1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Рассмотрим два близких события, имеющие интервалds 2 = c 2dt 2 - dx 2 - dy 2 - dz 2 .(20.9)Выше было показано, что если ds 0 , то и ds 0 . В общем случаедля ds 0 следует ожидатьds 2 = a(V )ds ¢2 ,(20.10)где коэффициент a может зависеть только от абсолютной величиныотносительной скорости. Он не может зависеть от координат и времени, так как тогда различные точки пространства и моменты временибыли бы неравноценны, что противоречит однородности пространстваи времени.
Он не может зависеть также и от направления относительной скорости, так как это противоречило бы изотропии пространства.48Рассмотрим три системы отсчета S , S1 , S2 , и пусть V1 и V2 – скоростидвижения систем S1 и S2 относительно S . Тогда имеем:ds 2 = a(V1 )ds12ds 2 = a(V2 )ds22 .(20.11)С тем же основанием можно написатьds12 = a(V12 )ds22 ,(20.12)где V12 – абсолютная величина скорости движения S1 относительно S2 .Сравнивая друг с другом эти соотношения, найдем, что должно бытьa(V2 )a(V1 )= a(V12 ).(20.13)Но V12 зависит не только от абсолютных величин векторов V1 и V2 ,но и от угла между ними. Между тем угол вообще не входит в левуючасть соотношения. Ясно поэтому, что это соотношение может бытьсправедливым лишь в том случае, если функция a(V ) сводится к постоянной величине, равной, как это следует из того же соотношения,единице.
Таким образом,ds12 = ds22 .(20.14)Из равенства бесконечно малых следует, что иs1 = s2 .(20.15)§ 21. Преобразование Лоренца как вращение в 4-мерномпространствеРанее мы вывели преобразования Лоренца, пользуясь очень наглядной и физической картиной, основанной на постоянстве скоростисвета во всех инерциальных системах отсчета. Теперь рассмотрим другой, менее прозрачный, но более короткий вывод преобразования Лоренца. Преобразование координат и времени при переходе в другуюсистему отсчета должно быть таким, чтобы сохранялась неизменнойвеличина интервала в четырехмерном пространстве.
Такими переходами из одной инерциальной системы в другую являются параллельныепереносы и вращения системы координат. Однако переносы системыкоординат не представляют интереса, так как сводятся к переносу на49чала отсчета координат и времени. Таким образом, искомое преобразование должно быть связано с поворотом осей координат.Введем обозначение T = ict , где i = -1 – мнимая единица. Тогда все 4 координаты становятся равноценными и можно пользоватьсяевклидовой геометрией.
Рассмотрим поворот осей в плоскости T, x,при этом y и z не изменяются. Из геометрических соображений нетрудно получить, что при повороте осей на угол j координаты точкипреобразуются следующим образом:T = T ¢ cos j - x ¢ sin jx = x ¢ cos j + T ¢ sin j.X¢Остаeтся определить угол j ,который зависит от скорости Vсистемы S ¢ относительно S . Дляэтого рассмотрим движение началаотсчeта системы S ¢ . При x ¢ = 0формулы (21.1) принимают видXxxT¢T¢jTx = ict ¢ sin j,t = t ¢ cos j,TРис.
21(21.1)откуда находимxVtg j == -i .ictc(21.2)(21.3)При получении последнего равенства мы учли, что x/t – это скоростьV системы S ¢ . Используя обычную тригонометрии, находимVcsin j =1 -V 2 c 2-icos j =121 -V c2.(21.4)Пусть вас не удивляет, что tg j – мнимое число, ведь это отношениедвух «катетов», один из которых мнимый. Подставляя (21.4) в (21.1),получаем снова преобразования Лоренца:x = g(x ¢ + Vt ¢)y = y¢z = z¢50æV öt = g çççt ¢ + 2 x ¢÷÷÷ .c ø÷è(21.5)§ 22.
Преобразование скоростейПусть некоторое тело движется относительно системы отсчeта S ¢со скоростью v ¢ . В свою очередь, S ¢ движется относительно S со скоростью V вдоль оси OX . В кинематике Галилея скорость тела относительно S есть просто векторная сумма переносной скорости V и относительной v ¢ , т. е.v = v¢ + V .(22.1)В релятивистской кинематике это правило сложения скоростей неверно.
