1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Нарисуйте график потенциала и напряженности поля тяготенияЗемли в зависимости от расстояния до центра Земли.  r23 gR  2   при r  R2R2.Ответ. U (r )   2 Rпри r  R g r6.2. Найти давление в центре «жидкой планеты» шаровой формы.Плотность жидкости считать однородной и равной 5,5 г/см3.

Радиус планеты 6400 км.Ответ. 2·106 атм.6.3. На какой высоте от поверхности планеты нужно включить тормозной двигатель космического аппарата, чтобы обеспечить мягкую посадкуна поверхность? Спуск происходит по прямой, проходящей через центрпланеты. Сила торможения F постоянна. Сопротивлением воздуха и изменением массы аппарата пренебречь. Масса аппарата m, скорость вдали отЗемли V .Решение.Для мягкой посадки скорость аппарата при касании Земли должна бытьнулевой. Значит, суммарная работа, совершенная двигателем, должна быть119равна кинетической энергии, которую аппарат имел бы на поверхностиЗемли при свободном падении:A  F h mV32 mV 2 GM 3 m.22R3Ответ.

h mV 2 GM 3 m.2FR3 F6.4. На спутник, движущийся по круговой орбите, действует слабаятормозящая сила F  V 2 . Найти зависимость скорости спутника отвремени. За какое время радиус орбиты уменьшится на 2 %, если за месяцскорость спутника меняется на 1 %?Ответ. V V0. Радиус уменьшится на 2 % за месяц.1  V0 t/mМомент импульса. Центробежный потенциал (теория)В центральном поле сохраняется момент импульса относительно центра поля:M  r  p   const .В полярной системе координат импульс тела равенp  m(r e r  r e ),что даетM  mr 2 e z  const .Отсюда  M /mr 2 . Подставим это выражение в формулу для полной энергии:mmr 2E   r 2  r 2 2   U (r )  U эф (r );22M2U эф (r )  U (r ) ,2mr 2где U эф (r ) называют эффективным потенциалом. В данном случае плоское движение сводится к одномерному в поле эффективного потенциала илегко интегрируется:120r drdt2( E  U эф (r )),mtdr2( E  U эф (r ))m const.Так как d   M mr 2  dt , траектория движения тела полностью определяется:M drr22m( E  U ýô (r )) const.Для частицы, летящей из бесконечности на центр поля с прицельным параметром ρ, момент импульса равенM  r  p   m v  .Момент импульса.

Центробежный потенциал (задачи)6.5. На сферически-симметричный потенциальный барьер радиусом Rи высотой U налетает плоский поток частиц с кинетической энергией E.В центре барьера расположена «липкая» сфера радиусом a  R . Найтизависимость сечения прилипания частиц к сфере от энергии частиц, построить график. UОтвет.    a 2  1   . E6.6. Частица скользит без трения постенке воронки в поле силы тяжести(рис. 6.6).

В начальный момент частицанаходилась на высоте h и двигаласьгоризонтально со скоростью V. При какойминимальной скорости V частица непровалится в воронку, отверстие которойимеет радиус  0 ?Ответ. V0 g 0 tg.1   h ctg 2  0 Рис. 6.66.7. Найти сечение падения потока метеоритов на Землю. Скорость метеоритов вдали от Земли V∞.121Решение.Задачу можно решить как построением графика эффективного потенциала из формулыEGM 3 m mr 2m 2r  r 2 2   U эф (r ),r22так и из геометрических соображений (рис. 6.7): траекторией с самымбольшим прицельным параметром кр будет гипербола с rmin  RЗ , которая касается поверхности Земли. Метеориты с большим прицельным параметром пролетят мимо.

