1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

 45.6.18. Два богатыря на полюсе Земли бросают вертикально вверх булавы. Первая упала через неделю, вторая – через 30 дней. На сколько отличались их начальные скорости?Ответ. V  70 м/с.Задача двух тел (теория)Если рассматриваются два тела, сила (или потенциал) взаимодействиякоторых зависит только от расстояния между нимиF12  F21  F(r ) , r = r2  r1 ,то систему уравненийm1r1  F (r ) и m2r2  F(r )можно заменить уравнением на вектор расстояния между телами:r  r2  r1 F(r ) F(r ) F(r ),m1m2m1m2называют приведенной массой.m1  m2Таким образом, задачу двух тел можно свести к движению одного телас приведенной массой  в (неподвижном) центральном поле F (r ).

Решивзадачу движения приведенного тела, можно затем найти закон движенияисходных двух тел по формулам:где  129r1  r2 m2r  R ЦМ ;m1  m2m1r  R ЦМ ,m1  m2где вектор центра массR ЦМ m1r1  m2 r2.m1  m2Задача двух тел (задачи)6.19. Найти период малых продольных колебаний осциллятора, состоящего из двух масс m и M, закрепленных на концах пружины жесткостью k.mM.k (m  M )Ответ. T  26.20. Два тела с массами m и M соединены последовательно двумяпружинами жесткостью k1 и k2. Найти частоту малых колебаний.Ответ.

 kэфk1k2 (m1  m2 ).m1m2 (k1  k2 )kM6.21. Найти частоту колебаний системы(рис. 6.21). Центральное тело может двигаться только вдоль пружин. Масса кольцаМ, центрального тела m. Жесткость пружинодинакова и равна k. Как изменится ответ,если кольцо закрепить?mkРис. 6.21Ответ.

1 2k2k ( m  M ), закрепл mM2k.m6.22. Два шарика массами m и М соединены пружиной жесткости k.Шарики заряжают одноименными зарядами, так что пружина растягивается в  раз (пружина электрическое поле не возмущает). Найти частотумалых продольных колебаний системы.130Ответ.  k (m  M ) 23  .mM   6.23. Через какое время столкнутся две точки с разными массами, начавшие двигаться из состояния покоя под действием силы взаимного гравитационного притяжения?Ответ. T  L3/ 28G (m  M ).6.24. Две звезды обращаются друг относительно друга с постояннымипо модулю скоростями V1 и V2 c периодом Т.

Найти массы звезд и расстояние между ними.Решение.Звезды двигаются по окружностям радиусов R1 и R2 вокруг общегоцентра масс. Расстояние между звездами всегда R1 + R2. Силы притяженияравны центробежным:m1V12Gm1m2m2V2 2.R1( R1  R2 ) 2R2Так как за период T звезда проходит окружность, получаем V1T  2 R1и V2T  2 R2 , сложив их, получаем (V1  V2 )T  2 ( R1  R2 ). Отсюдаm1V12 2Gm1m2 4 2m2V2 2 2.TV1TV2(V1  V2 ) 2 T 2Ответ. m1 TV2TV1(V1  V2 ) 2 , m2 (V1  V2 ) 2 .2 G2 G6.25. Минимальное расстояние между компонентами двойной звезды(две звезды, обращающиеся относительно друг друга) равно R1, при этомих относительная скорость V1. Сумма масс звезд равна М. Найти расстояние между ними R2 и их относительную скорость V2 при их максимальномудалении.Решение.При переходе к приведенной массе, вращающейся вокруг центра тяготения, из законов сохранения момента импульса и энергии получаем131V1 R1  V2 R2 иV122Gm1m2 V2 2 Gm1m2.R12R2Откуда V2  V1 R1 R2 и V12  2GM R1  V2 2  2GM R2 .

