1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Теперь одновременно во всех точках лабораторной системы включим электрическое поле, направленной вдоль оси X . Электроны начнут ускоряться,пройденный ими путь за одно и то же время будет одинаковым, а этозначит, что расстояние между ними останется прежним, никакого сокращения длины в лабораторной системе не произошло! Более того, всопутствующей системе отсчета расстояние между ними увеличилосьв g раз. Детальное объяснение этому факту дано в конце следующегораздела (преобразования Лоренца).Рассмотрим теперь те же два заряда, но скрепленных жесткой спицей. В системе покоя спицы ее длина не меняется, а в системе лабораторной сокращается.
После разгона расстояние между зарядамиуменьшилось с l 0 до l 0 /g , т. е. второй электрон приблизился к первому. Каким образом? Это могло произойти только за счет того, что вспице возникало натяжение, которое замедляло первый заряд и ускоряло второй заряд. Именно благодаря внутреннему напряжению спицеудается сохранять длину в сопутствующей системе отсчета. Если былабы не спица, а слабенькая резинка, то она растянулась бы в сопутствующей ей системе отсчета. Детальное объяснение механизма такогорастяжения дано в конце следующего параграфа.42§ 18. Преобразование ЛоренцаПусть в системе S в точке с координатой x в момент времени tпроизошло некоторое событие. Найдем его координату x ¢ и время t ¢ всистеме S ¢ .
Учитывая релятивистское сокращение продольного масштаба, можно утверждать, что если в S ¢ событие произошло в точкеx ¢ от начала отсчeта O ¢ , то в неподвижной системе S оно произойдетна расстоянии x ¢ 1 -V 2 c 2 от точки O ¢ , координата которой, в своюочередь, x 0 = Vt , следовательноx = Vt + x ¢ 1 -V 2 c 2 .(18.1)Отсюда получаемx¢ =x -Vt1 -V 2 c 2.(18.2)Поскольку системы S и S ¢ симметричны относительно друг другаи отличаются только знаком относительного движения, то после замены x x ¢ , x ¢ x , t t ¢ , V -V получаемx=x ¢ + Vt ¢1 -V 2 c 2.(18.3)Подстановка последнего выражения в (18.1) даетVx ¢c2 .t=1 -V 2 c 2t¢ +(18.4)Обратное преобразование получается путем замены V -V :Vxc2.t¢ =1 -V 2 c 2t-43(18.5)Учитывая, что поперечные размеры не меняются, в итоге получаемпрямые и обратные преобразования ЛоренцаLL-1ìï x ¢ = g(x -Vt )ìï x = g(x ¢ + Vt ¢)ïïïïïïy¢ = yy = y¢(18.6)ïïïíïíz¢ = zz = z¢ïïïïïïïï2t ¢ = g(t -Vx c )t = g(t ¢ + Vx ¢ c 2 ),ïïïîïîгде g = 1 / 1 -V 2/c 2 .Эти формулы получены для частного случая, когда скорость направлена вдоль оси X.
Нетрудно получить аналогичные формулы припроизвольном угле между V и осью X , представив вектор r в видедвух составляющих: r – вдоль скорости и r^ – в поперечном направлении:(Vr)(18.7), r^ = r - r,V2тогда преобразования Лоренца можно записать в видеVr¢r = g(r¢ + Vt ), r^ = r^¢ , t = g(t ¢ + 2 ) .(18.8)cЗдесь Vr ¢ – это скалярное произведение. Для случая параллельных осей,но с произвольно направленной относительной скоростью V , эти формулы можно преобразовать к виду, впервые полученному Герглоцем:1r = r ¢ + 2 (g - 1)(Vr ¢)V + g Vt ¢, t = g(t ¢ + Vr ¢/c 2 )(18.9)vПример.
