1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Фотон с энергией E сталкивается с покоящейся массой m. Чемуравна масса образовавшегося тела и его скорость?Ответ. M 2  ( P1  P2 ) 2 / c 4  0  2 Em/c 2  m 2 .VPc 2Ec.E  mc 2 E  mc 24.30. Движущаяся частица с массой m слипается с такой же покоящейсячастицей. Какой должна быть энергия налетающей частицы, чтобы образовалась масса M?Ответ. E ( M 2  2 m 2 )c 2.2m4.31.

Частица, движущаяся со скоростью V  c/2 , сталкивается и слипаетсяс такой же покоящейся частицей. Найти скорость образовавшейся частицы.Pc (2  3)c.Ответ. V   E 2 34.32. Две частицы летят навстречу с энергиями E каждая. Чему равна ихполная энергия в системе отсчета, движущейся вдоль оси их движения соскоростью V?Ответ.

E  2E1  V 2 /c 2.834.33. Найти угол симметричного разлета фотонов, получающихся при аннигиляции покоящегосяэлектрона с движущимся позитроном.Ответ.   2 arcsin2.1 Рис. 4.334.34. Пучок электронов с энергиями Ee сталкивается с летящими перпендикулярно пучку электронов (в лабораторной системе отсчета) фотонами.При какой минимальной энергии фотонов будут рождаться электронпозитронные пары:  e   e  e e  ? Масса электрона (позитрона) равна m .Ответ.

E 4m 2 c 4.Ee4.35. Найти минимальную (пороговую) энергию фотонов, при которой врезультате столкновения фотонов с покоящимися электронами будут рождаться пары мюонов  e   e      . Во сколько раз изменится пороговаяэнергия, если вместо электронов использовать протоны? (Массы частиц:me  0,51, m  106 МэВ/с2.) mОтвет. E  2m c 2  1 me  40 ГэВ.4.36.

При какой энергии протонов становится возможным рождение J/Ψ мезонов с массой 3,1 ГэВ на мишени из неподвижных протонов по схемеp  p   p  p  J / ? При какой энергии электронов и позитронов наблюдается рождение J/Ψ-мезона в экспериментах на встречных электронпозитронных пучках?M2 Ответ. E p   2 M   M p    c 2 .2 M p 4.37. Найдите мощность фотонных двигателей ракеты, необходимую дляподдержания ее равномерного движения со скоростью 0,99 c через межзвездный водородный газ плотностью 106 м–3.

Поперечное сечение ракеты40 м2, столкновения с водородом считать неупругими.Решение.В системе отсчета ракеты импульс одного атома  mV и в единицу времени на ракету падает  nVS атомов (γ за счет сжатия продольных разме84ров). Сила торможения F  dP / dt   2 mnV 2 S . При постоянной скоростисила тяги фотонного двигателя мощности N  dE/dt равна силе торможения, отсюда N   2 mnV 2 Sc  8 107 Вт.Эту задачу можно решать и в Л-системе, однако если считать, что на ракету падает за единицу времени nVS атомов и каждый приобретает импульс  mV , то получим силу в Л-системе (в соответствие с законом преобразования продольных сил она одинакова в Л-системе и СО ракеты) в  разменьше, чем получилось в предыдущем решении.

Ошибка здесь заключается в том, что, сталкиваясь с ракетой, атом, за счет выделения тепла, увеличивает ее массу на  m (см. задачу 4.28) и для движения этой массы вместе сракетой ей нужно придать импульс  m   V   2 mV . Тогда ответ получится,как и в первом (правильном) решении.4.38. Релятивистская ракета летит со скоростью V, и на нее ежесекундноналипает масса dm dt   , которая исходно покоилась в лабораторной системе отсчета. С какой силой нужно толкать ракету, чтобы ее скорость оставалась постоянной?Ответ. F   2 V .4.39.

Ракета с фотонным двигателем движется в облаке «космическойпыли». Вся пыль, встречающаяся на пути ракеты, улавливается и используется как топливо при аннигиляции в фотонных двигателях с таким же количеством (запасенного на ракете) антивещества. Найти предельную скоростьракеты.Ответ. V 25c.Упругие столкновения4.40. Фотон с энергией Е столкнулся с покоящимся электроном и отразился в перпендикулярном направлении. Чему стала равна его энергия?Решение.4-импульс сохраняется.

