1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Суммарная силаравна нулю, поэтому при решении статических задач момент сил можносчитать относительно любой оси. Статические задачи могут иметь множество решений, т. е. они переопределены.В результате решения статической задачи мы находим множество положений равновесия, которые могут быть устойчивыми или неустойчивыми. Положение равновесия устойчиво, если при сдвиге в любом направлении возникает возвращающая сила, направленная против сдвига. Наличиетакой силы эквивалентно тому, что при смещении из положения равновесия возрастает потенциальная энергия. При неустойчивом положении возникающие силы не препятствуют смещению или помогают ему.

При этомпотенциальная энергия не возрастает, а кинетическая может остатьсяпрежней или увеличиться.Для решения задач иногда применяют принцип виртуальной работы:смещают часть тела относительно первоначального положения, при этомзатраченная на смещение работа сил реакции должна быть равна изменению потенциальной энергии в системе, т. е.

полная работа всех сил на виртуальном перемещении равна нулю:  Ai  Fi si  0.iiРавновесие тел (задачи)7.1. Цепочка массой m подвешена за концы так, что вблизи точек подвеса она образует с горизонталью угол  . Определить силу натяженияцепочки в нижней точке и в точках подвеса.138Ответ. Натяжение в нижней точке T Tmgctg , в точках подвеса2mg.2sin 7.2. Найти натяжение кольцевой цепочки, надетой на гладкий конус суглом при вершине  .Решение.Представим, что цепочка переместилась вниз из положения равновесияна малую величину h . Ее радиус увеличится на R  h  tg  2  , а работа силы натяжения2  R  T  mg h .Ответ. T цепочкиравнаработесилытяжестиmgctg .227.3. Найти натяжение кольцевой цепочки радиусом r и весом P , надетой на гладкую сферу радиусом R .Ответ.

T Pr2 R 2  r 2.7.4. Чем ограничивается масса груза, который можно безопасно перевозить в лодке? Груз располагается симметрично относительно бортов лодки.Ответ. 1) Максимальная сила Архимеда для лодки должна быть достаточна для поднятия груза. 2) Лодка с грузом находится в положении равновесия, оно должно быть устойчивым.7.5.

Нижний конец тонкой деревянной палочки длиной L шарнирнозакреплен на дне бассейна. Глубина воды h  L . Найти положения равновесия стержня и исследовать их устойчивость.Ответ. Если L  h  L  в (   плотность палочки,  в  плотностьводы), то существует только вертикальное положение равновесия и оноустойчиво. При h  L   в существуют три положения равновесия. Вертикальное положение не устойчиво, а устойчивы положения равновесия суглом наклона  к вертикали:sin   hLв.1397.6.

Тонкая деревянная палочка длиной L шарнирно подвешена заодин конец над поверхностью воды на высоте h  L . Плотность палочки , плотность воды  в .Решение.Пусть палочка находится в равновесии и образует угол  с вертикалью. Над водой находится часть палочки длиной l  h cos  . Момент силытяжести относительно точки подвеса M 1   l 2 gs sin  2 , где s  площадьпоперечного сечения палочки. Под водой находится часть палочкиlв  L  h cos  .

К центру этой части палочки приложены ее сила тяжестии сила Архимеда, которые создают момент M в  lв (   в ) gs (l  lв 2) sin  .Суммарный момент сил в положении равновесия равен 0, откудаl 2 (   в )lв (l  lв 2)  0 . Подставляя выражения для l и lв , получим2уравнение относительно cos  , решение которого:cos  hL11в.Ответ. Если h  L 1   / в , то существует только вертикальное положение равновесия и оно устойчиво. При h  L 1   / в существуюттри положения равновесия:  от вертикали – устойчивые, и неустойчивое вертикальное положение равновесия.7.7.

Карандаш радиусом r удерживается горизонтально в равновесиина стержне радиусом R в поле тяжести. Оси карандаша и стержня перпендикулярны. Коэффициент трения скольжения  . При каком максимальном угле отклонения  карандаша от горизонтали он еще вернется вположение равновесия?Ответ. Если угол наклона карандаша превышает угол трения  arctg  , то карандаш соскальзывает.

Если же трение достаточно велико, то карандаш сорвется после прохода через неустойчивое положениеравновесия. Угол этого положения задается уравнением r  tg  ( R  r ) .Меньший из двух приведенных углов и есть максимальный угол, при котором карандаш еще может вернуться в положение равновесия.1407.8. Однородная пластина длиной 3L и весом 3P согнута под прямымуглом и подвешена (рис.

7.8). Найти натяжение невесомой нити. При каком угле  нить нужно заменить невесомым стержнем?Рис. 7.8Ответ. T  P4sin   cos ,   14.4 cos(    )7.9. Невесомая плоская параболическая качалка высотой H = 20 см и шириной L = 40 смустановлена вертикально на горизонтальной поверхности в поле тяжести и может качаться всвоей плоскости (рис. 7.9). По вертикальной осикачалки снизу вверх ползет маленький жук. Докакой высоты он должен доползти, чтобы равновесие качалки стало неустойчивым и она могланаклониться?Ответ. h Рис.

7.9L2 10 см.8H7.10. Найти силу, сжимающую невесомыйстержень BD в системе стержней (рис. 7.10).Длина каждого стержня равна L, вес P. Стержнисоединены шарнирами и образуют квадрат.Ответ. T = 2P.Рис. 7.107.11. Домкрат представляет собой ромб, составленный из четырех шарнирно закрепленных стержней длиной a = 25 см. Винт с шагом резьбыδ = 1 мм расположен вдоль горизонтальной диагонали, приводится вовращение рукояткой и стягивает противоположные углы ромба (рис.

