1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Требуется, конечно, дать точные количественные определения. Существуетнесколько подходов к формулировке законов динамики. Рассмотримдва из них.62Первый подход основан на законах Ньютона. В этом подходе предлагается ввести некоторый эталон силы. Это может быть, например,пружинка, растянутая на определенную длину. Указав направление силы, получим вектор эталонной силы. Складывая несколько пружинок,можно получить любую силу. Различные силы, приложенные к одномуи тому же телу, сообщают ему различные ускорения, причeм было замечено, что ускорение пропорционально силеa ~ F.(26.3)Утверждение о том, что ускорение пропорционально действующейсиле, является содержанием второго закона Ньютона.
Сила, как и ускорение, является векторной величиной. Если к материальной точке приложено несколько сил, то результирующая сила находится по правилусложения векторов. Обозначив коэффициент пропорциональности через m, (26.3) можно записать какF = m a = m r .(26.4)Это вовсе не очевидное утверждение, а экспериментальный факт,справедливый только при малых скоростях. Одновременно второйзакон Ньютона несeт в себе количественное определение массы тела.Опыт показывает, что масса является аддитивной величиной, т. е.масса равна сумме составляющих тело масс.
(В релятивистском случаеэто неверно, поскольку при столкновениях кинетическая энергияможет переходить в массу. Энергия связи также обладает массой. Так,атом водорода легче, чем сумма масс протона и электрона.)Из третьего закона Ньютона сразу следует закон сохранения импульса:m1a1 = -m2 a 2 m1v1 + m2 v2 º p1 + p2 = const .(26.5)Однако закон сохранения импульса и третий закон Ньютона – это неэквивалентные утверждения.
Действительно, из закона сохраненияимпульса следует, что F12 = -F21 , но отсюда ещe не следует, что этисилы действуют вдоль линии, соединяющей тела. Последнееутверждение, содержащееся в третьем законе Ньютона, следует из тогофакта, что в замкнутой системе не только сумма сил равна нулю, но исумма моментов сил равна нулю. Тело не начинает само по себевращаться.
Здесь проявляется свойство изотропности пространства –если тело начнет вращаться, то в какую сторону? Из симметрииследует, что тело будет оставаться в покое.63Закон равенства действия и противодействия, очевидно, не выполняется, когда тела удалены, а скорость распространения сигнала конечна. Эту проблему можно обойти, представив, что рассматриваемыедва тела обмениваются импульсами за счет перекидывания третьеготела (поля) и взаимодействие происходит только в момент локальноговзаимодействия третьего тела с первым.Еще одно замечание, касающееся третьего закона Ньютона. Естьвзаимодействия, когда сила направлена не вдоль линии, соединяющейточки. Например, это сила между двумя движущимися зарядами.
Электрическая сила взаимодействия направлена вдоль линии между зарядами, однако магнитная компонента силы направлена иначе: перпендикулярно магнитному полю и скорости. Так что силы взаимодействияне равны друг другу и не направлены в противоположные стороны.Следует заметить, что магнитные силы – это проявление релятивистских эффектов в электромагнитных взаимодействиях, т. е. они важныпри больших скоростях, где законы Ньютона не работают в целом.
Приэлектромагнитном взаимодействии следует учитывать импульс и момент импульса электромагнитного поля. Два заряда действуют друг надруга не напрямую, а через третье «тело» – поле. Несмотря на кажущееся нарушение третьего закона Ньютона суммарный момент сил визолированной системе оказывается равным нулю даже в релятивистском случае. Связанный с этим закон сохранения момента импульсаявляется более общим законом, чем третий закон Ньютона: он связан сизотропностью пространства (эквивалентностью всех направлений).Это будет обсуждаться в дальнейшем подробно.Единицы измеренийДлинаВ системе СИ единицей длины является метр (м).В системе СГСЭ единицей длины является сантиметр, 1 см = 0.01 м.ВремяВ обеих системах единицей времени является секунда (с).МассаВ системе СИ единицей массы является килограмм (кг) – международный эталон.В системе СГСЭ единицей массы является грамм, 1 г = 10–3 кг.СилаВ системе СИ единицей силы является ньютон (Н) – это сила, сообщающая телу с массой 1 кг ускорение 1 м/с2, размерность [Н] = кг·м/с2.64В системе СГСЭ единицей силы является дина (обозначение: дин,dyn от греч.
