1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

v 0 R3; Q2E0 .37.36. Сплошной цилиндр радиуса R раскрутили вокруг оси до угловойскорости 0 и затем поместили в угол между стеной и полом. Коэффициент трения  . Сколько времени цилиндр будет вращаться?gРешение.В нижней точке цилиндра возникнет силатрения F1 и сила реакции опоры N, причемF1   N . В месте касания стены возникнетсила трения F2   F1 . Так как F2  N  mg ,получаем F1  F2  mg  (   1)    1 . СилыR2трениясоздают( F1  F2 ) R   I d  dt ,моментсилоткуда с учетомI  mR 2 2 частота вращения:2( F1  F2 )t.mRВремя остановки Т находится из условия  (T )  0. (t )  0 153Рис.

7.36Ответ. T  2 1R0 .2 (   1) g7.37. Стержень лежит на двухопорах вблизи концов. Массастержня M. Одну из опор (левую)убирают, найти давление на оставшуюся опору в первый момент.N-?OAРис. 7.37Решение.Когда левую опору убрали, в центре масс стержня (т. О) возникает момент сил M O  N L 2  I O d  dt . В то же время в точке А момент сил возникает только из-за сил тяготения в центре масс: M A  Mg L 2  I A d  dt .Так как  не зависит от выбора точки, получаем Mg I A  N I O . Моментинерции стержня относительно центра I O  ML2 12, относительно краяI A  ML2 3.Ответ. N Mg.4Гироскоп и волчок (теория)Быстро вращающееся вокруг некоторой оси тело при приложении моментов внешних сил будет циклически менять направление оси вращенияв пространстве  прецессировать.Частота прецессии  вращающегося с частотой  и стоящего на столе под углом к вертикали  волчка находится из уравнения для моментовсил:dLM  r  F  .dtТак как момент сил имеет направление вдоль вектора e , то момент импульса (направленный по e r ) будет сохраняться по модулю L  I .

ТогдаdL  L sin  d e  M e dt ,откудаdMM.dt L sin  I  sin В общем случае:154M  I    .Для волчка момент сил:M  r  F   mgaЦМ sin  e ,следовательно  где aЦМmgaЦМ,I расстояние от точки опоры волчка до его центра масс.В общем случае движение вращающегося тела описывается уравнениями Эйлера:d x  I z  I y   yz ,M x  Ixdtd y  I x  I z   x z ,M y  IydtdzM z  Iz  I y  I x   x y .dt155Гироскоп и волчок (задачи)7.38. В укрепленную на вертикальной оси тонкуюсферическую оболочку массой M, радиусом R вложеншар массой M и радиусом R. Шар раскручен до угловойскорости  под углом  к вертикали (рис. 7.38). Найти установившуюся угловую скорость вращения оболочки и шара, если между ними действует сила трения.Рис. 7.38Ответ.

уст3  cos  .87.39. Волчок, имеющий форму диска диаметром30 см, насаженного посредине оси длиной 20 см, вращается с угловой скоростью 15 оборотов/с вокруг осисимметрии (рис. 7.39). Определить угловую скоростьрегулярной прецессии волчка.Решение.Рис. 7.39Частота прецессии   mgaЦМ I  ,момент инер-ции диска I  mR 2, расстояние до центра масс aЦМ  L 2  10 см.2Ответ.  gL 0,9 рад/с. R27.40. Найти момент М гироскопических сил, действующих на вал состороны пропеллера, если самолет при скорости u = 300 км/ч делает поворот радиуса R = 100 м. Пропеллер с моментом инерции I = 7 кг м2 делаетN = 1000 оборотов в минуту.Ответ.

M 2 INu 612 Н·м2.R156ЧАСТЬ 8НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА. ЭЛЕМЕНТЫ ОТОСреди всех возможных систем отсчета инерциальные системы отсчетавыделяются с помощью законов динамики. Инерциальные системы – этотакие системы, в которых справедливы все три классических закона Ньютона.

Третий закон Ньютона явно подчеркивает, что силы – это результатвзаимодействия тел. В неинерциальных системах отсчета сохранить всетри закона уже невозможно. Если сохранить второй закон, то приходитсявводить силы, не удовлетворяющие третьему закону, – силы инерции.Второй закон Ньютона записывается в неинерциальных системах отсчета как ma  F  Fин . Первая составляющая F есть «настоящая сила» втом смысле, что она является результатом взаимодействия тел. Вторая составляющая – сила инерции Fин возникает не из-за взаимодействия тел, аиз-за ускоренного движения системы отсчета. Это фиктивная сила, исчезающая в инерциальных системах отсчета.Силы инерции бывают разных видов.1. Поступательная сила инерции обусловлена ускоренным поступательным движением с ускорением a0 неинерциальной системы отсчетаотносительно инерциальной и равна Fин  ma 0 .2.

Если тело неподвижно во вращающейся системе отсчета, то помимореальных сил на него действует направленная от оси вращения центробежная сила инерции Fцб  m 2 r .3. Если же тело движется со скоростью V относительно вращающейсясистемы отсчета, то на него действует сила Кориолиса Fк  2m  V   .Необходимо отметить, что любую задачу можно решать как в инерциальной, так и в неинерциальной системах отсчета. Выбор той или инойсистемы отсчета обычно диктуется или постановкой вопроса, или стремлением получить решение возможно более простым путем.

