1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(41.21)12107Еще большая энергия (до 0.4 % от Mc 2 ) выделяется в реакции синтеза легких ядер, например:d + T a + n + 17, 6 МэВ.(41.22)В одном килограмме вещества E = mc 2 » 1017 Дж , в то время какэнергия, выделяющаяся при сжигании 1 кг угля, составляет 1, 5 ⋅ 107 Дж. Таким образом, даже при использовании 0,1 % mc 2 бу-дет выделяться энергии в 5 ⋅ 106 раз больше, чем при сжигании угля.Массы частиц, точнее mc 2 , принято измерять в электронвольтах.Электронвольт – это энергия, набираемая частицей с зарядом, равнымзаряду электрона, при прохождении разности потенциалов один Вольт:1 эВ = eDU = 1, 6 ⋅ 10-19 Кул ⋅ 1В = 1,6 ⋅ 10-19 Дж .(41.23)Производные единицы –1 кэВ º 103 эВ, 1 МэВ º 106 эВ, 1 ГэВ º 109 эВ и т. д.В табл.
3 приведена энергия покоя некоторых частиц.Таблица 3Энергия покоя некоторых частицчастицафотон (γ)нейтрино (ν)электрон (е)мюон (m)пион нейтр. ( p 0 )протон (p)нейтрон (n)Z-бозонt-кваркmc 2 , МэВ< 10-33< 10-60,511105,7140938,3939,691200171000108§ 42. Четырехвектор энергии-импульсаВ предыдущих двух параграфах были найдены выражения для релятивистского импульса и энергии и сформулированы законы их сохранения. К этим вопросам можно подойти по-другому, используяязык теоретиков.
Часто теоретические подходы делают картину болеепрозрачной, чем получение результата путем рассмотрения отдельныхпримеров.Предположим, при соударении тел (упругом и неупругом) имеетместо закон сохранения импульсаåpi= å pj .(42.1)Этот закон должен быть справедлив в любой инерциальной системе,значит, при преобразованиях Лоренца обе части должныпреобразовываться одинаковым образом. В этом случае говорят, чтозакон имеет ковариантный вид. При p = mv такой ковариантностипри релятивистских скоростях, очевидно, нет. Если бы импульс был4-вектором, тогда ковариантность была бы гарантирована. А почему?Возьмем сначала привычное трехмерное пространство, в которомнекий закон записан в виде равенства двух векторовa = b.(42.2)Очевидно, что это равенство сохранится, если перейти к другойсистеме координат, отличающейся от исходных поворотом осейкоординат на некоторый угол.
Компоненты векторов изменятся, норавенство сохранится. Преобразования Лоренца, как мы знаем,являются вращением в 4-мерном пространстве Миньковского скоординатами ict, x , y, z . Следовательно, если некий закон записан ввиде равенства двух 4-векторов:a m = bm , где m = 0, 1, 2, 3 ,(42.3)то это равенство сохранится при преобразованиях Лоренца. При этом4-мерным может быть не только координатное пространство с осямиict, x , y, z , но и пространство 4-скоростей.Ведем 4-вектор импульса путем замены обычной скорости v на4-скорость u mPm = mdRmcmv, (42.4)= m u m = {p0 , p} ; p0 =, p=dt1 - v 2 c21 - v 2 c2109а закон сохранения импульса запишем как закон сохранения4-импульса(42.5)å Pm = å Pm¢, m = 0 3 .ijВ нерелятивистском случае уравнения для пространственныхкомпонент 4-импульса переходят в обычный нерелятивистский законсохранения импульса.
Ранее мы искали выражение длярелятивистского импульса в виде p = f (v )mv , где f (v ) – такаяфункция, что закон сохранения импульса ковариантен припреобразованиях Лоренца. Импульс, определенный (42.4), p = g m v ,удовлетворяет этим требованиям. Однако при этом выясняется, чтодополнительно мы получаем еще один закон сохранения – законсохранения для нулевой компоненты 4-импульса, который принерелятивистских скоростях переходит в закон сохранениякинетической энергии.Величинуmc 2(42.6)E = p0c =1 - v2 c2называют релятивистской энергией, аp=mv1 - v2 c2(42.7)– релятивистским импульсом.
