1611143576-9faad5d48d819ffabedfac7b4e274055 (825043), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Интегрируя, найдем, что тело, падая без начальной скорости, отклонилось к востоку на x  2 g cos   t 3 6  12 см .8.8. На каком расстоянии и в каком направлении от орудия упадет снаряд, выпущенный вертикально вверх со скоростью V0  100 м/с на широте  60 , если пренебречь сопротивлением воздуха?Ответ. Снаряд отклонится на x  4V03 cos   3 g 2   50 см к западу.Результат может показаться неожиданным. При движении вверх кориолисова сила направлена на запад, а при движении вниз – на восток.

На первый взгляд кажется, что отклонение к западу должно компенсироватьсяпоследующим отклонением к востоку. На самом деле это не так. Когдатело движется вверх, его горизонтальная начальная скорость равна нулю.161В наивысшую точку тело приходит, однако, с западной составляющейскорости, которую оно приобретает под действием кориолисовой силы.Поэтому обратное падение тела начинается с начальной скоростью, направленной на запад. Следовательно, горизонтальная скорость все времянаправлена на запад и перед ударом о землю обращается в нуль.8.9.

Один из маятников Фуко был установлен в Ленинграде в Исаакиевском соборе. Длина маятника l  98 м, линейная амплитуда колебанийшара маятника (т. е. наибольшее отклонение его из положения равновесия)x0  5 м. Маятник отпускался из крайнего положения без начальноготолчка. Определить боковое отклонение шара маятника от положения равновесия в момент прохождения его через среднее положение. Географическая широта Ленинграда   60 .Решение.Рассмотрим движение маятника в системе отсчета, вращающейся относительно Земли вокруг вертикали рассматриваемого места с угловой скоростью ω в , где ω в – вертикальная составляющая угловой скорости осевого вращения Земли. В этой системе уравнение малых колебаний матемаr   2 r  0 , где  2  g l , а r – смещениетического маятника имеет вид маятника из положения равновесия.

В начальный момент маятник, вращаясь вместе с Землей, имеет боковую скорость в x0 . Поместим начало координат O в положение равновесия маятника. Ось X направим из точки O кточке ( x  x0 , y  0 ), в которой маятник находился в начальный момент.Для движения вдоль оси Y имеем y   2 y  0 . Решая это уравнение приначальных условиях yt  0  0 , y t  0  в x0 , получим y  (в x0 ) sin t .В среднем положении t   2 , и для бокового отклонения в этом положении наша формула дает y  в x0    x0  sin   1 мм .8.10. К Z-образной трубке черезподвижный подвод того же сеченияпосередине трубки подается вода соскоростью V (рис.

8.10). Вода вытекаетиз обоих концов трубки, вызывая еевращение. Найти угловую скоростьвращения трубки, если ее длина 2L.V2LРис. 8.10162Решение.В установившемся режиме трубка будет вращаться равномерно. Перейдем в систему отсчета, вращающуюся вместе с трубкой с угловой скоростью Ω. В этой системе отсчета на половину трубки со стороны воды,текущей со скоростью V 2 , действуют сила Кориолиса Fk  2  SL V 2 иреактивная сила Fр   S V 2  .

Трубка в выбранной системе отсчета по2коится, и суммарная сила равна нулю. Отсюда получаем ответ:  V.4L8.11. Рассмотрим две частицы с равными массами m, одна из которыхобладает зарядом q  0 , а другая электрически нейтральна. Частицы помещены в лифт, свободно падающий в поле Земли, причем заряженнаячастица располагается ниже нейтральной. В лифте существует электрическое поле E, направленное вертикально вверх. Получите уравнение, описывающее, как изменяется со временем разность высот между частицами,если учитывать как приливные, так и электрические эффекты. Не противоречит ли принципу эквивалентности наличие приливных сил?Решение.Благодаря полю E расположенная ниже заряженная частица будет испытывать ускорение a  qE m , направленное вертикально вверх.

Относительное ускорение, обусловленное гравитационными силами, равноGM R  z1 2GM R  z2 22GM z2  z1 R3и направлено вниз (нижняя частица падает быстрее, чем верхняя). Здесь M– масса Земли, R – расстояние от центра Земли до центра лифта, z  R –вертикальная координата частицы, если начало координат выбрать в центре лифта. Если ввести переменную   z2  z1 , то искомое уравнение будет таким:d 2 2GMq E.23mdtRТот факт, что два члена в правой части кажутся вполне сравнимыми повеличине, может поначалу вызвать некоторые опасения.

