1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 4
Текст из файла (страница 4)
По умолчанию предполагается, что движение тел никак не влияет на свойства пространства ивремени.Тела состоят из материальных точек, т. е. тел, размерами которыхпри рассмотрении можно пренебречь. В природе существуют твeрдыетела, в которых относительное расположение точек остаeтся приблизительно неизменным. Их этих твердых тел можно сделать линейки дляизмерения расстояния между точками, выбрав одну из них за единицумасштаба.
Между двумя точками можно провести бесконечное числолиний. Кратчайшая из них называется прямой, а еe длина – расстоянием.Точки пространства сами по себе не могут быть помечены, ониимеют смысл только по отношению к материальным телам. Для описания пространства нужно указать тело отсчeта (или некоторое количество материальных точек, расстояние между которыми не изменяется).К этим телам можно прикрепить оси координат, а затем, используя жесткий масштаб (линейку), можно определить координаты любой точки.Координаты удаленных объектов можно найти также методом триангуляции, основанном на прямолинейном распространении света.Совокупность тел, относительно которых определяется положениеточек пространства, называется системой координат, а сами эти тела –базисными.
Минимальное количество тел, равное количеству чисел,необходимых для однозначного задания положения точек в простран15стве, называется размерностью пространства. Мы живeм в трехмерном пространстве. Задание, например, расстояний до трeх опорных точек задает координату в пространстве. Можно жестко за три точки закрепить декартову систему координат, тогда положение точки будетхарактеризоваться тремя числами (x, y, z). Другие, наиболее популярные, системы отсчета – это цилиндрическая и сферическая системыкоординат.Для описания движения тел в пространстве нужно к системе опорных тел (системе координат) добавить еще часы в каждой точке пространства.
Часами может быть любой периодический процесс, слабозависящий от внешних воздействий. В классической механике предполагается, что все часы в пространстве, независимо от движения, идутодинаково, однако это не так при больших скоростях.
Система координат, снабженная часами, является системой отсчeта.Декартова ( x , y ) и полярная ( r, j ) системы координат на плоскости изображены на рис. 1 и 2.YxYAAryjXXРис. 2Рис. 1Переход от декартовых координат к полярным и обратно даетсяформуламиx = r cos jy = r sin jr = x 2 + y2yj = arctg .x16(5.1)Системы координат в пространстве, декартова ( x , y, z ), цилиндрическая ( r, j, z ) и сферическая ( r, q, j ), показаны на рис.
3, 4 и 5.ZZzzYrjxyYXXРис. 4Рис. 3Декартова система в пространстве бывает двух видов: правая и левая. В правой системе (рис. 3–5) направление оси Z находится по правилу буравчика (штопора): при вращении ручки штопора в плоскостиXY от оси X к оси Y он будет вкручиваться в направлении оси Z .Левой системе координат соответствует противоположное направление оси Z .
Обычно используется правая система координат.В сферической системе координат угол q меняется от 0 до p , уголj – от 0 до 2p . Справа от рис. 5 приведены формулы перехода сферических к декартовым координатам и обратно.x = r sin q cos jZy = r sin q sin j90ºqz = r cos qr(5.2)Yr = x 2 + y2 + z 2jq = arctgXj = arctgРис. 517x 2 + y2zy.x§ 6. ВекторыПоложение можно также задать радиус-вектором r (или жирноеr ) с началом в точке отсчета (O) и конZцом в рассматриваемой точке (A), рис.
6.Он имеет направление и длину r = | r | .ArВ каждой системе координат имеетсяоднозначнаясвязьмеждурадиYус-вектором и координатами точки. ПриOвекторном описании координат нужналишь точка отсчета.Пример. Пусть точка имела координаXту r1 относительно точки O . Затем точкаРис. 6r1r3переместилась в точку r2 относительноr2исходного положения. Новый радиус-вектор относительно точки O будетr3 = r1 + r2 . Графическое построение(сложение векторов) показано на рис. 7.Векторный характер имеет не толькоOрадиус-вектор,но и скорость, ускорение,Рис. 7сила, импульс и т.
д. Многие законыудобно записывать в векторном виде, получается более короткая запись, не нужно записывать уравнения по каждой проекции. Математически векторы могут быть представлены в виде строки с его компонентами в пространстве. Так, радиус-векторr = (x , y, z ) º i x + j y + k z ,(6.1)где i, j, k – единичные вектора в направлении осей X ,Y , Z . То же длявектора скоростиv = (vx , vy , vz ) º i vx + j vy + k vz .(6.2)Пример. Пусть скорость одного тела равна v1 , второго – v 2 . Чемуравна их относительная скорость (рис. 8)?По определению, относительная скоростьv отн = v2 - v1 = v2 + (-v1 ) .18(6.3)Видим, что операция вычитания вектора эквивалентна прибавлениюv1v2v1vотнv2v1v2Рис. 8Рис.
9vотнРис. 10вектора с противоположным направлением. Пристраивая вектор (-v1 )к концу вектора v2 (рис. 9), находим построением вектор v отн .Заметим, что относительную скорость можно найти более простымпостроением. Сведем начало векторов v1 и v2 в одну точку (рис. 10).Вектор, идущий от конца вектора v1 к концу вектора v2 , и будет вектор относительной скорости.