И в результате получаем квадратное уравнение:R2 2 (V12 2GM)  2GMR2  V12 R12  0.R1Ответ. R2 V12 R12R; V2  V1 1 .R22GM  V12 R1v,k6.26. Система состоит из двух шаmmMриков с массами m и М, соединенныхмежду собой невесомой пружиной скоэффициентом упругости k. ТретийРис. 6.26шарик с массой m, движущийся вдольоси пружины со скоростью v , претерпевает упругое столкновение с шариком m. Считая шарики абсолютно жесткими, найти после столкновения:1) кинетическую энергию К движения системы как целого; 2) внутреннююэнергию системы Евн; 3) амплитуду колебаний одного шарика относительно другого А.

До удара система покоилась, а пружина не была деформирована.Ответ. K Mmv 2(mv ) 2Mm, Eвн , Av.k ( M  m)2( M  m)2( M  m)6.27. Первая искусственная ядерная реакция N14 + He4 = O17 + p наблюдалась Резерфордом в 1919 г. Она идет с поглощением энергии Е =1,13 МэВ. Какую минимальную энергию Е0 надо сообщить в лабораторнойсистеме α-частице (т. е. ядру атома гелия), чтобы при бомбардировке неподвижной мишени из N14 указанная реакция могла пойти?Решение.Импульс α-частицы до столкновения p0  mHev 0 . После столкновенияимпульс сохранится.

С ним связана кинетическая энергия движения центра масс:132K ц.м. p0 2mHeE0 ,2(mHe  mN ) mHe  mNкоторая не затрачивается на ядерные превращения. Искомая энергия Е0найдется из условия:E0  E  K ц.м.  E откуда E0 E0 mHe,mHe  mNmHe  mNE.mNОтвет. Е0 = 1,45 МэВ.Рассеяние частиц (теория)Сечением процесса  называют площадь, в которую должно попастьлетящее из бесконечности тело, чтобы процесс произошел.

Это сечениелегко связать с максимальным прицельным параметром  , который может иметь налетающее тело:    2 . Прицельный параметр  связан суглом рассеяния . Дифференцируя формулу для сечения процесса   2 , мы получим дифференциальное сечение процесса:d  2 d   2dd .dЕсли перейти от плоского угла рассеяния  к связанному с ним элементу телесного угла d   2 sin  d , получимd dd .sin  dПри изучении взаимодействия двух заряженных частиц мы можем заменить этузадачу на рассеяние приведенной частицы внеподвижном кулоновском потенциале.Как упоминалось выше, эта задача полностью решается и можно получить связь угла рассеяния  (см.

рисунок) с параметрами налетающей частицы:133tg2откуда, mv  2mv 2ctg2.Подставив последнее выражение в формулу дифференциального сечения рассеяния, получим формулу Резерфорда:2   ddd  .2 sin  d  2mv   sin 4 2Чтобы определить параметры рассеяния исходных частиц, требуется отприведенной рассеянной частицы обратно перейти к реальным телам спомощью формул из предыдущего раздела.d Рассеяние частиц (задачи)6.28.

Найти зависимость угла рассеяния точечных частиц на абсолютноупругой сфере радиусом R от прицельного параметра  .Ответ.   2arccosR.6.29. Найти сечение рассеяния на угол, больший 90°, при упругомстолкновении точечной частицы массой m с первоначально неподвижнойсферой радиусом R, массой 2m.Ответ.    R 2M  m  R2.2M46.30. Два одинаковых шара массой m покоятся,касаясь друг друга. Третий шар налетает на них,двигаясь по прямой, касающейся обоих шаров.Найти массу налетающего шара, если после удараон останавливается. Радиусы всех шаров одинаковы. Считать удар упругим.134mM?mРис. 6.30Решение.При ударе центры шаров будут образовывать равносторонний треугольник, значит, шары m отлетят под углом 30° от линии удара.

