1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Это основнаятеорема электродинамики, которая применяется для вычисленияэлектрических полей и входит в систему уравнений Максвелла. Онавыражает связь между потоком напряжeнности электрического полясквозь замкнутую поверхность и зарядом вобъeме, ограниченном этой поверхностью.Эта теорема справедлива только для полей,Eспадающих с расстоянием как 1/r 2 .Рис. 25Используя теорему Гаусса, легко найтиэлектрические поля в простейших конфигурациях.Поле от заряженной плоскостиПусть плоскость имеет заряд с поверхностной плотностьюs = Q /S .
Охватываем заряд поверхностью в виде цилиндра с единичной площадью дна (рис. 25), тогда из теоремы Гаусса (боковые поверхности не дают вклад в поток) находим 2E = 4ps , отсюдаE = 2ps .(34.9)Примечание. Для обозначения величины заряда здесь используютсябуквы q или Q , первая для точечного заряда, вторая для заряда, распределенного в пространстве.В плоском конденсаторе имеется две параллельные пластины с противоположными зарядами.
Между пластинами поля складываются и суммарное поле E = 4ps , а снаружи поля вычитаются и E = 0.85Поле заряженной нитиПусть нить заряжена с линейной плотностью l = Q /l . Охватываянить цилиндром радиуса r и единичной длины и применяя теоремуГаусса, находим 2pr E = 4pl , отсюдаE=2l.r(34.10)Поле снаружи и внутри заряженной сферыИз симметрии силовые линии поля, исходящие от заряженной сферы, представляют собой симметричный «ежик». Охватывая сферу сзарядом Q сферической поверхностью радиуса r , из теоремы Гауссаполучаем 4pr 2E = 4pQ и полеE=Q,r2(34.11)такое же, как поле точечного заряда.Внутри заряженной сферы если и есть какое-то поле, то из симметрии оно должно быть радиальным. Охватывая центр сферы поверхность с радиусом меньшим, чем радиус заряженной сферы, получаем,что охваченный поверхностью заряд равен нулю, а следовательно, иполе внутри заряженной сферы равно нулю.Потенциал заряженной сферыРаз поле от заряженной сферы такое же, как и от точечного заряда,то и потенциал на поверхности сферы будет таким же:j=Q,R(34.12)где R – радиус сферы.Потенциальная энергия заряженной сферыМы знаем, как находить потенциальную энергию для дискретныхзарядов, здесь же заряд равномерно распределен по поверхности сферы.
Рассмотрим несколько подходов к этой задаче.Потенциальная энергия – это фактически работа поля, которую необходимо затратить, чтобы собрать на сферу заряды, находящиеся исходно на бесконечности. Пусть на сфере уже есть некий промежуточный заряд Q , тогда потенциал сферы j = Q/R . Работа по переносу86очередной порции заряда dQ с бесконечности на поверхность сферыравнаQ(34.13)dA = jdQ = dQ .RИнтегрируя заряд от нуля до Q0 , получаемRU =ò dA =¥Q0òQ0jdQ =0ò0Q2QdQ = 0 .2RR(34.14)Следует заметить, что в (34.14) нет привычного знака минус перед интегралом от работы, поскольку в данном случае dA – это не работа,которую совершает поле над зарядами, а работа внешних сил по перемещению зарядов.
Она имеет противоположный знак.Потенциальная энергия заряженного шараПусть заряд Q0 однородно распределен по объему шара радиуса R .Поле внутри шара на расстоянии r от центра создается только зарядами, которые находятся ближе к центру, тогдаE=Q0dQ =Q0Q4 3 1pr 2 = 03 r .3rR(34.15)43pR3Поле равно нулю в центре и линейно растет от центра до поверхностиQшара, а далее спадает как поле от точечного заряда E = 20 .rДля нахождения потенциальной энергии шара будем, как и в предыдущей задаче, добавлять заряд малыми порциями, при этом размершара будет нарастать с нуля до R .