Исключая конечный электрон путем возведенияв квадрат его 4-импульса, находимE mc 2E.mc 2  E854.41. Фотон с энергией 10 эВ рассеивается на угол 90º на электроне, летящем навстречу. Найти энергию рассеянного фотона, если кинетическаяэнергия электрона была: a) 100 эВ; б) 10 ГэВ.Ответ. E   Emc 2  Te  Te2  2mc 2Temc  Te  E210 эВ при Te  100 эВ.20 эВ при Te  10 ГэВ4.42. Фотон с длиной волны  упруго рассеивается на покоящемся электроне с массой m на угол  . Чему равна длина волны рассеянного фотона?Учесть, что для фотона E  h  hc  .Ответ.

    h(1  cos  ).mc4.43. Определить минимальный угол разлета релятивистских частиц после упругого столкновения, если массы обеих частиц одинаковы, а одна изчастиц до удара покоилась.Ответ. Минимальный угол получается при симметричном разлете: 1 min  arccos. 3Релятивистская динамика4.44. Две одинаковые частицы с массами частицы с массами m1 и m2 расположены на расстоянии L. Частицу с массой m1 разгоняют постояннойсилой F, пока частицы не столкнутся и не слипнутся.

Какой будет масса образовавшейся частицы?Решение.Энергия первой частицы перед столкновением будет E1  m1c 2  FL . Длямассы образовавшейся частицы находимM 2  m12  m22  2  m1c 2  FL  m2 c 2 .4.45. Частица движется по окружности радиуса R со скоростью V. Чемуравны ускорения в лабораторной и сопутствующей системах?Решение.ВЛ-системеa V2 Rперпендикулярноскорости,F  d   mv /dt   mV /R .

В сопутствующей системе ( v x  V ):286асилаFy Fy 1  V 2 c 2FyV2  2m .VvR1  V 2 c21  2xcДвижение в магнитном поле. Сила Лоренца4.46. Во сколько раз различаются кинетические энергии протона и электрона с одинаковыми импульсами 200 МэВ/с? При какой напряженностимагнитного поля радиус траекторий таких частиц равен 1 м?Решение.КинетическаяэнергияэлектронаTe  pc  200 МэВ,протонаTp  p /2 M  20 МэВ. Магнитное поле:2B[T] pc [МэВ] 2 Т.300 R [м] 34.47. Оценить напряженность магнитного поля, отклоняющего электроны кинетической энергией 10 кэВ на угол 600 в телевизионной трубке.

Отклоняющая катушка создает магнитное поле на участке трубки длиной10 см.Ответ. B  100 Гс  102 T.4.48. Какой минимальный радиус должен иметь электрон-позитронныйускоритель со встречными пучками, чтобы на нем можно было наблюдатьрождение Z-бозонов по схеме e+e-→Z ? Масса Z-бозона 90 ГэВ.

Магнитноеполе на дорожке ускорителя 1 Т.Ответ. R[м] pc[МэВ] 45000 150 м.300 B[T]3004.49. Пучок протонов со средней энергиейЕ = 2 ГэВ и энергетическим разбросом 2 % инжектируется в полупространство с однородным поперечным магнитным полем В = 1 Т (рис 4.49).

Какимбудет ширина пучка на выходе из магнитного поля?Решение.RРис. 4.49pcdp cE 2 dE, dR .eBeBpceB E87Здесь учли, что c 2 pdp  EdE. В результате получаем разброс по координате2dR  30 см.4.50. В ускорителе типа микротрон электрон ускоряется из состояния покоя, проходя узкий ускоряющий зазор резонатора, где получает добавкуэнергии E  mc 2  0,511 MэВ. После этого он совершает оборот во внешнем поперечном магнитномполе и снова попадает в ускоряющий зазор. Найтивремя ускорения электрона до энергии 511 МэВ вмагнитном поле величиной B  2 T .Решение.Рис. 4.50Период обращения в однородном магнитном поле:T2 mс.eBВ микротроне  увеличивается каждый раз на 1 и электрон приходит всевремя в ускоряющую фазу напряжения, если его частота –f eB 5, 6 1010 Гц .2 mсУскорение электрона до энергии 511 МэВ произойдет за времяT2 mс mс 6(2  3  ...999) 10  8,9 10 6 c.eBeBДвижение в электрическом поле.