При этом частонаиболее удобно пользоваться именно неинерциальными системами отсчета.Принцип эквивалентности. Тот факт, что силы инерции, как и силы тяготения, пропорциональны массам тел, приводит к важному заключению.Никакие опыты по свободному падению тел в полностью закрытой от157внешнего мира лаборатории не могут отличить однородное поле тяготенияот однородного поля сил инерции.Эйнштейн высказал предположение, что вообще никакими физическими опытами невозможно отличить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции. Это предположение, возведенное в постулат, исоставляет содержание принципа эквивалентности сил тяготения и силинерции: все физические явления в однородном поле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем однородном поле силинерции.Глубокая аналогия между силами инерции и силами тяготения послужила отправным пунктом при построении Эйнштейном общей теории относительности (ОТО).Исходя из принципа эквивалентности, Эйнштейн предсказал явлениегравитационного смещения спектральных линий.

Пусть монохроматический свет приходит от удаленного источника, причем в пространстве, через которое он распространяется, гравитационного поля нет. Если наблюдатель начнет двигаться навстречу световым лучам с постоянным ускорением a, то частота воспринимаемого света увеличится (эффект Доплера).Допустим теперь, что наблюдатель в инерциальной системе отсчета неподвижен, но в ней имеется однородное гравитационное поле с напряженностью g  a. По принципу эквивалентности гравитационное поле вызовет в точности такое же изменение частоты света, что и в предыдущемслучае. При распространении света по направлению гравитационногополя частота световой волны будет возрастать, а при распространениив противоположном направлении – убывать.

Результат можно обобщитьна случай постоянного неоднородного гравитационного поля. В слабомгравитационном поле значение смещения определяется формулой2  1 1   2, где 1 и 2 – частота света в точках 1 и 2 соответствен1c2но, 1 и 2 – гравитационный потенциал в этих точках.Неинерциальные системы отсчета. Элементы ОТО (задачи)8.1. Каков будет период малых колебаний математического маятника влифте, опускающемся с постоянным ускорением a?158l. При a  g период стаg aновится бесконечным, т. е. маятник качаться не будет. При a  g маятникперевернется и будет колебаться около своего наивысшего положения сl.периодом T  2agОтвет. При a  g период равен T  28.2.

Каков будет период малых колебаний T математического маятникадлины l, подвешенного в вагоне, свободно скатывающемся по наклонномупути с углом наклона α?Решение.Ускорение вагона равно a  g sin  . В системе вагона эффективное усg  g  a ,откукорениесвободногопаденияравняетсяда g   g 2  2 ga cos  2     a 2  g cos  . Следовательно, период колебаний маятника равенT  2l.g cos 8.3. Какую форму принимает поверхность жидкости в цилиндрическомсосуде при его вращении вокруг своей вертикальной оси с угловой скоростью ω?Решение.Во вращающейся системе отсчета K  поверхность жидкости перпендикулярна равнодействующей приложенных к ней сил, т.

е. силы тяжестии центробежной силы. В вертикальной плоскости xz  поверхность жидкоz   z   x  ,приэтомстиописываетсязависимостьюF 2 x 2 x 2dz  tg  цб . Интегрируя, получаем z  . В лабораторной2gdxmggсистеме отсчета поверхность жидкости представляет собой параболоидвращения z 2x2g2 y2  .8.4. Муфта A может свободно скользить вдоль гладкого стержня, изогнутого в форме полукольца радиуса R. Систему привели во вращение с159постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси OO  . Найтиугол θ, соответствующий устойчивому положению муфты.Решение.Во вращающейся системе отсчета муфта будет покоиться, если сумма всех сил,действующих на нее, будет иметь нулевуюпроекцию на касательную к кольцу. Другими словами, условие равновесия естьmg sin   Fцб cos  , откуда следует, чтоωOsin   g   2 R cos    0 .

Если  2 R  g , тоимеется два положения равновесия:   0(устойчивое) и    (неустойчивое). Если  2 R  g , то положений равновесиятри:   0 (неустойчивое),    (неус g тойчивое) и   arccos  2  (устойчи R вое).θO'RAРис. 8.48.5. Вращение Земли вызывает отклонение поверхности воды в рекахот горизонтального положения. Оцените угол наклона поверхности воды вреке к горизонту на широте φ.

Река течет с севера на юг.Решение.В системе отсчета, связанной с Землей, поверхность воды в реке перпендикулярна к равнодействующей приложенных к ней сил, т. е. силы тяжести и силы Кориолиса. Сила Кориолиса направлена на запад и по модулю равна Fk  2mV  sin   mg (   2 T  7,3 105 c1 ). Следовательно,на западном берегу уровень воды выше и угол наклона равенF2V sin   1 .  tg  k mgg8.6. На 60° северной широты электровоз массой в 100 т идет с запада навосток со скоростью v  72 км/ч по железнодорожному пути, проложенному вдоль географической параллели данной местности. Найти величинуи направление вертикальной и горизонтальной компонент силы Кориолиса, действующей на электровоз.160ωРешение.ωωtРасположение нужных для решения векторов угловых скоростейи сил показано на рис.

8.6. Векторскорости поезда перпендикулярен кплоскости чертежа и направлен зачертеж. Направленная вертикальнокомпонентасилыКориолисаFR  2mv cos   150 Н . Направленная на юг горизонтальная компонентасилыКориолисаFR  2mv sin   250 Н , где φ –географическая широта места.ωRFRFкорFt60°ЭкваторРис. 8.68.7. Тело падает без начальной скорости с высоты 500 м. Принимая вовнимание вращение Земли и пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, насколько и в какую сторону отклонится тело при падении.

Географическая широта места 60°.Решение.Так как в данной задаче центробежная и кориолисова силы многоменьше силы гравитационного притяжения тела и Земли, то можно считать, что в вертикальном направлении тело движется с ускорением g, тогдаv  gt и время падения t  2h g . Сила Кориолиса отклоняет вертикально падающее тело к востоку. Ускорение Кориолиса равноak  2v cos   2 g cos   t .

Характеристики

Список файлов книги