«динамис» – сила) – это сила, сообщающая телу с массой1 г ускорение 1 см/с2, [дин] = г·см/с2. Отсюда1 Н = 105 дин.§ 27. ИмпульсВеличина p mv называется в ньютоновской механике импульсомматериальной точки. Покажем, что для замкнутой системы суммарныйимпульс сохраняется.Закон сохранения импульсаИзменение суммарного импульса системы P = å PiNö÷dPd æç1= çå mi vi ÷ = å Fi = å å Fik = å (Fik + Fki ) = 0.
(27.1)ç÷dtdt è i2 i,k ,i ¹kø i =1i k ¹iСмысл простой – материальные точки взаимодействуют попарно,сумма пары сил равна нулю по третьему закону Ньютона. Отсюдаследует закон сохранения импульса:P = å mvi = const.(27.2)iЕсли система незамкнутая, тоdP= Fвнеш = å Fi внеш ,dti(27.3)т. е. скорость изменения импульса равна сумме внешних сил.Центр массВ нерелятивистской ньютоновской механике можно ввести понятиецентра масс.
Преобразуем выражение для импульса системы частицP = å mi v i = å m iiidridt=ddtåm ri ii=md æç 1çdt çè möå m r ø÷÷÷÷ ,i i(27.4)iгде m = å mi . Радиус векторR=1å mi rim65(27.5)определяет точку в системе, которая называется центром масс (ц. м.)системы. Тогда импульс системы записывается в видеP=mdR= mV,dt(27.6)где V – скорость центра масс. Ускорение центра массFdV= внеш .dtm(27.7)Таким образом, центр масс тела движется с таким же ускорение, как иматериальная точка с массой, равной суммарной массе тела. Этоозначает также, что в нерелятивистской механике справедлив законаддитивности масс – масса тела равна сумме масс его частей.Пример.
К карандашу массы m приложили силу F, перпендикулярнуюкарандашу. Один раз сила приложена к центру карандаша, другой раз – кего концу. В каком случае ускорение центра карандаша будет больше?Ответ. Из формулы (27.7) следует, что ускорение центра масс независит от того, к какой точке тела приложена сила, так что в обоихслучаях ускорение ц. м. будет a = F/m несмотря на то, что во второмслучае наряду с поступательным движением карандаш будет еще ивращаться.Сила как мера скорости изменения импульсаРассмотрим альтернативный подход к определению массы и сил.Здесь первичным считается закон сохранения импульса, следующий изопытных фактов. Постулируется, что каждой частице можно приписать определенную массу mi такую, что для замкнутой системычастицåpi= const , где pi = mi vi(27.8)(в релятивистской механике также работает закон сохраненияимпульса, но выражение для импульса другое).Приняв некоторую массу m0 за эталонную, можно найти массывсех остальных частиц, исследуя их взаимодействие с эталонной частицей| v¢ - v0 |.(27.9)mi vi + m 0 v 0 = mi vi¢ + m 0 v ¢0 mi = m 0 0| vi¢ - vi |66В этом подходе сила определяется как производная по времени отимпульса частицыdp(27.10)Fi = i .dtСоотношения (27.8), (27.10) эквивалентны второму закону Ньютона.
Из опыта следует, что силы зависят от координат и скоростей. Еслисила определена (известна), то (27.10) может рассматриваться какуравнение движенияdpi(27.11)= Fi (r1, r2 ...v1, v2 ...) .dtТретий закон Ньютона следует из (27.8) только частично:dp1dtº F12 = -dp2dt= -F21 .(27.12)Вывода о направленности сил вдоль линии, соединяющей тела, отсюда не следует. В рассматриваемом подходе, когда исходными являются не законы Ньютона, к первичным законам следует отнести, кромезакона сохранения импульса, еще закон сохранения момента импульса(о нем будет речь позже).
Как было уже упомянуто, он связан с изотропностью пространства и справедлив даже в релятивистском случае.Аддитивность массОбсудим еще раз одно, на первый взгляд очевидное утверждение обаддитивности масс, т. е. о том, что масса составного телаm = m1 + m2 .(27.13)В физике даже такие «очевидные» основополагающие утверждениянужно доказывать. Оказывается, это правило сложения масс справедливо только при малых скоростях. Посмотрим, откуда берется выводоб аддитивности масс в классической механике. Выше, при выводеуравнения движения центра масс, мы уже сделали такой вывод.