Для получения правильных формул продифференцируем преобразования Лоренцаdx = g(dx ¢ + Vdt ¢), dy = dy ¢, dz = dz ¢, dt = g(dt ¢ +Vdx ¢).c2(22.2)Разделив dx , dy, dz на dt , получаемvx =vy¢ gvz¢ gv ¢ +Vdxdydz; vy =; vz =. (22.3)= x==dtvx¢Vdtvx¢Vdtvx¢V1+ 21+ 21+ 2cccЗаменяя знак у V , получаем формулы преобразования скоростей изS в S¢vx¢ =v -Vdx ¢;= xdt ¢vxV1- 2cvy¢ =vy gvz gdy ¢dz ¢; vz¢ =.
(22.4)==dt ¢vxVdt ¢vxV1- 21- 2ccЛегко убедиться, что при малых скоростях эти формулы переходятв правило Галилея для преобразования скоростей.Пример. Если ракета летит со скоростью V » c и выпускают вперед снаряд со скоростью vx¢ » c относительно ракеты, то согласно(22.3) скорость снаряда относительно неподвижного наблюдателя будет равнаv = (vx¢ + V ) (1 + vx¢ V c 2 ) » c.(22.5)51§ 23. АберрацияПусть в системе S ¢ движется тело со скоростью v ¢ под углом q ¢ коси OX ¢ .
Найдем, под каким углом к оси X это тело движется в системе S (рис. 22).S¢Sv¢Vq¢O¢OРис. 22Поскольку vx¢ = v ¢ cos q ¢ и vy¢ = v ¢ sin q ¢ , то, применяя формулыпреобразования скоростей (22.3), находимvx =V + v ¢ cos q ¢Vv ¢1 + 2 cos q ¢cvy =v ¢ sin q ¢.æö÷¢Vvg çç1 + 2 cos q ¢÷÷çècø÷(23.1)Откудаtg q =vyvx=(sin q ¢g cos q ¢ + V v ¢)tg q ¢ =,sin q(g cos q -V v).(23.2)В случае, если тело движется с предельной скоростью v ¢ = c , например свет, можно легко получить выражения для sin q и cos q , заметив, что и в системе S скорость света также равна c.
Тогдаsin q =vyc=sin q ¢æöVg çç1 + cos q ¢÷÷÷÷øçèccos q =;vxc=cos q ¢ + V cV1 + cos q ¢cЭтот случай ( v ¢ = c ) называется световой аберрацией.52. (23.3)q ¢ q и V -V :Обратный переход получается заменой q q ¢,sin q ¢ =vy¢c=sin q;æ Vö÷çg ç1 - cos q ÷÷÷øçèccos q ¢ =vx¢c=cos q -V cV1 - cos qc.(23.4)Пример. Пусть в космическом корабле произошла вспышка света.Нетрудно получить направления лучей в лабораторной системе:q=0q¢ = 0 q ¢ = p 2 sin q = 1 -V 2 c 2 = 1 g .q¢ = p q=p(23.5)Видим, что свет, испущенный в системе корабля в переднюю полусферу, соберeтся в конус sin q = 1 g вокруг направления движениякорабля. Это явление называют «эффектом фары».Явление аберрации искажает картину звeздного неба.
Рассмотрим,что увидят наблюдатели в космическом корабле. Воспользуемся формулами (23.4) и учтем, что свет от звeзд падает на корабль, т. е. нужнозаменить c на -c . Пусть в лабораторной системе луч света падает накорабль по углом q к направлению движения. Тогда в системе корабляsin qsin q ¢ =.(23.6)æö÷Vçg ç1 + cos q ÷÷÷øçècПередняя полусфера неба соберется в системе отсчeта корабля в уголsin q ¢ = 1 -V 2 c 2 = 1 g .(23.7)Более того, в иллюминатор на носу корабля будут видны звезды иззадней полусферы, которые не были видны, когда корабль покоился.В этом нет ничего удивительного: если дождь бьет вам на спину, топри движении вперед капли будет падать на вас спереди.Явление звeздной аберрации впервые наблюдал Брэдли в 1725 г.В результате орбитального движения Земли относительно Солнцаугол, под которым видны звeзды, меняется в течение года на величинуV /c » 10-4 .
