1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Пусть угол характеризует поворот часовой стрелки и измеРис. 1.35няется по закону   1t , где 1 – где угловаяскорость часовой стрелки. Координаты конца часовой стрелки в системеS  будут меняться по закону x  r cos(  1 )t  R, y   r sin(  1 )t , т. е.конец часовой стрелки в системе S  будет двигаться с угловой скоростью  1 по окружности радиусом r( x   R ) 2  y 2  r 2 .1.36. Жесткий стержень AB движется в плоскости XOY, опираясь на окружность радиуса R,центр которой находится в начале координат.Найти угловую скорость стержня, если его конецB движется вдоль оси x с постоянной скоростьюV.Решение.Пусть  – угол наклона стержня к горизонту,Рис. 1.36OB  x0 .

Тогдаsin   R  x0  Vt  ,  cos    RV ( x0  Vt ) и угловая скорость стержня:2  VRx x2  R2, где x  x0  Vt.1.37. Стержень OA равномерно вращается с угловой скоростью  вокруг точки O, расположенной наокружности радиуса R. Определить скорость и ускорение колечка, надетого на стержень и окружность.Решение.Рис. 1.37Центральный угол , опирающийся на дугу окружности, вдвое больше, чем вписанный угол, опирающийся на эту дугу. Следо23вательно, угловая частота вращения колечка вдвое больше частоты вращения стержня.

При этом линейная скорость колечка V  2 R, а тангенциальная и нормальная компоненты ускорения равныa dVV2 0, an  4 2 R.dtR1.38. Между двумя зубчатыми рейкамизажата шестеренка радиусом R = 0,5 м. Ускорения реек a1 = 1,5 м/с2 и a2 = 2,5 м/с2 . Найтипоступательное и угловое ускорение шестеренки.Рис.

1.38Решение.Считаем, что шестеренка движется со скоростью V и вращается с угловой скоростью . Запишем выражения для скоростей верхней и нижнейреек: V2  V   R,  V1  V   R.Дифференцируя их, получим a  V   R,  a  V   R. Для поступа21тельного и углового ускорений шестеренки имеемa aa aV  2 1  0,5 м/с 2 ,   2 1  4 с 2 .22R1.39. По стенке дома затаскивают бревно длиной L, так что его верхний конец движется вертикально вверх с постоянной скоростью V, а нижний передвигается по земле.

Найти угловую скорость и угловое ускорениебревна, а также ускорение точек бревна в зависимости от времени.Решение.Выберем декартову систему координат с осью y, направленной от земли вдоль стены. Координата верхнего конца бревна изменяется по законуy  Vt , при этом угол наклона бревна к горизонтали   arcsin(Vt L).Дифференцируя, найдем угловую скорость и угловое ускорение бревна: VL22 2 12V t,  V3L2 V 2t 2 32.Координаты точки бревна, отстоящей на расстояние l от его нижнегоконца, запишутся в виде y  Vt (l L), x  L2  V 2 t 2 (1  l L). Дифференцируя, найдем ускорение точки бревна:24y  0, x( L  l ) LV 2L2 V 2t 2 32.1.40.

Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R. Прикакой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететьчерез резервуар, лишь коснувшись его вершины?Ответ. Vmin  5 gR .25ЧАСТЬ 2РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКАСпециальная теория относительности, созданная Эйнштейном в1905 г., означала пересмотр представлений классической физики о свойствах пространства и времени. Термин «специальная» подчеркивает то обстоятельство, что эта теория рассматривает явления только в инерциальных системах отсчета.В качестве исходных позиций специальной теории относительностивыделим следующие: принцип относительности.

Законы природы имеют одинаковый видво всех инерциальных системах отсчета. Никакими экспериментаминельзя установить, какая система движется, а какая покоится; существует предельная скорость передачи сигналов c. Из принципаотносительности следует, что эта скорость одинакова во всех системахотсчета.В настоящее время с высокой точностью установлено, что предельнаяскорость c совпадает со скоростью света в пустоте.

Все содержание специальной теории относительности вытекает из этих двух ее постулатов.Относительность одновременности. Из-за конечности скорости светасобытия, одновременные в одной системе отсчета, не являются одновременными в другой системе отсчета, т. е. одновременность, в отличие от представлений ньютоновской механики, является понятием относительным.Замедление времени. Время, отсчитываемое по часам, движущимсявместе с телом, называют собственным временем этого тела  . Если вточке расположения часов, движущихся со скоростью V, прошло время , то в лабораторной системе отсчета пройдет время.t 1  V 2 c2Асимметрия возникает за счет того, что время одних движущиеся часовсравнивается последовательно со многими синхронизованными часами,расположенными в разных точках в лабораторной системе отсчета.Лоренцево сокращение.

