1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Если известны декартовы компоненты скорости иускорения, то по этой формуле легко найти радиус кривизны.Рассмотрим еще один способ нахождения R, используя векторноепроизведение. Поскольку нормальная составляющая ускорения равнаполному ускорению, умноженному на синус угла между ускорением искоростью, то она может быть записана в видеan =| an |=| [av ] |.|v |(9.13)Если ускорение и скорость лежат в плоскости X–Y, тоединственная составляющая векторного произведения неравная нулюнаправлена по Z.

Используя формулу (6.6) для векторногопроизведения, находим - yx | ,| [av ] |=| xy(9.14)a - yx |1| [av ] || xy.= n2 == 23R|v |(x + y 2 )3/2v(9.15)30§ 10. Прямая задача кинематики в полярной системекординатВ некоторых случаях, например при описании движении планет,удобно пользоваться не декартовой, а полярной системой координат.Введем вектор er вдоль радиус-вектора, eje errпоперекрадиус-векторавнаправленииувеличения угла. Радиус-вектор произвольнодвижущейся точки –jr = e rr .При движении меняется и длинанаправление er . Нетрудно видеть, чтоРис.

17de r = eφd j,dej = -erd j илиe r = eφj ,e j = -er j .(10.1)r,и(10.2)Отсюдаv = r = (e rr )¢ = e r r + ej r j .(10.3)Дифференцируя еще раз, используя правило дифференцирования( f1 f2 f3 )¢ = f1¢ f2 f3 + f1 f2¢f3 + f1 f2 f3¢ ,(10.4)находим ускорениеa = (e rr + ej rj ) + (-e r r j 2 + ej rj + ej r j) == e r (r - r j 2 ) + ej (2rj + r j).(10.5)Таким образом, зная r (t ) и j(t ) , мы можем найти a(t ) .Происхождение четырех слагаемых следующее: первый член – ускоренное движение по радиусу; второй член – центростремительное ускорение, которое имеет место при равномерном движении по окружности; третий член появляется при одновременном (даже равномерном)движении по радиусу и углу j . Половина этого члена связана с поворотом e r , вторая половина – с тем, что при увеличении радиуса,при постоянной j , боковая скорость должна увеличиваться; четвертый член – есть не что иное, как тангенциальное ускорениепри движении по окружности.31§ 11.

Поворот твердого тела вокруг осиПусть тело вращается вокруг оси с угловой скоростью w , так чтоугол поворота d j = w dt (рис. 18). Введем вектор угловой скорости ω ,равный по величине w и направленный вдоль оси вращения твердоготела по направлению движения буравчика. Выбранная точка теладвижется по окружности радиуса r sin q , перемещение точки| dr | = r sin qd j = r w sin q dt .(11.1)С учетом направленияdrqωOdr = [ωr ] dt .Скорость перемещения точкиrv=dr= [ω r ].dt(11.3)По абсолютной величине скорость равнаv = w r sin q = wR ,Рис. 18(11.2)(11.4)где R – расстояние точки до оси. Векторускорения точкиa = v = [ω r ] + [ω r ] .(11.5)Здесь первый член – это тангенциальное ускорение, второй член –нормальное ускорение v 2/R .§ 12. Инерциальные системы отсчeта, принцип относительностиВ качестве системы отсчeта может быть выбрана любая совокупность тел, движущаяся по произвольным законам.

Есть класс особоважных в механике систем.Тело называется свободным, если влиянием других тел на его движение можно пренебречь. Система отсчeта, связанная с набором покоящихся относительно друг друга свободных тел, называется инерциальной системой отсчeта.Обобщая экспериментальные данные, Галилей (1564–1642) сформулировал закон инерции (называется также первым законом Ньютона): свободное тело в любой инерциальной системе движется равномерно и прямолинейно.32Тела в выбранной инерциальной системе могут двигаться с разными скоростями, и с каждым из них можно связать другую инерциальную систему.

Таким образом, существует бесконечное число инерциальных систем. Галилей также впервые высказал мысль, что во всехинерциальных системах отсчeта механические явления протекаютодинаково.В дальнейшем было осознано, что вообще все законы физики винерциальных системах отсчета имеют одинаковый вид. Это общееутверждение называют принципом относительности (Галилей, Пуанкаре, Эйнштейн).Здесь может возникнуть сомнение, ведь траектория движения падающего вертикально вниз на Землю тела выглядит по-разному в неподвижной относительно Земли системе отсчeта и системе, движущейся относительно неe с постоянной скоростью.

Противоречия здесь нет:принцип относительности утверждает только то, что вид закона движения, записанный через собственные координаты систем отсчeта,имеет один и тот же вид. В данном случае закон движения одинаков вовсех системахz = -g .(12.1)§ 13. Преобразование ГалилеяПусть инерциальная система S ¢ движется поступательно со скоростью V относительно другой инерциальной системы S. Соответствующим сдвигом и поворотом осей координат (это никак не влияет напроцессы, так как пространство однородно и изотропно) можно сделать так, чтобы оси были параллельны и движение происходило вдольосей X , X ¢ (рис. 19). Примем, что в момент t = 0 начала системотсчeта совпадали.YY¢Положение материальной точки всистеме S характеризуется координатами x , y, z и временем t , а в системеVS ¢ – x ¢, y ¢, z ¢, t ¢ соответственно.