Действительно, исходное выражение дляотносительной скорости v отн = v2 - v1 – то же самое, что иv1 + v отн = v 2 , соответствующее рис. 10.Для векторов создана векторная алгебра: b = g a – умножение на число; c = a + b или cx = ax + bx , cy = ay + by – сложение;c = a - b или сx = ax -bx ,c = (ab) º ab = | a || b | cos jсy = ay -by – вычитание;–скалярноеумножение(c – скаляр, т. е. число, j – угол между векторами); c = [ab] º [a, b] º a ´ b–векторноеумножение,| c |=| a || b | sin j .
Направление вектора c перпендикулярноa и b и находится по правилу буравчика при повороте a кb по кратчайшему пути, поэтому a × b = -b × a .Для скалярного и векторного произведений работает распределительный закон: (a + b)c = ab + bc .Запишем скалярное и векторное произведение через компонентывекторов. Скалярное произведение двух векторов (ax , ay , az ) и (bx , by , bz )c = (ab) = (iax + jay + kaz )(ibx + jby + kbz ) = axbx + ayby + azbz , (6.4)19при этом учтено, что (ii) = ( jj) = (kk) = 1 , а (ij) = (jk) = (ik) = 0 .Убедимся, что получается формула c = (ab) =| a || b | cos j . Пустьa = (cos a, sin a), b = (cos b, sin b ) и j = b - a , тогдаab = cos a cos b + sin a sin b = cos(b - a) = cos j – все верно.Найдем теперь компоненты векторного произведения:c = a × b = (iax + jay + kaz ) × (ibx + jby + kbz ) .Учитывая, что[i j] = -[ ji ] = k,[ jk ] = -[ k j] = i,(6.5)[ k i ] = -[i k ] = j(используется правая система координат), получаемc = i(aybz - azby ) + j(azbx - axbz ) + k(axby - aybx ) .(6.6)В принципе можно придумать и другие операции векторами, но онине применяются, так как для них не работает распределительный закон.В данном курсе нам понадобятся еще произведения трех векторов:a[ bc] = [ab]c = [ca ]b ,(6.7)в результате такого произведения получается скаляр, соответствующийобъему параллелепипеда, построенного из этих векторов.Еще одно произведение трех векторов – это двойное векторноепроизведение[a [ bc]] = b(ac) - c(ab) .(6.8)Здесь в результате получается вектор.
Это выражение можно получитьпрямой проверкой.§ 7. Прямая задача кинематики, скорость и ускорениеПрямая задача кинематики заключается в нахождении скоростиv(t ) из известного r(t ) и ускорения a(t ) из v(t ) . Рассмотрим сначалаодномерную задачу.Dxпри Dt 0 в момент времениМгновенная скорость v =Dtt = t0 будет не что иное, как производная функции x (t ) , равная тангенсу угла наклона между касательной к графику и положительнымнаправлением оси t (рис.
11).20Xx (t )tt0Рис. 11Производная функции x (t ) в точке t0dx (t0 ) t 0 x (t0 + dt ) - x (t0 ).=dtdtРассмотрим простейший пример:Подставляя в (7.1), получаемx (t ) = at 2 , где(7.1)a = const .2dt 0dx (t ) a(t + dt )2 - at 2 2at dt + a(dt )== 2at + adt = 2at .=dtdtdt(7.2)Используются различные обозначения производной:dx (t )– по Лейбницу;dtx ¢(t ) – по Лагранжу;x – по Ньютону.Все это мгновенная скорость v(t ) .Ускорение, по определению,a(t ) =v(t + dt ) - v(t ) dv=º v ¢(t ) º v(t ) .dtdt(7.3)Выразив v(t ) через x (t ) , получаемa(t ) =d 2x (t )º x ¢¢(t ) = x(t ) .dt 221(7.4)Выпишем производные от элементарных функций, часто встречающихся в физических задачах (подробности в курсе математического анализа):f (x )f ¢(x )f (x )f ¢(x )const0exexnx n -1n- n +1x11xn1xnxx1/ xsin xcos x(7.5)cos x2 x1- 2x1xln x- sin xtg x1 / cos2 xctg x- 1 / sin2 x .Дифференцирование произведения и дроби функцйПусть f (x ) = u(x )v(x ) , тогдаdfu(x + dx )v(x + dx ) - u(x )v(x )==dxdx=(u(x ) + u ¢(x )dx )(v(x ) + v ¢(x )dx ) - u(x )v(x )dx=(7.6)dx 0= u ¢(x )v(x ) + u(x )v ¢(x ).Аналогично находятся производные от любых произведений и дробей,в частности,f (x )f ¢(x )u(x )v(x )u ¢(x )v(x ) + u(x )v ¢(x )u(x )v(x )g(x )u ¢(x )v(x )g(x ) + u(x )v ¢(x )g(x ) + u(x )v(x )g ¢(x ) (7.7)u(x )v(x )u ¢(x )v(x ) - u(x )v ¢(x ).v 2 (x )22Дифференцирование сложной функцииПусть есть f (u ) , где u = g(x ) .
Тогда f (x ) = sin2 x . ЗдесьНапример:df= 2u,dudfdf du=. dxdu dx (7.8) f = u 2 , где u = sin x . Находимdudf= cos x , следовательно= 2 sin x cos x = sin 2x .dxdxИспользуя эти довольно простые правила, можно найти производную от любой функции, являющейся комбинацией элементарных математических функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