Некоторые следствия, вытекающие изрелятивистских законов сохранения, мы уже обсудили ранее.Заметим, что квадрат 4-импульса, как и положено, является инвариантом при преобразованиях ЛоренцаPm2 ºE2- p2 = m 2c 2 = inv .2c(42.8)Также из (42.6), (42.7) следует соотношениеp=Ev.c2110(42.9)Поскольку Pm – это, по определению, 4-вектор, то закон преобразования при переходе из системы S ¢ , движущейся со скоростью V в направлении оси X , в неподвижную систему S и наоборот, известен:E = g(E ¢ + Vp¢), px = g(px¢ +E ¢ = g(E - Vp), px¢ = g(px -VE ¢), py = py¢, pz = pz¢; (42.10)c2VE ), py¢ = py , pz¢ = pz ,c2(42.11)где g = 1 / 1 -V 2/ c 2 .Вообще говоря, вывод о том, что энергия и импульс являются компонентами 4-вектора, можно было сделать и без формальных рассуждений о ковариантности. Достаточно было убедиться, что найденныевыражения для импульса (40.9) и энергии (41.5) дают инвариант (42.8)при преобразованиях Лоренца.Несколько следствий.
Для фотона m = 0 , тогда из (42.8) получаемE g = pgc .(42.12)Электромагнитная волна состоит из фотонов с энергией (Эйнштейн)E g = w .(42.13)p g = w c .(42.14)С учeтом (42.12) их импульсПоскольку{Egc , pg}– 4-вектор, то является 4-вектором и{w c, k} , где | k |= w c . Отсюда следуют все формулы (24.16) для эффекта Доплера, полученные ранее:w), ky¢ = ky , kz¢ = kz . (42.15)cС помощью импульсов легко получить формулы для абберации,также полученные ранее с использованием релятивистской кинематики:w ¢ = g(w - kxV ), kx¢ = g(kx - btg J =pypx=p ¢ sin J ¢sin J ¢=.æö÷æVö÷¢Eg ççpx¢ + 2 V ÷÷ g çç + cos J ¢÷÷çèçè v ¢÷øc ÷ø111(42.16)Отражение света от движущегося зеркалаВ качестве примера рассмотрим, как меняется энергия фотона приотражении от движущегося зеркала.
Пусть фотоны с энергией E 0 ле-тят в направлении оси X , а навстречу им движется релятивистскоезеркало со скоростью V . Найдем энергию отраженных фотонов.Найдем сначала энергию фотонов в системе зеркала. Из (42.11)E ¢ = g(E 0 - Vp0 ) . Учитывая, что для фотонов p0 = E 0/c и направления движения фотона и зеркала противоположны, получаемæVöE ¢ = gE 0 ççç1 + ÷÷÷ .c ÷øè(42.17)После отражения фотоны в системе зеркала имеют ту же энергию, нолетят уже в том же направлении, что и зеркало. Переходим обратно влабораторныю систему по формуле E = g(E ¢ + Vp¢) .
У нас p ¢ = E ¢/cи направления V и p ¢ совпадают, отсюда получаем ответ:2ææVöVöE = gE ¢ ççç1 + ÷÷÷ = g 2E 0 ççç1 + ÷÷÷ .c ø÷c ø÷èè(42.18)§ 43. Релятивистская силаСилу в релятивистской динамике естественно вводить на основе закона сохранения релятивистского импульса, этот подход мы рассматривали для нерелятивистской механики в качестве альтернативногозаконам Ньютона.Определим трехмерную силу какdp.(43.1)dtНайдем, как энергия связана с работой сил.
ДифференцируяE 2 - p2c 2 = m 2c 4 , получаем EdE = c 2 pdp , откуда с учeтом (42.9) и(43.1) получаемdEpc 2 dp== (vF) dE = vFdt = Fdr .(43.2)dtE dtF=Следовательно, как и в классике, изменение энергии равно работе сил.112Можно ввести 4-вектор силы, дифференцируя 4-импульс по инвариантному собственному времени,fm =ìï g dE dp üïï ìïï g(Fv)üï= ïí,g ý=í, g Fïý ,ïîï c dtïþïdtdt ïþï ïîï cdPm(43.3)где g = 1 / 1 - v 2 / c 2 , v – скорость частицы.
При получениипоследнего равенства были использованы формулы (43.2), (43.1).Отсюда, в принципе, можно получить закон преобразованиятрехмерной силы, но это непросто, так как в 4-силе имеютсясомножители, зависящие от скорости частицы.Примечание: следует обратить внимание, что фактор g используется в данном пособии (и вообще в научных книгах) в двух значениях.Он может относиться к скорости v рассматриваемой частицы,g = 1 / 1 - v 2/c 2 , как в предыдущей формуле, а может и к скоростиV системы отсчета S ¢ , если же речь идет о преобразовании какой-либовеличины при переходе к другой системе отсчета, тогдаg = 1 / 1 -V 2/c 2 . Обычно ясно, о чем идет речь, но там, где можетвозникнуть неоднозначность, будет сказано специально.Наиболее просто закон преобразования сил при переходе из неподвижной системы S в систему S ¢ , движущуюся со скоростью V в направлении оси X, получается из определения трехмерной силыVVdE ) Fx - 2 (Fv)2cc==,Fx¢ =dt ¢VVvxg(dt - 2 dx )1- 2ccg(dpx -dpx¢Fy¢,z =dpy¢,zdt ¢=dpy ,zVg(dt - 2 dx )c=Fy ,z 1 -V 2 c 21-Vvxгде g = 1 / 1 -V 2/ c 2 , V – скорость системы S ¢ .113c2(43.4),(43.5)Обратный закон преобразования получается заменой V -VVFx ¢ + 2 (F¢v ¢)c,(43.6)Fx =Vvx ¢1+ 2cFy ,z =Fy¢,z 1 -V 2 c 21+Vvx¢.(43.7)c2Например, если тело покоится в S' системе, т.
