1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

При этом мощность, закачиваемая в резонатор, максимальна.Общее решение уравнения затухающих колебаний под действиемвнешней силы может быть записано в видеx(t ) F0 cos( t   )m (02   2 ) 2  4 2 2 A cos(0 t   ) .Это действительное решение, и в нем A и   действительные константы, определяемые из начальных условий.Интересный случай возникает в отсутствии затухания   0 :x(t ) F0 cos  tm (02   2 ) 2 A cos(0 t   ) .Пусть x(0)  0 и x (0)  0 , тогда   0 иx(t ) F02 F0      0   (cos  t  cos  0 t ) sin 0t  sin t .m( 02   2 )m( 02   2 )  2  2Здесь содержатся колебания на суммарной и разностной частоте, которыеобразуют биения – колебания с меняющейся амплитудой.Параметрический резонансВоздействие на осциллятор может осуществляться путем изменения вовремени его параметров.

При некоторых частотах изменения параметровможет возникать параметрический резонанс. Рассмотрим параметрическийрезонанс на примере раскачки качели (маятника).Для раскачки качели мы в нижней точке встаем, т. е. расстояние от осидо центра масс уменьшается на  l , при общей длине качели l . Моментимпульса сохраняется, поэтому увеличивается скорость:v  v vl l  v 1   .l ll В верхней точке мы приседаем, это не влияет на движение качели, так какона в этот момент покоится. Найдем изменение энергии:112Ellmv 2,  E  mv v  mv 2 2E .ll2Это приращение энергии за одно вставание, а за период колебаний мы совершаем два вставания, тогда число вставаний за время dt будетdN  2dt T , поэтому ldE 4 l dt4 0dt ,El T2 l 2  l E  E0 exp  0 t  .  l Если есть затухание E  E0 e2 t , то для роста амплитуды нужно20  l 2 . lВынужденные колебания (задачи)5.24.

Рессоры железнодорожного вагона прогибаются под его тяжестьюна 4 см, расстояние между стыками железнодорожного полотна 25 м. Прикакой скорости поезда амплитуда вертикальных колебаний вагона будетмаксимальной.Ответ.  62,3м c .5.25. Груз массой m подвешен на пружине жесткости k .

Найти амплитуду его колебаний, оставшихся после действия прямоугольного импульсасилы амплитудой F и длительностью  . Сила направлена вдоль пружины. Начальная скорость груза равна нулю.Решение.Уравнение колебаний системы имеет вид F , t   0, .mx  kx   0, t  Решение уравнения:F (1  cos t ), t   0, .x(t )   k A sin(t   ), t  Вычислим координату и скорость груза в момент выключения силы:113x FF(1  cos  ) , x sin  .kkЭнергия осциллятора после выключения силы:Ekx2 mx2 F 22F 2.((1  cos  ) 2  sin 2  ) sin 2k222k2Из условия E  kA2 2 найдем амплитуду колебаний после выключениясилы.2Fsin.k25.26.

Найти энергию, приобретенную осциллятором за все время действия силы F  F0  F0 exp(t/ ) . В начальный момент t  0 энергия осцил-Ответ. A лятора была равна E0 и он проходил через положение равновесия.2F   F mk  F2 2 E0Ответ. E   0 2  0    0k   m  k 22  m  k5.27. Найти амплитуду установившихсяколебаний напряжения на конденсаторе и токав последовательном RLC -контуре, если наего вход подается переменное напряженииU  U 0 sin t .Решение.2 .RLCU sin tРис.

5.27Запишемпадениенапряженияприобходеконтура:LI  RI  U c  U 0 sin t . Учитывая, что I  Q  CU , уравнение колебаний:URUU  U  0 sin t .LLC LCАмплитуда установившихся колебаний в этом случае записывается также, как и для уравнения колебаний в канонической форме.Ответ. au U0(1  LC  2 ) 2  R 2 C 2  2.1145.28. Груз массой m подвешен в поле тяжести на пружине жесткостиk .

Точка подвеса пружины движется по вертикали по закону y  A cos t .Найти амплитуду установившихся малых колебаний груза.Ответ. B  Ak /mk /m   2.5.29. По какому закону нужно менять длину математического маятника, чтобы параметрическая раскачка колебаний была наиболее эффективной? Изобразить движение на фазовой плоскости.Ответ. Надо уменьшать длину в точке равновесия и увеличивать длинув точках остановки.115Адиабатический инвариант (теория)Адиабатический инвариант – это физическая величина, которая не изменяется при медленном («адиабатическом») изменении параметров физической системы.

Адиабатичность изменения параметра означает, что характерное время этого изменения много больше характерного временипериодических процессов, происходящих в самой системе.Изучим метод поиска адиабатического инварианта на примере гармонического осциллятора.

