1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Ось вращения совпадает с осью симметрии конуса.145Решение.Используем цилиндрическую систему координат с центром в вершинеконуса:2HI z    r 3 dr d dz    d  dz00z  tg 2r 3 dr.0Плотность  найдем из интегралаM    dV    r dr d dz ,где пределы интегрирования, как в предыдущем интеграле.41 5 4 I z  2   z  tg  dz H tg .21020 4HОтвет. I z 3MH 2 tg 2 .1027.18. Найти момент инерции полуцилиндра массой m, радиуса a, длиной l (относительно оси, проходящей через центр масс вдоль длины l).Ответ.

I ma 2 32 1 .2  9 2 7.19. Найти моменты инерции однородноготора массой М, радиус окружности в вертикальном сечении тора r, радиус образующейокружности R (рис. 7.19).Ответ.1 5 3 I x, y  M  R2  r 2  ; I z  M  R2  r 2  .2 4 4 rRРис.

7.197.20. Сплошной цилиндр радиусом R, вращающийся с угловой скоростью  , ставят вертикально на шероховатую горизонтальную плоскость.Коэффициент трения  . Сколько оборотов сделает цилиндр?Ответ. N 3 2R.16  g1467.21. Два одинаковых диска, насаженных на гладкие оси, один из которых вращался с угловой скоростью  , привели в соприкосновение (рис. 7.21).Найти установившуюся скорость вращения дисков.Какая часть энергии перейдет в тепло?Ответ.  02,QT0.2Рис. 7.217.22. Цилиндрическая банка с жидкостью раскручена вокруг оси симметрии так, что жидкость не успела закрутиться. Как изменится угловаяскорость вращения к моменту, когда угловые скорости банки и жидкостиуравняются? Сколько энергии перейдет в тепло? Моменты инерции жидкости и пустой банки равны.Ответ.  02,QT0.27.23. Диск радиуса R, вращающийся с угловой скоростью 0 , привели в соприкосновениес тонкостенным полым цилиндром радиуса 2R свнутренней стороны (рис.

7.23). С внешней стороны цилиндр соприкасается с таким же, ноизначально неподвижным диском. Диски и цилиндр насажены на гладкие оси. Найти установившиеся скорости вращения дисков и цилиндра. Массы цилиндра и дисков равны.Решение.R0Рис. 7.23Моменты инерции I Д  mR 2 2; I Ц  m(2 R) 2  4mR 2 . В точке соприкосновения диска и цилиндра возникает сила трения, которая создает моментсилдлядискаM Д  Fтр R  I Д d Д dtицилиндраM Ц   Fтр 2 R  I Ц d Ц dt .

Отсюда мы получаемI Д d ДR dtI Ц d Ц2 R dt,что дает I ДД R  I ЦЦ 2 R  const. Вторая сила трения (и моменты сил)по аналогии возникает между цилиндром и изначально покоившимся диском, что добавляет в предыдущее уравнение третий член, а константа находится из начальных условий:147I Д ДRI Ц Ц2RI Д ДRI Д0R.В конечном состоянии частоты вращения дисков совпадают (но разныепо направлению), а у цилиндра 2Ц  Д .Ответ. Д 04; Ц 08.Физический маятник (теория)Физический маятник – это задача о колебаниях объектов в поле силытяжести.

Из второго закона Ньютонаmx  Fвозвращ  kxполучается каноническое уравнение колебанийx   2 x  0,где   k m  частота колебаний. Для физического маятника аналогичное уравнение колебаний получают для моментов сил и угла отклонения маятника от вертикальной оси:M  r  F  dLd .I IdtdtВ точке подвеса (см. рисунок)M  r  F    Mga sin  e  ,где а – расстояние до центра масс маятника, M –масса маятника, e   единичный вектор перпендикулярный плоскости рисунка.

Для малых углов sin    , откудаполучаемMga     2IMga.и, следовательно, частоту колебаний маятника  2 IТакже момент сил можно связать с изменением потенциальной энергииU при повороте маятника на малый угол  :148 U   f   r   f     r    r  f     MMилиdU.dФизический маятник (задачи)7.24.

Симметричный крест, состоящий из двух взаимно перпендикулярных тонких однородных стержней длиной L, может колебаться в полетяжести вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из стержней иперпендикулярной ему. При каком удалении X оси вращения от центракреста период его малых колебаний будет минимален? Найдите минимальное значение периода колебаний креста.Ответ. X L12, Tmin  2Lg 3.7.25.

Найти частоту малых колебаний тонкостенной сферы вокруг своей хорды в поле тяжести. Каким будет период малых колебаний для шара?Решение.Пусть расстояние от точки подвеса до центра сферы х. Момент силM  mgx sin   mgx  I d 2 dt 2 , где   малый угол отклонения хордыот вертикали. Следовательно, частота колебаний  2  mgx I . Моментинерции относительно точки подвеса находится по теореме Гюйгенса –Штейнера:I  I ЦМ  mx 2 Ответ.  2 2mr  mx 2 , где r – радиус сферы.3gx.2 22r x3M7.26.