е. v ¢ = 0 , и на негодействует сила F¢ , то сила в неподвижной системе S естьFx = Fx¢,Fy ,z = Fy¢,z 1 -V 2 c 2 .(43.8)Продольные силы одинаковы в обеих системах, а поперечныеотличается в g раз.Нетрудно найти связь между силой F и ускорением a = dv dt врелятивистском случаеF=dpd(av)v= (gmv) = m g a + m g 3 2 = m g a + m g 3 b(ba) , (43.9)dtdtcгде g = 1 / 1 - v 2/ c 2 , b = v/c .
При дифференцировании былоучтено, чтоd (v 2 ) d (vv)== 2(va) .dtdt(43.10)Умножая (43.9) на b , получаем(ab) =(Fb)m g(1 + g 2 b 2 )=(Fb)mg3.(43.11)Подставляем это выражение в правую часть (43.9), находим ускорениеa=F - (Fb)b.gm114(43.12)Отсюда следует, что направление силы и ускорения не совпадают!Поэтому в релятивистском случае нельзя ввести понятиярелятивистской массы как коэффициента пропорциональности междуF и a .
Во многих учебниках пишут p = mv , где m = gm 0 . Этоневерно. Фактор g является независимым сомножителем в импульсе, ане относится к массе. У частицы есть только одна масса.Пример 1. Пусть частица имеет импульсp=mvv21- 2c.(43.13)Если приложить силу F перпендикулярно направлению движения, тоF=dv= gma ,v 2 dt1- 2cm(43.14)скорость не меняется по абсолютной величине, меняется только еенаправление. Если сила параллельно скорости, то нужнодифференцировать и v и v :F=dvmv 2dv+= m g 3a .3/22 dtævv 2 ö dt1- 2c 2 ççç1 - 2 ÷÷÷cçèc ÷øm(43.15)Это можно было получить и из (43.9).
Еще раз видим, чтобессмысленно определять «массу движения» как F/a , она получиласьразной для двух рассмотренных случаев.Пример 2. Пусть частица с энергией E 0 , массой m и зарядом Q пересекает под некоторым начальным углом плоский конденсатор с разностью потенциалов U . Чему равна энергия частицы на выходе из конденсатора?dEРешение. Как и в нерелятивистском случае,= (vF) ,dtò dE = ò F dl = U , т. е.
поле конденсатора потенциально, поэтому115изменение энергии не зависит от угла падения. В результатеE = E 0 + qU илиmc 2mc 2=1 - v2 c21 - v 02 c 2+ eU .(43.16)Пример 3. Частица с зарядом летит вдоль оси X со скоростью v вэлектрическом поле напряженности , какая действует на частицу сила в системе покоя заряда?Решение. В лабораторной системе Fx = e cos q , Fy = e sin q, гдеq – угол между направлением поля и осью X.
Учитывая, чтоV º v º vx , из (43.4) и (43.5) получаемFx¢ =Fy¢ =V(Fv)c2= e cos q ,Vvx1- 2cFx -Fy 1 -V 2 c 21-Vvx=e sin J1 - v2 c2(43.17),(43.18)c2т. е. продольная сила та же, а поперечная – в g раз больше.§ 44. Релятивистская ракетаВ предыдущих параграфах были рассмотрены физические основыСпециальной теории относительности (СТО), имеющей дело с инерциальными системами отсчета. Далее мы рассмотрим несколько примеров использования СТО.
Сначала совершим увлекательный полет нарелятивистской ракете через всю Вселенную; затем рассмотрим столкновения и распады частиц – основной метод изучения материи; далеепокажем, что вся электродинамика является следствием закона Кулона,СТО и инвариантности заряда.Для разминки рассмотрим простую задачу. Ракета имеет скорость V ,за какое космонавты долетят до звезды, находящейся на расстоянии L?Здесь можно рассуждать двумя способами:116а) время полета в лабораторной системе t = L/V , часы на ракетеидут в g = 1 / 1 -V 2/c 2 раз медленнее, значит, по часам на ракетепройдет время t = t/g = L/gV ;б) в системе ракеты расстояние Земля–звезда сокращается в g раз,звезда летит навстречу со скоростью V , значит, по часам в ракетепройдет время t = L/gV , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