Длину l0 , измеренную в системе отсчета, гдестержень неподвижен, называют собственной длиной. Продольный (т. е. внаправлении движения) размер движущегося со скоростью V стержня оказывается меньше его собственной длины:26l  l0 1  V 2 c 2 .Данное сокращение относится только к продольным размерам тел, поперечные же размеры не меняются.Преобразования Лоренца являются аналогом преобразования Галилея вслучае больших скоростей.

По ним осуществляется преобразование координат и времени любого события при переходе от одной инерциальнойсистемы отсчета к другой.Преобразования Лоренца при переходе от системы K к системе K , движущейся со скоростью V вдоль оси x относительно системы K, имеют видx x  Vt1  V 2 c2, y   y, z   z , t  t  Vx c 2,1  V 2 c2а при обратном переходе от системы K  к системе K –xx  Vt 1  V 2 c2, y  y , z  z , t t   Vx c 21  V 2 c2.Для более краткой записи формул приняты следующие обозначения:  V c и   1 1  V 2 c2  1 1   2 .Интервал.

Важной инвариантной величиной является интервал s12между событиями 1 и 2, квадрат которого определяется какs122  c 2 t122  l122  inv,где t12  t2  t1 – промежуток времени между событиями 1 и 2, l12 – расстояние между двумя точками, в которых происходят эти события,l122  x122  y122  z122   x2  x1    y2  y1    z2  z1  .222Утверждение «два события разделены таким-то интервалом s» имеетабсолютный характер – оно справедливо во всех инерциальных системахотсчета. Инвариантность интервала играет фундаментальную роль в теории относительности.Преобразование скорости.

Пусть в системе K движется частица со скоростью v , проекции которой на оси координат v x , v y и v z . Тогда проекции скорости этой частицы v x , v y и v z в системе K  равны27v x vx  V,1  v x V c2v y v y 1  V 2 c21  v x V c2, v z v z 1  V 2 c21  v x V c2.Заменив V  V и поменяв местами величины со штрихом и без штриха,получим обратные формулы преобразования:vx v x  V,1  v x V c 2vy v y 1  V 2 c 21  v x V c 2, vz v z 1  V 2 c 2.1  v x V c 2Релятивистская кинематика (задачи)2.1.

Найти скорость u точки пересечения лезвий гильотинных ножниц, если угол между кромками лезвий равен α и верхнее лезвие в данный момент падает со скоростью V. Может ли u быть больше скорости света?αОтвет. u V, может быть больше скорости света.tgVРис. 2.12.2. а. Фронт плоской световой волны, идущей в вакууме, падает подуглом α на плоскую поверхность АВ фотолюминесцирующего вещества.Найти скорость перемещения границы свечения Ф вдоль прямой АВ.Можно ли считать эту скорость скоростью распространения некоторогосигнала вдоль прямой АВ?б. Найти, с какой скоростью перемещается по поверхности Земли световой «зайчик» от пульсара PSR B0531+21 в центре Крабовидной туманности (угловая скорость вращения пульсара   30 c 1 , расстояние допульсара R  2 кпк).

Можно ли скорость перемещения «зайчика» пульсара рассматривать как скорость распространения светового сигнала?c c . б. v   R  2 1021 м/с. В обоих случаях скороsinсти не соответствуют распространению какого-либо физического объекта,а потому не являются скоростями распространения сигнала.Ответ. а. u 2.3. Загадка Эйнштейна.

Космонавт находится в неосвещенном космическом корабле, движущемся относительно Земли со скоростью, оченьблизкой к скорости света. Внутри корабля перед космонавтом расположе28но зеркало. Увидит ли космонавт свое изображение в зеркале после включения источника света, расположенного рядом с космонавтом?Ответ. Да, увидит через время t  2 L c (если пренебречь временем реакции глаза), где L – расстояние от космонавта до зеркала.2.4.

На ракете, летящей относительно наблюдателя со скоростью, близкой к скорости света, произошла вспышка света. С точки зрения космонавта, находящегося в ракете, волновой фронт от вспышки представляет собой равномерно расширяющуюся сферу. Каким представляется волновойфронт наблюдателю?Ответ. Волновой фронт будет сферой во всех инерциальных системахотсчета.2.5.

Характеристики

Список файлов книги