Для критической траектории r  RЗ – это минимальная точка по радиусу, значит, при r( R3 )  0 будет выполнятьсяEGM 3 mmV 2M2;R322mR3v¥так как момент импульса равен M  m крV ,получаемкр V GM 3V.22 R3R322rRЗ2Рис. 6.7 2GM 3 Ответ.    кр 2   R32  1 .R3V 2 6.8. Найти сечение падения в центр поля притяжения U    r 4 .Решение.Эффективный потенциал для частицы с прицельным параметром равенU эф (r ) m 2  2v  2  4,r2mr 2122его график показан на рис. 6.8.

Чтобыпопасть в центр, частица должна иметьэнергию выше максимального значенияэффективного потенциала. Экстремумэффективного потенциала находится взятием производной по r:r  2 / E  2 , U эф (r ) U эфф (r)E2 4.4rПолучаем условие попадания в центрE  U эф (r )  E 2  4 4 , что при условииrРис. 6.8  кр 2 дает сечение падения в центр   2  /E .Кулоновское поле.

Законы Кеплера (теория)При движении в кулоновском и гравитационном полях потенциал равенU (r )  r(в гравитационном поле тела массой M грав :   GM грав m ). ТогдаU эф (r ) ИнтегралM2  .2mr 2 rM drr22m( E  U ýô (r ))берется и даетM21 const .  arccos m r2 EM 21m 2123 constЭто решение можно переписать в видеp1pили r ,cos   re1  e cos гдепараметрорбитыp  M 2 m,равенэксцентриситетравенe  1   2 EM 2 m 2  . Это канонические уравнения второго порядка, ко-торые при Е < 0, e < 1 описывают эллипс; при Е = 0, e = 1 – параболу; приЕ > 0, e > 1 – гиперболу.Для случая E < 0 уравнения можно привести к выражению в декартовых координатах: x  ca2где2y21,b2a  p 1  e 2     2 E  ,b p1  e2  M2m Eиc  ep 1  e  .

Траектория движения приведена на рисунке, центр тяготе2ния находится в точке О.Момент импульса для эллипса прямо связан с секториальной скоростью тела f : M  2m f Тогда за один период обращения T тело покроетплощадь эллипса S: 2mS = TM. Так как площадь эллипса S = πab, получаемсвязь периода движения с большой полуосью и полной энергией тела:T  2 a 3/ 2m m2E3.124Таким образом мы доказали верность экспериментально установленных Кеплером законов движения планет: 1) планеты двигаются по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце; 2) секториальная скорость планет постоянна; 3) квадраты периодов движения планет пропорциональныкубам больших полуосей эллипсов.Если тело двигается по круговой орбите радиуса r в гравитационномпотенциале, центростремительное ускорение сообщается притягивающейсилойmv 2 GM З mrr2и скорость тела:v  GM З /r .Скорость кругового движения по самой низкой орбите вблизи Земли( r  RЗ ) называют первой космической скоростьюv1  GM З /R .Чтобы тело покинуло гравитационное поле Земли, требуется втораякосмическая скорость v 2 , которая находится из закона сохранения энергии:E=mv222-GM ЗmRЗ= 0 при r  ¥ ,следовательноv 2  2GM З /R .Для решения задач иногда удобно использовать теорему о вириале, согласно которой для гравитационного взаимодействия выполняются следующие соотношения между средними полной, кинетической и потенциальной энергиями:E  T U.2125Кулоновское поле.

Законы Кеплера (задачи)6.9. Какой должна быть минимальная скорость ракеты при выходе изатмосферы Земли, чтобы она смогла покинуть Солнечную систему бездополнительного ускорения?Ответ. Третья космическая скорость равна2v3  v Земли ( 2  1) 2  v 2 2  16, 4 км/с, где v Земли  скорость движения Земливокруг Солнца.6.10. С какой минимальной скоростью должен покинуть атмосферуЗемли космический корабль, направляющийся к Марсу и стартующий покасательной к орбите Земли? Каким будет расстояние от Земли до Марсапри посадке корабля на Марс? Радиус орбиты Марса 1,52 а.