Релятивистская ракета4.51. Электрон влетает в тормозящее постоянное однородное электрическое поле напряженностью E с начальной скоростью V0 . Через какое времяэлектрон вернется в начальную точку? Какой путь он пройдет за это время?Решение.Изменение импульса dp dt  eE , откуда полное время движенияt  2 mV eE . Приравнивая работу поля изменению кинетической энергииэлектрона, находим пройденный путь:L2(  1)mc 2.eE884.52. Ракета удаляется от Земли с постоянным ускорением g в сопутствующей системе отсчета.

Через время T после старта ей вдогонку посылается сигнал связи. За какое время он догонит ракету? При каком T сигнал ужене сможет догнать ракету?Ответ. T  c g , см. введение к этой главе.4.53. Покоящееся тело начинают толкать с силой F. За какое время телопройдет путь x ?Решение.В сопутствующей системе будет действовать такая же сила и тело будетиспытывать постоянное ускорение a  F /m . В этом случае (см. задачу вовведении о равноускоренной ракете) x 2время – t c  ax 1    1 a  c2 c2 a 2t 2 1  2  1 . Отсюда искомоеa cx2x2 .2ac4.54. До какой энергии ускорится мюон из состояния покоя в однородном электрическом поле напряженностью  = 107 В/м за время жизни в собственной системе отсчета 2·10-6 с? Масса мюона 105 МэВ. Какой будет казаться длина такого ускорителя с точки зрения ускоряемых мюонов, еслидлиной считать суммарную длину участков ускорителя, измеренную из сопутствующих мюону систем отсчета?Решение.Во введении показано, что при равноускоренном в сопутствующей системе движении:c 2  a 1 . chacВ рассматриваемом случае a  e m и набранная энергия равнаx eE  ex mc 2  ch 1  3 1032 эВ.mc894.55.

Электрон с кинетической энергией T влетает в тормозящее однородноеэлектрическое поле напряженностью под углом α к пластине конденсатора.Какова высота траектории и минимальнаяскорость электрона? Найти расстояниемежду точками влета и вылета электронаи время его пролета через конденсатор.αРис. 4.55Решение.В точке поворота остается только горизонтальная компонента импульса,которая постоянна, поэтомуE  m 2 c 4  [(mc 2  T ) 2  m 2 c 4 ]cos 2 .Соответственно, скорость и высота будутV  c2p(mc 2  T ) 2  m 2 c 4c,E(mc 2  T ) 2  m 2 c 4 tg 2(mc 2  T )  E.eВремя пролета через конденсатор T  2 p0 y e , расстояние от точки влетаHдо точки вылета: L p0 y2 p0 x c.arcshem 2 c 2  p02x4.56. Космический корабль движется по круговой траектории с постоянной скоростью V  0, 6c , причем центростремительное ускорение в сопутствующей системе отсчета равно an  g . За какое время по собственнымчасам корабль совершит полный оборот?Решение.Поперечное ускорение в Л-системе в  2 раз меньше, чем в сопутствующей системе (см.

задачу 4.45), т. е. aл  V 2 R  g  2 . Отсюда R   2V 2 g ивремя полного оборота в Л-системе t  2 R V  2 2V g . В сопутствующей системе время оборота будет в  раз меньше: t  902 V 4,8 года.g4.57. Какую скорость приобретет космический корабль с фотонным двигателем, когда его масса уменьшится вдвое? Корабль ускоряется от нулевойначальной скорости. Считать, что масса топлива много больше массы ракеты, а КПД двигателя равен 100 %.Решение.Импульс ракеты равен импульсу испущенных фотонов E /c .

Из законасохраненияE  E  M 0 c 2 ,энергиитекущаяM c  E  p c  E  E .2 422 222Отсюда скорость ракеты: V  cEEc91M 02  M 2 0, 6 с.M 02  M 2массаракетыЧАСТЬ 5ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ, КОЛЕБАНИЯОдномерное движение (теория)Общее уравнение одномерного движения –x  f ( x, x ) .Если сила зависит только от координаты, тоmx  F ( x ) .В этом случае поле потенциально, и можно ввести потенциальную энергию U ( x) , которая связана с силой следующим образом:U ( x)    F ( x)dx ,а уравнение движения сводится к дифференциальному уравнению первогопорядка:mx 2 U ( x)  E  const .2Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две константы, которые при решении конкретной задачи определяются из начальных условий ( x0 , v 0 ) .

Характеристики

Список файлов книги