Пример нерелятивистской аберрации – изменение направления падения капель дождя при движении наблюдателя.53§ 24. Эффект ДоплераПри наблюдении звeздного неба из кабины движущегося космического корабля меняется не только распределение звeзд на небе, но иизменяется их цвет и яркость. Как известно, свет характеризуется частотой, длиной волны и скоростью распространения. Пусть волна возбуждается электронами, движущимися в плоскости XY (т. е. z = 0 ).Волна будет распространяться в направлении Z . Рассмотрим толькоэлектрическую компоненту поля. Пусть вблизи поверхности z = 0E = E 0 (t ) . Тогда поле в точке с координатой zE (t, z ) = E 0 (t - z c) ,(24.1)т. е. равно полю у источника с задержкой z c . Пусть E 0 = A cos wt ,тогдаE (t, z ) = A cos(wt - kz ) ,(24.2)где k = w c .
В заданной точке пространства поле меняется с периодом(фаза, wt - kz , меняется на 2p )T = 2p/w .(24.3)При фиксированном t поле имеет «гребни» и «впадины» спространственным периодом ( k Dz = 2p )l=Сдругойсоотношениястороны,2p2p. k=klk = w c,l = cT ,откуда(24.4)следуютwl = 2p c.тривиальные(24.5)Пусть поле наблюдается в точке с радиус-вектором r , тогдаz = r ⋅ cos q и можно записатьE (t, r) = A cos(wt - kr) .(24.6)Здесь k – волновой вектор, направленный в сторону распространения волны, его модуль определен (24.4).54Переходим, наконец, к нашей задаче – преобразованию частоты иволнового вектора волны при переходе из одной инерциальной системыотсчeта в другую. Здесь может возникнуть вопрос, зачем нужно знатьпреобразование вектора k ? Во-первых, оказывается, между w и k имеется глубокая связь – они образуют 4-вектор; во-вторых, для квантовэлектромагнитного поля, фотонов, энергия и импульс равны E = w ,p = k (это будет обсуждаться в разделе релятивистская динамика).Итак, представим себе, что источник, неподвижный в системе S ¢ ,которая движется со скоростью V вдоль X , создаeт систему плоскихэлектромагнитных волн, распространяющихся из начала координат O ¢под углом q ¢ с длиной волны l ¢ = l0 и периодом T ¢ = T0 = l0/c (дляпростоты считаем, что происходят короткие вспышки через время T0 ).В лабораторной системе S фронт волны движется под углом q (рис.
23).SActBVt cos qqklXVtVисточникРис. 23Пусть первый фронт испустился при x ¢ = x = 0 . К моменту очередной вспышки он будет в точке А. Следующую волну в системе Sисточник создаст через время t = gT0 (фронт, проходящий через точкуB), это следствие того, что в лабораторной системе время течет в g размедленнее, чем по часам движущегося источника волн. За это время всистеме S источник сдвинется на расстояние Vt вдоль оси X .
На рисунке вспышки обозначены пунктирными линиями. Длина волны, т. е.расстояние между фронтами, будет равнаcT = l = AB = ct -Vt cos q = c gT0 (1 -55Vcos q) .c(24.7)Отсюда находимили1gV= (1 - cos q)T0 Tcw0 º w ¢ = gw(1 -(24.8)Vcos q) = g(w - kxV ) = g(w - kV) ,c(24.9)где kx – проекция волнового вектора на ось X. Заменой V -Vполучаем обратное преобразованиеw = gw ¢(1 +Vcos q ¢) = g(w ¢ + kx¢V ) = g(w ¢ + k ¢V) .c(24.10)Изменение частоты при движении источника называют эффектомДоплера. Формулы (24.9), (24.10) являются решением задачи в случае,когда движущийся источник испускает световую волну, перемещающуюся со скоростью c.Из (24.9) получаем, что при q = 0w0 = gw(1 -V c)w = w01 +V c1 -V c.(24.11)В направлении, перпендикулярном движению источника ( q = p 2 ),w = w0 g .(24.12)Заметим, что в первом случае (продольный эффект Доплера) изменение частоты V / c , во втором (поперечный эффект) V 2 c 2 .Эффект Доплера существует и в классике при малых скоростях источника (изменение звука сирены движущегося автомобиля).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