В клас-OO¢XРис. 19X¢сической механике предполагается, чтовремя имеет абсолютный характер иодинаково во всех системах отсчета. Тогда связь координат в системе S и S ¢следует из простых геометрических со33ображений, как и в случае, если бы эти системы были неподвижны относительно друг друга:x = x ¢ + Vt, y = y ¢, z = z ¢, t = t ¢ .(13.1)Или в векторной формеr = r ¢ + Vt,t = t¢ .(13.2)Эти формулы перехода от одной инерциальной системы к другойназываются преобразованиями Галилея. Используемые при выводепредположения кажутся очевидными, однако, как мы скоро увидим,это верно только при малых скоростях.Дифференцируя (13.2) по t , имеемdr dr ¢ dt ¢=+ V.dtdt ¢ dt(13.3)С учетом того, что dt = dt ¢ , получаем классический закон сложенияскоростейv = v ¢ + V,(13.4)где v = dr/dt,v¢ = dr¢/dt ¢ . Аналогично для ускорений a = dv/dt,a¢ = dv¢/dt ¢ и из (13.4) получаемa = a ¢.(13.5)Рассмотрим одно из важных следствий.

Пусть в системе S ¢ находится неподвижный предмет некоторой длины l ¢ = (r2¢ - r1¢)2 . ЕстественноопределитьдлинуэтогопредметавSсистемекак2l = (r2 - r1 ) , где r2 и r1 взяты в один и тот же момент времени t .Тогда из формул (13.2) следует, что l = l ¢ , т. е. длина предмета является инвариантом при преобразованиях Галилея. Этот предмет (линейка)может лежать вдоль движения или поперек, в обоих случаях его длинане меняется.34ГЛАВА IIIРЕЛЯТИВИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА§ 14. Максимальная скорость сигналов, постулаты ЭйнштейнаПостулат об абсолютности времени во всех системах отсчeта вклассической механике подразумевает бесконечную скорость распространения сигналов.

Однако уже давно было известно, что даже светимеет конечную скорость около 3 ⋅ 1010 см/с (Рeмер, 1676 – затменияспутников Юпитера; 1728 – звeздная абберация; Физо, 1849 – измерения в земных условиях). Ремер заметил, что моменты затмения спутников Юпитера нерегулярные и за полгода набегает задержка около20 мин. Он сообразил, что это связано с тем, что за счет вращения Земли вокруг Солнца расстояние до Юпитера меняется и эта задержка связана с конечностью скорости света.В конце 19 в. были написаны уравнения электродинамики, но возникли проблемы, связанные с распространением света в пустоте.

Пытались ввести понятие эфира. Эфир представлялся некой средой, относительно которой тела движутся с различной скоростью. Скорость света относительно эфира постоянна, так что скорость света относительнонаблюдателя зависит от скорости наблюдателя, аналогично тому, какраспространяется звук в воздухе или волны на воде. Введение эфиракак среды – это введение выделенной системы отсчета, что нарушаетпринцип относительности, заключающийся в эквивалентности всехинерциальных систем отсчета.

Гипотеза эфира не нашла подтверждения в опытах Майкельсона – Морли (1881) (схема эксперимента описана во многих учебниках).Всe это побудило пересмотреть основные представления о пространстве и времени. В результате в 1905 г. была создана специальная теорияотносительности (СТО), называемая также частной т. о., так как в нейрассматриваются только инерциальные системы отсчeта. В ее разработкуосновной вклад внес А. Эйнштейн (1879–1955), а также Х. Лоренц(1853–1928), А. Пуанкаре (1854–1912) и Г. Миньковский (1864–1909).В основу теории относительности были положены два постулата. Принцип относительности. Законы природы имеют одинаковыйвид во всех инерциальных системах отсчeта.

Никакими экспериментами нельзя установить, какая система движется, а какая покоится.35Из принципа относительности следует, что эта скорость одинакова во всех системах отсчeта.В настоящее время с высокой точностью установлено, что предельная скорость c совпадает со скоростью света в пустоте. Рассмотримпервые следствия этих постулатов. Существует предельная скорость передачи сигналов c.§ 15. Одновременность, синхронизация часов, измерениерасстоянийИз постоянства скорости c следует, что правило сложения скоростей Галилея неверно и в релятивистской теории нужно отказаться отидеи «всемирного» времени.

Посмотрим, какие изменения необходимовнести для построения релятивистской теории, чтобы не прийти в противоречие с принципом относительности и конечностью максимальнойскорости распространения сигналов с.Рассмотрим снова две системы отсчета S и S ¢ , движущиеся поступательно относительно друг друга со скоростью V . Направим оси OXи OX ¢ систем отсчeта S и S ¢ параллельно скорости V движенияS ¢ относительно S. Как определить одновременность событий в системах S и S ¢ ? Определение одновременности событий в одном и том жеместе не вызывает затруднений: момент, когда событие происходит,определяется положением стрелок часов, находящихся тут же, т. е.

Характеристики

Список файлов книги