Если шарик уже имеет размер r , тоего потенциалQ0 4 3 1 Q 0 2j=pr= 3r .(34.16)r4R3 3pR3Далее заметим, что приращение заряда связано с приращением радиусакак произведение плотности заряда на объем сферического слоя4pR 334pr 2dr =873Q0R3r 2dr .(34.17)Потенциальную энергию находим аналогично (34.14)Q0U =Q0òR03R2r dQ =Q0òR03r23Q0R3R2r dr =ò03Q02R64r dr =3Q025R.(34.18)Энергия поляВыше мы нашли потенциальную энергию для сферы и шара. А гденаходится эта энергия? Найдем связь между плотностью потенциальной энергии и величиной поля.Q02Возьмем заряженную сферу.
Ее энергия (34.14) U =. Умень2Rшим радиус на dR (положительная величина), изменение потенциальной энергии будет (дифференцируем U и учитываем, что изменениерадиуса равно -dR )Q2dU = 02 dR .(34.19)2RВ чем состоит разница в конфигурации полей? Во втором случаедобавилось поле в слое толщиной dR вблизи поверхности, где егоQвеличина составляла E = 02 . Нетрудно заметить, чтоR2æQ ö÷ 4pR 2dR E 2dU = ççç 02 ÷÷dV ,=8p8pèç R ÷øследовательно плотность энергии электрического поля(34.20)dUE2=.(34.21)dV8pЭто важный результат! Поле – это не фиктивная конструкция, передающая взаимодействие, а материальная среда, обладающая плотностью энергии.Потенциальная энергия взаимодействия нескольких заряженных частиц – это энергия, сосредоточенная в поле, но не вся энергия поля, атолько ее изменение, связанное с перекрытием полей отдельных частиц.u=Гравитационное взаимодействиеПрактически все сказанное выше про электрическое поле справедливо для гравитационного взаимодействия.
На самом деле, физическаяприрода этих взаимодействий совершенно разная, но пока мы рассмат88риваем слабые гравитационные поля, малые скорости, а разница междуними только в том, что одноименные электрические заряды отталкиваются, а гравитационные силы – это силы притяжения.Fгр Gm1m2r,r3G 6, 667 108 см3с 1г 1 6, 667 1011 м 3с 1кг 1 . (34.22)Таблица 2Соответствие между электрическим и гравитационным полямиFjEu (пл. энергии)U сферыU шараЭлектрическоевзаимодействиеq1q 2rr3qrqrr3E28pq22R3q 25RГравитационноевзаимодействиеmm-G 1 3 2 rrm-Grm-G 3 rr1 E2G 8pm2-G2R3 m2-G5 RПримечание. При сравнении формул для плотности энергии вы заметите разницу, которая связана с наличием константы гравитационного взаимодействия в гравитационной силе и отсутствием таковой вэлектрической силе. Это связано с тем, что в системе единиц СГСЭединица электрического заряда определена так, что в формуле для силы константа равна единицы (в системе СИ это не так).
Можно былобы так же переопределить единицу массы, чтобы в гравитационномвзаимодействии константа G равнялась единицы, тогда была бы полная симметрия в формулах.89§ 35. Классический радиус электрона, черные дырыКлассический радиус электронаКакой размер у электрона? Это один из самых интригующих вопросов, на который уже более 50 лет пытаются дать ответ. Пусть электронимеет размер re , тогда он должен обладать электромагнитной энергиейe2.(35.1)reВ последующих главах будет показано, что полная энергия любоготела равна E = mc 2 . Поскольку электромагнитная составляющаяэнергии не может быть больше полной энергии, то, казалось бы, радиус электрона должен быть больше, чемE эм »e2(4, 8 ⋅ 10-10 )2== 2, 8 ⋅ 10-13 см.re =-28210mc9 ⋅ 10 (3 ⋅ 10 )(35.2)Здесь все выражено в единицах СГСЭ. Этот размер называютклассическим радиусом электрона.Первая попытка измерить радиус электрона была предпринята в1964–1965 гг.
