После перевертывания бруска центр масс вытесненнойводы поднялся на высоту (l  d ) 4. Центр масс бруска остался на уровнеповерхности воды, поскольку брусок снова находится в равновесии. Позакону сохранения энергии количество выделившейся теплоты равно убыли потенциальной энергии воды:Q  mg (l  d ) 4  4, 7 103 Дж.12ЧАСТЬ 1НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА1.1. С подводной лодки, погружающейся вертикально и равномерно,испускаются звуковые импульсы длительности 0. Длительность приемаотраженного от дна импульса . Скорость звука в воде c.

С какой скоростью погружается подводная лодка?Ответ. v  c( 0   ) ( 0   ).1.2. Электрон дрейфует вдоль плоскости раздела областей с различными магнитными полями (рис. 1.2). Его траектория состоит из чередующихся полуокружностей радиуса R и r. Скорость электрона постоянна по модулю и равна v . Найдите среднюю скорость электрона за большой промежуток времени.Рис.

1.2Ответ. v ср 2 Rrv; направлена по границе раздела. Rr1.3. Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростьюрасстояние L, а затем тормозится с ускорением a. При какой скорости частицы время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим?Ответ.

v  La .1.4. Мигрирующие рыбы, накопив в море запас жира, заходят в устьярек. В пресной воде они не питаются, поэтому им важно добраться до нерестилищ в верховьях реки с наименьшими потерями массы. Расход жирана поддержание основного обмена веществ в организме рыбы за единицувремени равен N, а добавочный расход bv 2 тратится на движение со скоростью v .

С какой скоростью должны двигаться рыбы, чтобы затраты жира на пути до нерестилища были минимальны? (Рыбы прекрасно чувствуют эту скорость.)Ответ. v  N b .131.5. Мальчик надувает воздушный шарик. При радиусе шарика 10 смскорость увеличения радиуса равна 1 мм/с. Какой объем воздуха ежесекундно выдыхает мальчик?Ответ. q = 126 см3/с.1.6. Тело начинает движение из точки A и движется сначала равноускоренно в течение времени t0, затем с тем же по модулю ускорением –равнозамедленно.

Через какое время от начала движения тело вернется вточку A?Ответ. t  (2  2) t0 .1.7. а. Из верхней точки окружности по гладкому желобу под углом  квертикали начинает скользить шарик (рис. 1.7a). За какое время он достигнет окружности, если ее диаметр D?б. Из точки A по спицам с разным наклоном одновременно начинаютскользить без трения маленькие бусинки (рис. 1.7б). На какой кривой будут находиться бусинки в момент времени t?Рис. 1.7aРис. 1.7бОтвет. а. t  2 D g .

б. На окружности диаметра gt2/2 с верхней точкой A.1.8. Из шланга, лежащего на земле, бьет под углом 45 к горизонту водас начальной скоростью 10 м/с. Площадь сечения отверстия шланга 5 см2.Определите массу струи, находящейся в воздухе.Ответ. m = 7 кг.1.9. Небольшое тело движется по окружности радиуса r со скоростью,которая линейно увеличивается во времени по закону v  kt . Найдите зависимость полного ускорения тела от времени.Ответ. a  k 2  k 4 t 4 r 2 .141.10. Одна из частиц пылевого облака (частица A) покоится, а все остальные разлетаются от нее в разные стороны со скоростями, пропорциональными расстояниям от них до частицы A.

Какую картину движенияобнаружит наблюдатель, движущийся вместе с частицей B?Ответ. Точно такую же, как и наблюдатель, движущийся с частицей A.1.11. Какой будет продолжительность полета самолета из Новосибирска в Москву и обратно, происходящего по прямой, если в течение всегополета ветер дует под углом  к трассе со скоростью u? Скорость самолетаотносительно воздуха v , длина трассы L.

Характеристики

Список файлов книги