Пусть два события произошли одновременно в системе S ¢в различных точках x ¢ и x ¢ . Из формул обратного преобразованияr = r + r^ ,1r = V2Лоренца получаем временной интервал между событиями в системе St2 - t1 = gV(x 2¢ - x 1¢) ¹ 0 .c2(18.10)Именно поэтому при измерении длины линейки, лежащей вдольдвижения в системе S ¢ , экспериментаторы из систем S и S ¢ получают разные результаты.44Наконец, рассмотрим пример, позволяющий до конца понять, почему в приведенном в предыдущем разделе примере при одновременном ускорении в лабораторной системе двух зарядов расстояние в сопутствующей системе возрастает.
Пусть эти два заряда, расположенные на расстоянии l 0 , одновременно (в лабораторной системе S ) в результате удара получают скорость V . В сопутствующей системе расстояние между ними будет в g раз больше. Как это могло произойти?Рассмотрим, как произошли эти удары в системе отсчета S ¢ , движущейся со скоростью V , в которой эти заряды после ударов будут покоиться. Во-первых, в этой системе удары произошли не одновременно.Действительно, в лабораторной системе x 1 = 0, x 2 = l 0 , t1 = t2 = 0 , тогда из преобразований Лоренца для времени (18.5), t ¢ = g(t -Vx c 2 ) ,находим, что в движущейся системе эти удары произошли не одновременно: первый заряд с координатой x 2 = l 0 начал движение раньше наDt ¢ = gVl 0/ c 2 .
В течение этого времени второй заряд еще покоился влабораторной системе, т. е. двигался назад в движущейся системе, и дополнительно отстал на расстояние Dl = V Dt ¢ = gV 2l 0/ c 2 . Исходноерасстояние в системе S ¢ между зарядами до ударов было l = l 0/g , а сучетом задержки между ударами оно сталоæ V2 V2öl ¢ = l + Dl = l0/g + gV 2l 0/c 2 = gl 0 ççç1 - 2 + 2 ÷÷÷ = gl 0 ,çècc ÷ø(18.11)это как раз то, что мы и хотели объяснить! Увеличение расстояния происходит из-за того, что в системе S ¢ имеется задержка между ударами.Формулы (18.6) получены в 1904 г. Х.
Лоренцем как преобразования, при которых уравнения электродинамики сохраняют свой вид припереходе от одной инерциальной системы к другой. В 1905 г.А. Эйнштейн вывел их из постулатов о равноправии всех инерциальных систем и существовании максимальной скорости передачи сигналов. Хотя получились те же самые преобразования, но физическое содержание в них было совершено новым.45§ 19. Четырехмерный вектор событияУпорядоченную четвeрку чисел R = (ct, x , y, z ) º R(ct, r) называют4-вектором события. В отличие от обычного вектора, обозначаемогострелкой или жирной буквой, 4-вектор пишут обычным шрифтом.Переход от R(ct, r) к R ¢(ct ¢,r ¢) в матричной формеæct ¢ö÷ æ g -gb 0çç ÷ çççç x ¢ ÷÷ çç-gb g 0÷ççç ÷÷÷ = ççç¢çç y ÷÷ çç 0 0 1çç z ¢ ÷÷ çç 0 0 0èç ÷ø èçгде g = 10ö÷ æçct ö÷÷÷ ç ÷÷0÷÷ ççç x ÷÷÷÷ ⋅ ç ÷÷ или R ¢ = LR ,0÷÷÷ çç y ÷÷÷÷ ç ÷1ø÷÷ èççç z ÷÷ø(19.1)1 -V 2 c 2 , b = V c .