Получим его другим способом: на основании закона сохранения импульса ипринципа относительности.На основании закона сохранения импульса в системе S можно записать(27.14)m1v1 + m2 v2 = mv .67Перейдем теперь в систему отсчeта S ¢ , движущуюся прямолинейно иравномерно относительно S со скоростью V . Согласно принципу относительности закон сохранения импульса справедлив и в S ¢ системе:m1v1¢ + m2 v2¢ = mv ¢ .(27.15)В нерелятивистской механике скорости в системах S и S ¢ связаныпреобразованиями Галилея:v1¢ = v1 - V,v2¢ = v2 - V,v¢ = v - V .(27.16)Подстановка (4.12) в (4.11) даетm1(v1 - V) + m2 (v2 - V) = m(v - V) .(27.17)Учитывая (27.14), получаем(m1 + m2 )V = mV.(27.18)Отсюда получаем закон аддитивности масс:m = m1 + m2 .(27.19)Этот закон для химических реакций был открыт Ломоносовым иЛавуазье. В релятивистском случае это утверждение не верно.§ 28. Задача двух тел, приведенная массаРассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, сила взаимодействия которых зависит только от расстояния:F21 = -F12 = F(r),r = r2 - r1 .(28.1)Уравнения движенияm1r1 = -F(r)m2r2 = F(r)(28.2)можно упростить, введя новые переменные – радиус-вектор центрамассm r + m2 r2(28.3)R= 11m1 + m2и радиус-вектор относительного расстоянияr = r2 - r1 .68(28.4)Внутренние силы не влияют на движение центра масс, поэтому центрмасс движется с постоянной скоростьюR = R 0 + Vt .(28.5)Уравнение движение для относительного расстояния получаетсяr = r2 - r1 =F(r) F(r) F(r),+=m2m1m(28.6)гдеm=m1m2(28.7)m1 + m2называют приведенной массой.
Таким образом, задача двух тел свеласьк задаче движения одного тела с массой m под действием силы F(r) .Предположим, что мы решили это уравнение и нашли r(t ) . Для нахождения координаты каждой точки нужно сначала выразить расстояние каждой частицы относительно центра тяжести через r(t ) . Расстояние частиц относительно центра масс r1¢ и r2¢ легко найти, перенесяначало отсчета в центр масс.
Тогдаm1r1¢ + m2 r2¢ = 0r2¢ - r1¢ = r ,(28.8)где первое уравнение следует из (28.3), отсюдаr1¢ = -m2m1 + m2r,r2¢ =m1m1 + m2r.(28.9)Полное решениеr1 = R + r1¢ = R 0 + Vt r2 = R + r2¢ = R 0 + Vt +m2m1 + m2m1m1 + m2rr.(28.10)Пример. Найти частоту колебаний двух тел с массами m1 и m2 , соединенных пружинкой с жесткостью k .В соответствии с изложенным выше задача сводится к колебаниямm1m2тела массы m =на пружинке жесткости k , у которой второйm1 + m2конец прицеплен к бесконечно тяжелой стенке.69Другой пример – это движение двух тел, связанных гравитацией(Солнце и Земля, например).
Они будут оба двигаться вокруг общегоцентра масс. Эту задачу можно свести к вращению приведенной массыmmв силовом поле F = -G 1 3 2 r .r§ 29. Реактивное движениеЛюбую задачу по механике можно решить, в принципе, используязаконы Ньютона. Однако иногда задача решается проще, если использовать законы сохранения. Рассмотрим в качестве примера движениеракеты с реактивным двигателем.Ускорение ракете сообщают выброшенные назад продукты горения. Пусть их скорость относительно ракеты равна u 0 .
Перейдем всистему ракеты. Пусть ракета выбрасывает малую порцию газа. По закону сохранения импульсаm Dv = Dm гu 0 = -Dmu 0 ,(29.1)где m – текущая масса ракеты, Dv – приращение скорости ракеты,Dm г – масса порции выброшенного газа, равная убыли массы ракеты-Dm . Мы нашли приращение скорости Dv в системе ракеты, но всоответствие с преобразованиями Галилея изменение скорости будетточно таким же и в лабораторной системе отсчета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
