1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

При каком направлении ветрапродолжительность полета максимальна?Ответ. t 2 L v 2  u 2 sin 2 . Вдоль трассы.v2  u21.12. При упругом ударе тела о неподвижную стенку (рис. 1.12) скорость v меняется лишь по направлению. Определите изменение скорости этого тела послеудара, если стенка движется: а) со скоростью u навстречу телу; б) со скоростью w  v в направлениидвижения тела.Ответ. а) v  2(v  u ).

б) v  2(v  w ). (Направление вдоль начальной скорости считается положительным.)v90ºРис. 1.121.13. Тело роняют над плитой на высоте h от нее. Плита движется вертикально вверх со скоростью u. Определите время между двумя последовательными ударами тела о плиту. Удары абсолютно упругие.Ответ. t  2 u 2 g 2  2h g .1.14. Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшей скорости течения реки, хочет переплыть эту реку так,чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению.Под каким углом к берегу он должен плыть? На какоерасстояние его снесет, если ширина реки 200 м?Ответ.

 = 60, l  200 3  345 м .1.15. Скорость груза A равна v A (рис. 1.15). Чему равна скорость груза B?Ответ. v B  2v A .BAvAРис. 1.15151.16. Угловая скорость катушки равна , радиусвнутреннего цилиндра r, а радиус внешних цилиндров  R (рис. 1.16). Каковы скорости оси катушкиv1 и груза v 2 относительно земли?rRОтвет. v1   R ; v 2   ( R  r ).1.17. Клин, имеющий угол 30, лежит на горизонтальной плоскости (рис.

1.17). Вертикальныйстержень, опускающийся со скоростью v , заставляет клин скользить по этой плоскости. Какова скорость клина?Рис. 1.16v30ºОтвет. u  v 3.1.18. На клине с углом  лежит монета. С каким наименьшим ускорением должен двигаться клин по горизонтальной плоскости, чтобы монета свободно падала вниз?Рис. 1.17Ответ. a  g ctg  .1.19. а. Скорость точки A твердого тела равна v и образует угол 45 снаправлением прямой AB (рис. 1.18). Скорость точки B этого тела равна u.Определите проекцию скорости точки B на направление AB.б. Скорости точек A и B твердого тела равны v (рис.

1.19). Скоростьточки C, находящейся в плоскости прямой AB и вектора v, равна u  v .Найдите проекцию скорости точки C на ось, перпендикулярную указаннойплоскости.Ответ. а. u AB  v2 . б. u1  u 2  v 2 .AB45ºvvCAvuBРис. 1.18Рис. 1.19161.20. Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью v под углом  к горизонту.Катушка катится по горизонтальной плоскостибез проскальзывания. Найдите скорость оси иугловую скорость вращения катушки.

При каких углах  ось движется вправо? Влево? Нитьдлинна настолько, что угол  не меняется придвижении.varRvRvОтвет. u ;; вправоR cos   rR cos   rпри cos   r R , влево при cos   r R .Рис. 1.201.21. а. Луна обращена к Земле постоянно одной стороной. Сколькооборотов совершит она вокруг своей оси за время полного оборота вокругЗемли?б. На сколько в среднем звездные сутки короче солнечных? Земля обходит Солнце за 365,25 солнечных суток.Ответ. а. Один оборот. б. На 4 мин.1.22. Стержень, одним концомшарнирно закрепленный на горизонтальной плоскости, лежит нацилиндре. Угловая скорость стержня .

Проскальзывания между цилиндром и плоскостью нет. Найдите зависимость угловой скорости цилиндра от угла  между стержнем иплоскостью.Ответ.   2sin ( 2)2waРис. 1.22.1.23. Вычислить расстояние до звезды -Центавра по ее годичному параллаксу  = 0,756'' (в метрах, световых годах и парсеках).Ответ. L = 4,3 св. года = 1,3 пк.1.24. Нарисовать синхронные графики зависимости от времени координаты x, скорости x и ускорения x центра тяжести упругого шарика,подпрыгивающего в поле тяжести над упругой плитой без потерь энергии.Рассмотреть случай, когда деформации шарика существенны. За какое17время шарик остановится, если при каждом ударе будет теряться 1 % энергии? Изобразите это движение на плоскости x, x .Ответ. T  200 t1 , где t1  время первого подпрыгивания.1.25.

Нарисовать траекторию точки, движущейся по законуr  b t ,    t (b  0).Найти закон движения и уравнение траектории в декартовых координатах.Ответ. x bbbycos  t , y  sin  t , траектория  tg.2ttxx  y21.26. Точка движется по закону x  2t , y  t 2 (x, y – в метрах, t – в секундах). Определить радиус кривизны траектории в начале движения ичерез 2 с.Решение.Ускорение точки x  0, y  2 м/с 2 , a  2 м/с2 ,компонентаa  d V dt  2t1 t2 ,его тангенциальнаянормальнаякомпонентаa  a  a  4 1  t  . Радиус кривизны:2n2Rкр 22при t  0,32V22 м 2 1  t 2   an10 5 м при t  2 с.1.27. Четыре собаки преследуют друг друга, такчто скорость догоняющей собаки V всегда направлена на убегающую собаку (рис 1.27). Через какоевремя собаки догонят друг друга, если сначала онинаходились в углах квадрата со стороной a? Каковатраектория собак? Какими будут время и траектория для N собак?Рис.