Такая форма записи означает, чтоRi¢ = å Lik Rk .(19.2)kОбычно знак суммирования опускают, подразумевая, что происходит суммирование по повторяющемуся индексу. Аналогично можнозаписать R = L-1R ¢ , где L-1 – матрица обратного преобразования, отличающаяся от L заменой b на -b .Принято называть ct нулевой, x – первой, y – второй, z – третьейкомпонентой4-векторасобытия.ЛюбаячетвeркачиселA = {a 0 , a1, a2 , a 3 } , компоненты которой преобразуются как компоненты 4-вектора события, т. е.a 0 = g(a 0¢ + ba1¢ ), a1 = g(a1¢ + ba 0¢ ), a2 = a2¢, a 3 = a 3¢ ,(19.3)называется 4-вектором. Зачем они нужны? Дело в том, что, если физический закон записан через 4-х вектора, значит, мы знаем его во всехинерциальных системах отсчета, так как известен закон преобразования входящих в него величин.
О других свойствах 4-векторов будетсказано дальше.46§ 20. ИнтервалВ нерелятивистской механике при переходе из одной системы отсчета сохраняющейся величиной является расстояние между двумяточками l12 =| r2 - r1 | (§ 13). В релятивистском случае это не верно,так как длины масштабов меняются.
Оказывается, однако, что существует комбинация (t2 - t1 ) и l12 , которая остается неизменной. Она называется интервал.Любое событие определяется тремя пространственными координатами и временем. Для наглядности удобно вообразить четырехмерноепространство x , y, z, t , в котором точка совершает движение по некоторой траектории, мировой линии. Если в первой точкеx 1, y1, z 1, t1 произошла вспышка света и достигла второй точки x 2 , y2 , z 2 , t2 , то очевидно, чтоc 2(t2 - t1 )2 - (x 2 - x 1 )2 - (y2 - y1 )2 - (z 2 - z1 )2 = 0 .(20.1)Для тех же двух событий в системе S ¢c 2 (t2¢ - t1¢)2 - (x 2¢ - x 1¢)2 - (y2¢ - y1¢)2 - (z 2¢ - z 1¢)2 = 0 .(20.2)Назовем для любых двух событий интервалом величинуs = c 2(t2 - t1 )2 - (x 2 - x 1 )2 - (y2 - y1 )2 - (z 2 - z1 )2 .(20.3)С формальной точки зрения интервал можно рассматривать какрасстояние между двумя точками в четырехмерном пространстве сосями X , Y , Z , cT .
Имеется, однако, различие с обычной геометрией:член, содержащий время, суммируется с другим знаком. Такую геометрию, в отличие от евклидовой, называют псевдоевклидовой. Онабыла введена в теорию относительности Г. Минковским, и данное пространство называют пространством МинковскогоВыше мы видим, что если интервал равен нулю в одной системе отсчета, то он равен нулю и в любой другой системе отсчета. А как связаны между собой интервалы s и s ¢ в общем случае? Оказывается,они всегда равны! В этом легко убедиться, выразив в (20.2) x ¢, y ¢, z ¢, t ¢через x , y, z , t и используя преобразования Лоренца. Действительно,47поскольку поперечные координаты сохраняются, y = y ¢ и z = z ¢ , тоостается доказать, чтоc 2 (Dt )2 - (Dx )2 = c 2 (Dt ¢)2 - (Dx ¢)2 .(20.4)Из преобразований Лоренца (18.6) имеемDt ¢ = g(Dt -VDx ),c2Dx ¢ = g(Dx -V Dt ) .(20.5)Подставляя (20.5) в правую часть (20.4), после небольших преобразований находим, что правая часть тождественно равна левой.
Таким образом, мы убедились, чтоs 2 = s ¢2 .(20.6)Это замечательный результат! В классической механике, где верныпреобразования Галилея, инвариантом является длина отрезка(x 2 - x 1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z 2 - z 1 )2 = inv.(20.7)Для произвольных скоростей инвариантом является интервалs 2 = c 2 (t2 - t1 )2 - (x 2 - x 1 )2 - (y2 - y1 )2 - (z 2 - z 1 )2 = inv. (20.8)Инвариантность интервала при релятивистских скоростях можнодоказать формально, не прибегая к преобразованиям Лоренца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