Предположим,однако, что наш эксперимент ограничен коротким промежутком времени t.Тогда к концу эксперимента гравитационные силы изменят разность высот1632GM t 20 (поскольку частицы наR3 2чинают двигаться из состояния покоя, то t  0  0 ). С другой стороны, изменение разности высот, обусловленное электрическим полем, равноqE t 2  . Таким образом, если в достаточной степени ограничить проm 2странственно-временные масштабы нашего эксперимента (t и 0 взятьдостаточно малыми), то можно будет пренебречь гравитационными эффектами.η между частицами на величину  8.12. Во вращающейся системе координат найти выражение для квадрата интервала ds 2 и для квадрата пространственного расстояния dl 2 .

Чему равно отношение длины окружности к ее радиусу?Решение.В неподвижной цилиндрической системе координат  t , r ,  , z   интервал имеет вид ds 2  c 2 dt 2  dr 2  r 2 d 2  dz 2 . Во вращающейся системецилиндрические координаты пусть будутt, r, , z  .Если ось вращениясовпадает с осями z и z  , то имеем r   r , z   z ,      t , где  –угловая скорость вращения. Тогда интервал во вращающейся системе отсчета имеет вид ds 2   c 2   2 r 2  dt 2  2r 2 d dt  dr 2  r 2 d 2  dz 2 . Такимобразом, из записи ds 2  g dx dx  следует, что метрический тензор gимеет следующие ненулевые компоненты: gtt  c 2   2 r 2 , gt  r 2 ,g rr  g zz  1 , g   r 2 .Пространственное расстояние между двумя бесконечно близкими точg 0i g 0 j  i jками определяется по формуле dl 2    gij  dx dx .

Подставляя вg 00 эту формулу компоненты метрического тензора, находим, чтоr2dl 2  dr 2 d 2  dz 2 . Это выражение для dl 2 можно получить1  2 r 2 c2и проще, рассматривая линейки, разложенные вдоль радиуса и обода вращающегося диска. При переходе от неподвижной системы координат квращающейся линейки вдоль радиуса не испытывают лоренцова сокращения, а линейки вдоль обода сокращаются в   1 1   2 r 2 c 2 раз.164Длина окружности в плоскости z  const (с центром на оси вращения)равнаr201  r c2 22d 2 r1  2 r 2 c2.Таким образом, отношение длины окружности к ее радиусу во вращающейся системе координат равно21  2 r 2 c 2 2 .8.13.

Пусть A, B, C – вершины сферического треугольника с углами A ,  B , C в них. Вектор из точки A параллельно переносится вдоль сторонтреугольника снова в вершину A. Определить угол поворота вектора.Ответ.    A   B  C   .8.14. Если на Земле наблюдается спектр, испускаемый атомами, находящимися на Солнце, то его линии окажутся смещенными по сравнению слиниями такого же спектра, испускаемого на Земле. Оцените относительную величину   этого эффекта. В сторону меньших или больших частот происходит смещение?Решение.Гравитационный потенциал на поверхности Солнца равен  G M  R  2 1011 м 2 с 2 , где M   2 1030 кг и R  7 108 м .

Наповерхности Земли   G M  R  6 107 м 2 с 2 , где M   6 1024 кг иR  6, 4 106 м.Такимобразом,численно c 2  2 106  1и c 2  7 1010  1 , т. е. гравитационное поле на поверхности Солнца итем более на поверхности Земли можно считать слабым. В слабом грави  тационном поле   0 1  2  . Тогда c         2  2 106 .c2cСмещение отрицательно, т. е.

происходит в сторону меньших частот –это явление называется гравитационным красным смещением.1658.15. На поверхности Луны из-за более слабого гравитационного полявремя течет быстрее, чем на Земле. Астронавты экспедиции «Аполлон-11»провели на Луне около суток. На сколько секунд они дополнительно постарели за это время по сравнению с жителями Земли?Ответ. Гравитационный потенциал на поверхности Луны равенM Л  G Л  3 106 м 2 с 2 , где M Л  7 1022 кг и RЛ  1, 7 106 м.RЛТак как гравитационное поле можно считать слабым, то относительная  Л     Л  разность времен равна  2  7 1010 . Если приc2c5нять τ равным 1 суткам, то   6 10 с.166БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК1.

Бельченко Ю. И. Механика частиц и тел в задачах / Ю. И. Бельченко, Е. А. Гилев, З. К. Силагадзе. М.; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. 248 с.2. Буховцев Б. Б. и др. Сборник задач по элементарной физике.М. : Наука, 1974. 416 с.3. Задачи по физике / И. И. Воробьев, П. И. Зубков, Г. А. Кутузова идр.; под.

Характеристики

Список файлов книги