Однородное бревно висит на четырех цепях (рис. 7.26). ТреугольникиACD и BMN равносторонние с длинойстороны L. Масса бревна равна M. Найтичастоту малых горизонтальных колебанийбревна.CDNBAgРис. 7.26149Решение.Натяжение цепей Т находим из условия Mg = 4T·cos30°. При смещениибревна из равновесия на расстояние х угол наклона цепей к вертикали составит sin   2 x 3L , что вызовет возвращающую силу:F  2  (2T cos 30 ) sin   Mg sin   Mg 2 x3L .Отсюда уравнение движения бревна: Mx   Mg 2 xОтвет.

 2g3L ..3L7.27. Номерок из гардероба представляет собой диск радиусом R, накраю которого имеется отверстие радиусом r. Номерок висит на тонкомгвозде. Найти частоту его малых колебаний в своей плоскости.Ответ.  2 g R3  r 3.3 R4  r 47.28. Однородный круговой обруч массой М радиуса а подвешен в одной из своих точек. Обруч совершает свободные колебания в своей плоскости. Максимальный угол отклонения диаметра обруча от вертикали (  90 ). Найти наименьшее и наибольшее значения величины реакцииточки подвеса.Ответ. Tmax  Mg 4  cos 2   4 cos  , Tmin Mg1  3cos 2  .2Плоское движение тел (теория)В любой момент времени скорость любой точки твердого тела можетбыть выражена через сумму скорости движения произвольной точки и угловую скорость вращения тела относительно некоторой оси, проходящейчерез эту точку:v  V    r .При этом вектор угловой скорости  не зависит от выбора точки тела.Вращающееся с частотой  тело имеет кинетическую энергию вращения150EI 2.2А кинетическую энергию движущегося и вращающегося твердого теламожно представить как сумму поступательного движения центра масс ивращения тела вокруг центра масс с частотой  :EMVц.м.22I 0 2.2Плоское движение тел (задачи)7.29.

Каким участком сабли следует рубить лозу, чтобы рука не чувствовала удара? Саблю считать однородным стержнем длиной L.Ответ. На расстоянии2L от рукоятки.37.30. Однородный диск радиусом R, вращавшийся с угловой скоростью0 , разбился по диаметру на две равные части. Найти скорости поступательного и вращательного движения осколков.Ответ. Vx   R,   0 .7.31. Определить ускорение скатывания шара с наклонной плоскости суглом наклона к горизонту  .Ответ.

a 5g sin  .77.32. По льду скользят две шайбы, имевшие одинаковые начальныескорости. Одна из них при этом вращается, а другая движется только поступательно. Какая из шайб пройдет большее расстояние? Коэффициенттрения не зависит от скорости.Ответ. Вращающаяся шайба пройдет больший путь.7.33. Тонкая цепь длины L намотана на сплошной цилиндр, который способен вращаться вокругзакрепленной оси. Найти время разматывания цепипод действием силы тяжести, если в начальный момент с цилиндра свисал конец длиной L/4. Массыцепи и цилиндра равны, длина цепи много большедиаметра цилиндра.RРис.

7.33151L/4Решение.Обозначим длину свешивающейся части цепи за x(t ) . При разматывании цепи через малое время dt изменение кинетической энергии будет разницей между M v 2 (t  dt ) 2  I  2 (t  dt ) 2 и этим же выражением в момент времени t. Потенциальная энергия изменится за счет появления массы Δm снизу цепи и ее исчезновением сверху (на цилиндре):E  m  g  x(t )  x  gx(t ) M L . Приравнивая изменения потенциальнойи кинетической энергии, с учетом I  MR 2 2 и   v R получаемg3x(t )x  (v 2 (t )) .4LИнтегрирование с учетом начальных условий ( x  0   L 4 , v  0   0)дает уравнениеg L2  322 x(t )    v (t ) .2L 16  4Откуда v (t ) x2 L2 16  2 g 3L . При этом v (t )  dx dt .

Разделяя пе-ременные, получаемLL 4Tdxx 2  L2 162gdt ,3L 0где T – искомое время разматывания цепи.3Lln(4  15) .2gОтвет. T 7.34. Два гладких цилиндра радиуса R прислонены к стенке (рис. 7.34). Из-за того, чтонижний цилиндр чуть стронулся вправо погоризонтальной плоскости, верхний стал опускаться по вертикали и система пришла в движение. Найдите конечную скорость нижнегоцилиндра.Ответ. v 43gR.3Рис. 7.341527.35. Однородный цилиндр раскрутили вокруг оси и поставили без поступательной скорости на шероховатуюгоризонтальную плоскость. Ось вращения параллельна плоскости.

С какойустановившейся скоростью покатитсяцилиндр? Какая доля энергии цилиндраперейдет в тепло?Рис. 7.35Решение.В нижней точке цилиндра возникнет сила трения F, которая будет замедлять вращение моментом сил FR   I d  dt и одновременно разгонятьцилиндр вправо: F  m d v dt . Подставляя второе уравнение в первое сучетом I  mR 2 2, получаем d v   R 2 d  . Интегрирование по временис учетом начальных условий дает v (t )  R 2 (0   (t )). Трение исчезнетпри условии v   R, откуда   0 3 .Ответ.

Характеристики

Список файлов книги