е. Какова минимальная начальная скорость при полете на Венеру? Радиус орбиты Венеры 0,72 а. е.Ответ. Vmin Марс ≈ 11,56 км/с, R3-M ≈ 1,5 а. е., Vmin Венера ≈ 11,5 км/с.6.11. Спутник движется по околоземной круговой орбите радиусом r.Какую радиальную добавку скорости ему нужно сообщить, чтобы его орбита стала эллиптической с перигеем r1? r  r1 Ответ.

Vr    gr . r1 6.12. В каком году нужно ожидать возвращения кометы, удаляющейсяот Солнца на 35 а. е.? Перигелий кометы 0,6 а. е. Предыдущее прохождение кометы через перигелий было в 1986 г.Решение:Большая полуось орбиты кометы 2а = 35 + 0,6 = 35,6 а. е. Если кометупоместить на место Земли, период будет 1 год, полуось 1 а. е. Следовательно, по третьему закону Кеплера T = (17,8)3/2 лет.Ответ.

2061 г.6.13. За какое время Земля упадет на Солнце, если остановить ее движение по орбите?1лет  2,1 месяца .Ответ. t 4 21266.14. Во сколько раз необходимо мгновенно увеличить скорость движения Земли, чтобы продолжительность года увеличилась в 2 раза?Решение.333Из законов Кеплера T   m 2 E , значит, T 2 E  T 2 E  , гдеEmv 2 GMm,R2при этом по теореме вириала:mv 2GMm.22RПусть изменение скорости было в n раз: v   nv. ТогдаEE mv 2 GMm mn 2v 2 GMm mn 2v 2 mv 2 .2R2R2Так как T   2T , из E   E T T  2/3получаем n 2  2  (1 / 2) 2/3 .Ответ.

n  1.17.6.15. Спутник летает по круговойорбите вокруг Земли с радиусом 2R, гдеR – радиус Земли. Полюса Земли лежатв плоскости орбиты. Во сколько разнужно уменьшить скорость спутниканад экватором, чтобы он попал на Северный полюс?полюсAРешение.При движении по круговой траектории скорость спутникаv 0  GM з / 2R .Рис. 6.15После изменения скорости в точке А траекториейдвижения спутника станет часть эллипса (до удара о Землю), проходящегочерез оба полюса Земли и точку торможения над экватором (т.

А,рис. 6.15). Тогда радиус Земли равен параметру эллипса p = R (уравнениеэллипса r  p / (1  e cos  ) , φ = 90°  r  p) .127pM 2 m 2v12 (2 R) 2mGm 2 M З(так как момент импульса в т. А равенmv1  2 R ),следовательноv  GM З R/(2 R)  GM З /4 R  v 0 /2 .212Ответ. В22 раз.6.16. Спутник на геостационарной орбите вышел изстроя, и было решено утопитьего в океане. Найти необходимое минимальное изменение скорости спутника.Решение.VГDVПри движении по геостационарнойорбитеVГ  GM /RГ . МинимальноеR3RГизменение скорости определяется из условия минимальноРис.

6.16сти энергии при падении в океанпри условии сохранения моментаимпульса. Оптимальная траектория показана на рис. 6.16.Изменение скорости делаем против направления движения спутника, засчет этого минимален момент импульса (VГ  V ) RГ  V3 R3 и, соответственно, минимальна V3 – скорость спутника при ударе о поверхность Земли,следовательно минимально изменение его энергии. Из закона сохраненияэнергииmV 2 GmM(VГ  V ) 2 GmMm 3 .RГR322Подставляя V3 из момента импульса, получаем(VГ  V ) 2 R32GM.RГ ( RГ  R3 )128Ответ. V GMRГ2 R3 1 .RГ ( RГ  R3 ) 6.17. Спутник связи имеет перигей над южным полушарием Земли навысоте 500 км, а апогей – на высоте 40 тыс. км над северным полушарием.Каково отношение угловых скоростей обращения спутника в перигее иапогее?Ответ.

Характеристики

Список файлов книги