в Институте ядерной физики в Новосибирске и в Стэнфорде, США, на ускорителях со встречными электрон-электроннымипучками. Было установлено, что радиус электрона меньше чем10-14 см. В дальнейшем, с ростом энергии ускорителей, эта границабыла опущена до 10–17 см. Пока имеется только верхнее ограничениена размер электрона, но ясно, что он существенно меньше классического радиуса электрона. Как такое может быть?Оценка для энергии электрического поля (35.1) написана для покоящегося электрона.
Однако на малых расстояниях классическая механика неприменима, здесь нужно пользоваться квантовой механикой(глава XIII). Согласно квантовой механике частицу невозможно локализовать в области меньшейее комптоновской длины волныclC =. Для электрона этот размер в 2 » 137 раз больше его класmceсического радиуса электрона.
Ввиду квантового «дрожания» электронаего электрическое поле не успевает сконцентрироваться на малых расстояниях, вследствие этого с уменьшением радиуса энергия поля растет не как 1/r , а существенно медленнее, логарифмически. Однако90расходимость энергии поля при стремлении радиуса к нулю остается.Теоретики научились в расчетах обходить эту проблему, оперируятолько наблюдаемой массой электрона, но теории, описывающей механизм сокращения расходимостей, пока нет.Интересно, чем ограничена точность, с которой измеряют размерэлектрона (и других частиц)? Для того, чтобы сблизить два электронана расстояние равное классическому радиусу электрона, достаточнаэнергия порядка mc 2 » 1 МэВ (мегаэлектронвольт).
Однако более жесткое требование к энергии частиц связано с волновой природой час2p2 ⋅ 10-14см, и невозмож»тиц. Длина волны частицы равна l =pE [ ГэВ]но почувствовать размер объекта, который существенно меньше длиныволны частиц, сталкивающихся в ускорителе. Поэтому для исследования размеров порядка классического радиуса электрона потребовалсяускоритель с энергией более 100 МэВ.Черные дырыАналогично проблеме радиуса электрона для гравитационныхвзаимодействий есть проблема, заключающаяся в том, что при уменьшении радиуса тела его (отрицательная) гравитационная энергия сравнивается по модулю с полной энергией mc 2 .
Радиус тела, соответствующий равенству (по модулю) энергии покоя тела и потенциальнойгравитационной энергииm2Gm rS = 2 ,(35.3)mc 2 » GrScсоответствует радиусу, при котором происходит гравитационный коллапс и образуется черная дыра. Из черной дыры не может вылететьдаже свет, потому они «черные», зато черные дыры захватывают пролетающую мимо материю.Первые представления о черных дырах относятся к концу 18 в., однако математически их удалось описать только с возникновением общей теории относительности Эйнштейна (1915–1916).
Позднее былинайдены условия, при которых образуются черные дыры. При массахзвезд больше трех масс Солнца после выгорания термоядерного топлива никакие силы не могут предотвратить гравитационный коллапс.Для таких масс радиус rS составляет примерно 10 км. Однако оченьчасто в конце выгорания ядерного топлива происходит сброс внешнейоболочки и масса звезды становится недостаточной для коллапса. Дру91гое место, где очень вероятно образование черных дыр, – это центрыгалактик. Так, в нашей Галактике в центре находится черная дыра смассой M = 4, 3 ⋅ 106 M ( M – масса Солнца). В центре многих галактик находятся черные дыры с массами до 1010 масс Солнца.Для внешнего наблюдателя коллапсирующая материя сжимается дорадиуса rS и далее картинка как бы застывает (этот эффект замедлениявремени описывается общей теорией относительности), однако в системе падающей к центру материи все развивается быстро и плотностьрастет формально до бесконечности.Интересно, если черная дыра имеет массу порядка солнечной (M ) ,то ее плотность больше плотности ядерной материи (1015 г/см3), однакоmc6с ростом массы rS µ m , поэтому плотность падает: r 3 2 3 .rSmGДля черных дыр с массой 1010 M плотность будет 10–4 г/см3, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