Изменяться могут два параметра: жесткость пружины и масса груза. Метод поиска адиабатического инварианта одинаков,независимо от того, будем ли мы изменять оба параметра или какой-тоодин. Сейчас важен сам метод, поэтому возьмем наиболее простой случай– пусть изменяется только жесткость пружины. Случай с изменениемтолько массы имеет дополнительное усложнение, так как при его рассмотрении придется разбираться, уносится ли импульс.При неизменной жесткости k гармонический осциллятор совершаетколебания с периодом T , тогда медленным изменением жесткости считается такое, чтоTdkk.dtПродифференцируем энергию осциллятора E  mx 2 2  kx 2 2 : 2 2 2kxkxkx ) .E  kxx  mxx x (kxmx2220При меняющейся жесткости k энергия не сохраняется, но скорость ее изменения мала и пропорциональна k .

Производная энергии зависит как отмедленно меняющейся переменной k , так и от быстро меняющейся x .Для выделения систематического хода изменения энергии нужно усреднить это выражение по периоду колебаний. При усреднении медленно меняющиеся величины можно считать константами, так как они мало изменяются за период колебаний.a 2 k E.E  k4 k 2ОтсюдаdE 1 dk1E ln E  ln k  const  const .E 2 k2k116Так как масса m постоянна, полученное выражение эквивалентноE0 const ,где 0  k m .

Мы нашли комбинацию, которая сохраняется – адиабатический инвариант. Аналогичным способом адиабатический инвариантможно найти для других периодических процессов.Адиабатический инвариант (задачи)5.30. Упругий шарик подпрыгивает в поле тяжести над горизонтальнойплитой.

Поле тяжести медленно изменяется. Как меняется высота подпрыгивания шарика над плитой?Решение.Запишем энергию шарика E  mx 2 2  mgx . Тогда ее производная  mgx  mgx  mgx .E  mxxx   g . Для выделения медленноВ последнем равенстве учтено, что меняющейся части усредним производную от энергии по периоду полеташарика:Vo g  mgE  mgx0(V0 t gt 2)dt2V0 / g2 g mV02 2 gE.3g 23gОтсюда E  g 2/3 .

Учитывая, что E  mgH , запишем ответ.Ответ. H  g 1/3 .5.31. Масса осциллятора медленно возрастает. Как при этом изменяются амплитуда и период его колебаний? Рассмотреть случаи осцилляторов:1) груз на пружине; 2) груз на веревке в поле тяжести.Ответ. Считаем, что новая масса появляется с v  0 , т. е. налипает изнеподвижного тумана. Тогда адиабатический инвариант в обоих случаяхравен E  .

1) T  m1/ 2 , A  m 1/ 4 ; 2) период не меняется, A  m 1/ 2 .1175.32. Масса осциллятора медленно уменьшается из-за таяния груза. Какпри этом изменяются амплитуда и период его колебаний? Рассмотреть случаи осцилляторов: 1) груз на пружине; 2) груз на веревке в поле тяжести.Ответ. Считаем, что масса исчезает с v  x , т. е. таяние происходитизотропно во всех направлениях. Тогда адиабатический инвариант дляобоих случаев равен E km . 1) T  m1/ 2 , A  m1/ 4 ; 2) период и амплитудане меняются.5.33. Звезда теряет за счет излучения 109 часть своей массы в год.

Закакое время радиус орбиты планеты, вращающейся вокруг звезды, изменится вдвое? Влиянием излучения на планету пренебречь.Ответ. T  10 9 ln 2 лет.5.34. Частица движется со скоростью V вдоль стороны прямоугольного ящика длинной L , упруго отражаясь от стенок. Ящик медленно поднимают за один конец, поворачивая вокруг ребра перпендикулярного L . Прикаком угле наклона дня ящика  частица не будет достигать его верхнейстенки?Решение.Пусть координата x отсчитывается от нижнего краяящика.

При горизонтальном положении ящика фазоваятраектория представляет собой прямоугольник, площадьвнутри которого  v dx 2 LV . В адиабатическом процессе эта площадь не меняется, что будет доказано в курсеаналитической механики. Когда ящик наклонится на угол , скорость частицы в верхней точке будет равна нулю.При наклоне на больший угол частица уже не будет доставать до верхней стенки.

При таком наклоне скоростьчастицы в нижней точке Vmax  2 gL sin  . Вычислимплощадь ограниченную фазовой траекторией:LS  2  2 xg sin  dx 0Ответ.   arcsinvx0L xРис. 5.3432 L3 g sin 32 L3 g sin , отсюда 2 LV .329V 2.8 gL118ЧАСТЬ 6ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕПотенциал поля (теория)Если тело двигается в потенциальном поле U(r), где r – расстояние отцентра, то это называют движением в центральном поле. Сила, действующая на частицу, зависит только от расстояния до центра и направлена отцентра или к центру:FU (r )U r .rr rВ центральном поле сохраняется полная энергия, а движение происходит в одной плоскости.Потенциал поля (задачи)6.1.

Характеристики

Список файлов книги