7.11).Найти зависимость момента силы, который следует прикладывать к рукоятке, от высоты подъема груза весом m = 1 т, если в начальном положениистержни образовывали квадрат.141Решение.Работа по подъему груза равнаA  mg (2h  2h), где h – высота груза в некоторый момент времени, h – его высота вследующий момент времени. В то же времяработа по вращению ручки A = Mφ, где M –момент сил, φ – угол поворота ручки за этовремя, который можно связать с сокращениемдлиныцентральногостержняx  AC   AC    2  . Из теоремы Пифа-BCADРис.

7.11гора h  a  ( AC  / 2) . При малом смещении раскладываем в ряд Тейлора: h  h  x  AC 4h . Подставляя в формулудля работы, получаем2A  2mg2xAC2 xM.4hОтвет. M mg22a   1.hМеханика жидкости (теория)В статической ситуации в жидкости, налитой в сосуд, создается давлениеP  Pвн   gh ,где Pвн  внешнее (атмосферное) давление,   плотность жидкости, h высота столба жидкости от поверхности. За счет этого давления на тело,погруженное в жидкость, действует сила Архимеда, равная весу вытесненной жидкости. Если вместо тела произвольной формы в сосуде мысленновыделить такой же по форме объем жидкости, то эта жидкость будет находиться в равновесии. Следовательно, сила Архимеда приложена к центрумасс вытесненного тела и направлена вверх.FA    жVg .Следует заметить, что если мы закроем часть поверхности погруженного тела от контакта с жидкостью (например, вдавим тело в дно или боковую стену), то закон Архимеда выполняться не будет.142Рассмотрим простой случай движения жидкости, при котором скоростьжидкости в одной точке постоянна по времени, но в разных точках пространства скорости могут различаться.

Течения жидкости в этом случаеназываются стационарными. В таких течениях можно нарисовать неподвижные линии тока, которые, в свою очередь, образуют трубки тока. Количество жидкости в трубке не меняется, поэтому для любых двух сеченийS1,2 и скоростей в них V1,2 справедливо условие непрерывности:S1V1  S 2V2 .Скорость жидкости в разных сечениях трубки тока может различаться,вместе с ней различается и кинетическая энергия порции жидкости. Этопроисходит за счет давлений, совершающих работу над жидкостью. Условие сохранения энергии для порции жидкости записывается в виде законаБернулли:v 2P  gh  const ,2где P  давление, v  скорость жидкости. Здесь учтено, что вход и выходтрубки могут находиться на разной высоте.Механика жидкости (задачи)7.12.

Правильный тетраэдр с ребром a полностью погружен в жидкость плотности  так, что его нижняя грань находится на глубине h .Определить силу, действующую на боковую грань, если атмосферное давление равно P .Ответ. F 11 ga 2 (3 3h  2a )  Pa 3 3 .1247.13. Полусферический купол радиуса R плотно прилегает к столу.Через маленькое отверстие на верху купола его заполняют жидкостьюплотности  . Когда жидкость доходит до отверстия, она приподнимаеткупол и начинает из-под него течь. Найти массу купола.Решение.Перед отрывом от поверхности купол удерживается давлением воды,которая, в свою очередь, давит на стол.

Тогда условие равновесия:mg  2 R 3  g 3   gR   R 2 , решая это уравнение, получаем выражениедля массы.Ответ. m   R 3  / 3 .1437.14. Сосуд с водой подвешен к потолку, высота воды в сосуде h . Насколько изменится сила натяжения подвеса, если в дне сосуда открытьмаленькое отверстие, из которого будет вытекать струя сечения S ? Плотность воды  .Ответ.

T  2 gh  S .7.15. Насос должен подавать ежесекундно объем воды V на высоту hпо трубе постоянного сечения S . Вычислить мощность насоса, если плотность воды  .Решение.Энергия, которую двигатель придает воде, расходуется на поднятие воды на высоту и на кинетическую энергию, которая должна быть у воды,чтобы она вытекала из трубы с нужной скоростью.

Мощность, расходуемая на работу против силы тяжести, U  Vgh . Мощность, необходимаядля ускорения воды, K  m v 2 2  V (V /S ) 2 2 . Складывая эти величины,вполучим минимальную необходимую мощность насоса.V2 Ответ. N  V  gh  2  .2S Вращение с сохранением ориентации оси. Момент инерции (теория)Для твердого тела изменение момента импульсаL  r  p связано с момент приложенных силM  r  F следующим соотношением:MdL.dtДля вращающегося с частотой  вокруг некоторой оси тела:L  I,где I – момент инерции тела относительно этой оси.144I   mi ri 2 ,iгде ri – расстояние от оси вращения части тела mi .

Для сплошных тел момент инерции находится интегралом по всему объему телаI   r 2  dV ,где r – расстояние от элемента тела до оси вращения,  – плотность тела.Например, в декартовой системе координат при вращении вокруг оси z:I z   ( x 2  y 2 ) ( x, y, z ) dx dx dz,в цилиндрической системе координат:2I z   r  (r ,  , z ) rdr d dz.Теорема Гюйгенса – Штейнера позволяет находить момент инерцииотносительно оси, проходящей на расстоянии а от центра масс:I  Ma 2  I 0 ,где I 0 – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс,М – масса тела.

Координаты центра масс находятся по формулам:R ЦМ m rmi iiiiлибо xЦМ  x  dV  dV.Вращение с сохранением ориентации оси. Момент инерции (задачи)7.16. Крест состоит из однородных стержней массой m и длиной L,скрепленных посередине под углом  . Найдите его момент инерции относительно конца одного из стержней. Ось вращения перпендикулярна плоскости креста.Ответ. I 2mL2.37.17. Найти момент инерции конуса массой M высотой Н и углом привершине  .

Характеристики

Список файлов книги