1.27Решение.Расположим начало полярной системы координат в месте встречи собак. При движении собаки расположены в вершинах правильногоN-угольника, а радиальная компонента их скорости равна  V sin( N ).Время движения собак до встречи имеет величину18t0a, 2V sin 2 ( N )a– начальное удаление собак от точки встречи.2sin( N )Поделив радиальную скорость  на азимутальную   V cos( N ),получим уравнение для траектории:где 0 d tg( N ) d .Его решением является уравнение логарифмической спирали  0 exp    n0  tgaexp    n0  tg  ,N  2sin( N )Nгде n0 – начальная угловая координата n-й собаки.1.28.

Заяц бежит по прямой линии со скоростью u. В начальный момент времени(рис. 1.28) его начинает преследовать собакасо скоростью V. В ходе погони собака всегдабежит в направлении зайца. Через какое времясобака настигнет зайца? Начальное расстояниемежду ними L.Решение.Рис. 1.28Пусть собака догонит зайца через время T. При этом заяц успевает пробежать расстояние uT. С другой стороны, это расстояние равно горизонтальной проекции пути, пройденного собакой, которая складывается изэлементарных участков длиной V sin  dt , где  – угол между направлением скорости собаки V и нормалью к линии движения зайца.

Отсюда получаем соотношение:TT00uT   V sin  (t ) dt  V  sin  (t ) dt.В системе отсчета собаки скорость сближения собаки и зайца равна(V  u sin  ), так чтоT V  u sin  (t )  dt  L,019где L – начальное расстояние. Отсюда следует, чтоTVT  LuT  sin  (t ) dt .0uVПолучаем ответ: T LV.V 2  u21.29. Сферические координаты векторов r1  (r1 , 1 , 1 ) и r2  (r2 ,  2 ,  2 ).Определить угол между векторами r1 и r2 .Решение.Угол между векторами находим с помощью скалярного произведениявекторов:  arccosr1  r2 sin 1 sin  2 cos(1  2 )  cos 1 cos  2 .r1  r21.30. Для двух кораблей, движущихся неизменными пересекающимисякурсами, выразить расстояние наибольшего сближения и время до сближения через векторы скоростей и начальных положений.Решение.В системе отсчета первого корабля расстояние между кораблями равноR  r2  r1 , а скорость второго корабля V  V2  V1 .

Минимальным расстоянием между кораблями в этой системе отсчета будет длина перпендикуляра, опущенного на линию движения второго корабля, при этом длядостижения минимального расстояния второму кораблю необходимопройти путьR cos   (r2  r1 )(V2  V1 )V2  V1(здесь косинус угла между векторами R и V записан через скалярное произведение соответствующих векторов).Время движения до максимального сближения кораблей определитсярасстоянием и скоростью сближения кораблей V:tmin (r  r )(V  V )R cos  2 1 2 2 1 .VV2  V120Минимальное расстояние между кораблями получим с помощью векторного произведения:Rmin  R sin  (r2  r1 )  (V2  V1 ).V2  V11.31.

Снаряд, летящий на большой высоте со скоростью V, разрываетсяна осколки, которые в системе снаряда разлетаются в разные стороны содинаковыми начальными скоростями u. Какое положение в пространствеони займут в момент времени t? Опишите движение осколков в системекоординат, связанной с одним осколком.Решение.В неинерциальной С.О. снаряда S  осколки разлетаются изотропно ирасположены на расширяющейся сфере, описываемой уравнениемr 2  u 2 t 2 . Радиус-вектор осколка в С.О. снаряда r  связан с радиус-вектором в С.О. Земли r соотношением r   r  r0 , где r0  Vt  gt 2 2 –положение начала координат системы S  , движущейся относительно Земли со скоростью V  gt. В системе отсчета Земли поверхность сферы, накоторой расположены осколки, описывается уравнением(r  r0 ) 2  u 2 t 2 .Перейдем в систему отсчета S  осколка, движущегося относительноснаряда со скоростью u.

Радиус-векторы осколков в системах S  и S связаны соотношениями r   r   r0, где r0  ut – положение начала координат системы S  относительно системы S  . В системе отсчета S уравнение поверхности, на которой расположены осколки, будет иметьвид(r   ut ) 2  u 2 t 2 .Это сфера радиусом ut и центром в точке ut.1.32. Определите скорость поезда, если при приближении к неподвижному наблюдателю гудок поезда имел частоту, в  раз большую, чем приудалении от наблюдателя.Ответ. V  c 1, где c – скорость звука. 11.33. Машинисты двух сближающихся поездов сигнализируют другдругу гудками.

Определите скорости поездов, если частоты принимаемых21машинистами сигналов превышают «собственную» частоту гудка в  и раз соответственно. Сигнальные устройства локомотивов одинаковы.Решение.Пусть скорости поездов V1 и V2. Перейдем в систему отсчета первогопоезда. Тогда источник звука приближается к нему со скоростью V1  V2 , аскорость звука равна c  V1 .

По эффекту Доплера частота звука, принимаемого первым машинистом, будетf1 f,1  (V1  V2 ) (c  V1 )а соотношение частот –f1 c  V1.f c  V2Аналогично получим значениеc  V2.c  V1Решая системуV1  V2  (  1)c,  V1  V2  (   1)cнаходим скорости 2(  1)  2(   1) V1  c 1  и V2  c 1 .  1 11.34.

Какова угловая скорость вращения Луны с точки зрения наблюдателя, находящегося на поверхности Земли?Ответ. Луна вращается с запада на восток с угловой скоростью  1 2 7 105 рад/с,Tгде 1  7,3 105 рад/с – угловая скорость суточного вращения Земли,T = 27 дней – период обращения Луны вокруг Земли.221.35. Найти траекторию и закон движенияконца часовой стрелки часов в системе координат, связанной с концом минутной стрелки.ArРешение.RxtНаправим ось x системы координат S ,Rсвязанной с концом часовой стрелки, в направxлении, продолжающем стрелку.

Характеристики

Список файлов книги