Из законов сохранения энергии Mu 2 2  2 mv 2 2 и импульса Mu  2mv  cos30 .Ответ. M 3m.26.31. Найти сечение рассеяния на угол, больший 90°, при столкновенииэлектрона с энергией Т = 10 кэВ с неподвижным протоном. Как изменитсярезультат, если протон не закреплен?Ответ.  0 m2 1, 6 1026 м2,  незакрепл   0 1  e 2 M4Tp e42 .6.32.

Найти зависимость энергии, переданной покоившемуся протонунерелятивистским электроном от прицельного параметра. Каким будет результат при столкновении ядер дейтерия и гелия? Столкновения упругие.4m1Ответ. Tp  Te.M 1  4T 2  2 e 26.33. Найти сечение упругого рассеяния электрона с кинетическойэнергией 1 МэВ на угол, больший 10 2 радиан, при пролете мимо первоначально покоившегося протона. Определить максимальную и минимальнуюэнергию, переданную протону при рассеянии.Ответ.  4 e 4 1,5 1025 м 2 , Tmin  0,1эВ , Tmax  4 кэВ . 2 p 2V 26.34.

Какую максимальную добавку к вектору скорости может получить космический аппарат (КА) при гравитационном маневре, т. е. близком пролете около планеты массой М и радиуса R?Решение.После пролета мимо планеты скорость КА останется прежней по модулю, но изменится направление. Так как скорости нерелятивистские, задачуможно решать в любой системе отсчета, например в системе отсчета планеты. В данном случае это классическое рассеяние на притягивающемцентре и можно сразу связать угол рассеяния с прицельным параметром:135mv2ctg2.Из геометрии (рис. 6.34) легко находится модуль вектора измененияскорости v  2v sin( /2).

Используя тригонометрическое соотношениеsin 21 1  ctg 2  , получаем v 2 21m 2v 4  2.2VmaxVr2vRVq DVРис. 6.34Найдем максимум изменения скорости при переменных  и v , приэтом КА не должен удариться о планету, т. е. минимальное расстояние доцентра планеты не менее ее радиуса. Очевидно (  стоит в делителе, т. е.ищем минимальный допустимый  ), что оптимальный вариант – пролетвблизи планеты, из сохранения момента импульса получаем v  Rv max .

Иззакона сохранения энергии v max  v 2  v 2 2 , где v 2  2GM / R  втораякосмическая скорость для планеты. Подставив эти выражения в формулудля v , получим (  GMm) :v 2vm v R (v  v 2 )1 2v 22 42222v4v (v 2  v 2 2 )1v222.Экстремум этой функции находим дифференцированием, он достигается при v  v 2 / 2 и составляет v  v 2 / 2 , т. е.

первую космическую скорость для планеты, вблизи которой проводится гравитационный маневр.Ответ. Максимальная добавка v  GM /R .1366.35. Пучок быстрых отрицательных ионов проходит через перезарядную мишень с интегральной плотностью молекул  n dx  N молекул/см2.Сечение перезарядки отрицательных ионов в атомы  0  см2/мол, сечениеперезарядки атомов в протоны  0  см2/мол. Какая доля пучка отрицательных ионов выйдет из мишени в виде отрицательных ионов, атомов и протонов? При какой толщине мишени выход атомов максимален?Ответ.

Выход атомов максимален при толщине мишениNln  0  /  0   0   0.6.36. Найти полное сечение упругого рассеяния для шариков радиуса aмассой m на таких же покоящихся шариках, если сила притяжения междуrшариками имеет вид F   4 .r4.Ответ.   4 a 2 mv 2137ЧАСТЬ 7ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ЖИДКОСТИРавновесие тел (теория)Тело находится в равновесии, если сумма всех сил и моментов сил,приложенных к нему, равна нулю.Fвнеш  0 , M внеш  0 .Данные условия равновесия образуют систему уравнений, в которуювходят все силы и моменты сил (известные и неизвестные), действующиена тело. Решая эту систему уравнений, находим силы.

Характеристики

Список файлов книги