1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. напорядок меньше плотности воздуха. Наблюдатель, живущий недалекоот центра такой галактики, может не заметить, как со временем к центру галактики соберется столько материи, что он окажется живущим вчерной дыре. Размер такой черной дыры пропорционален массе, т. е.для рассматриваемого случая будет rS 1010 км, а время схлопыванияпорядка rS /c , что составляет около одних суток.§ 36. Распады, упругие и неупругие столкновения частицСтолкновения частиц на ускорителях (коллайдерах, collide – сталкивать) являются основным способом изучения материи. В этой лекции рассматривается динамика столкновений и распадов в нерелятивистском случае.РаспадыПусть частица массой m , двигавшаяся со скоростью v , распадаетсяна две частицы с массами m1 и m2 с выделением энергии Q .
Какиебудут скорости частиц, если после распада первая частица полетелапод углом q относительно исходного направления?В нерелятивистской механике суммарная масса частиц сохраняется,т. е. m = m1 + m2 . Кинетическая энергия осколков Q в системе покояисходной частицы возникает за счет, например, химической энергии92взрывчатки. Отсюда находим импульсы и скорости осколков в системепокоя исходной частицыQ=p022m1+p022m2p0 =;2Qm1m2m1 + m2;v10 =p0m1.(36.1)Скорость первого осколка в лабораторной системе отсчетаv1 = v + v10 .Посколькуунасзаданонаправление первой частицыпосле столкновения, т.
е. уголмежду v и v1 , то нужно2v1 = O1 или O2qO1v10(36.2)v10vпереписать это соотношение ввиде v1 - v = v10 , тогда послевозведения в квадратчастей получаемРис. 262v12 - 2vv1 cos q + v 2 - v10= 0.обеих(36.3)Отсюда22v1 = v cos q v 2 cos2 q - v 2 + v10= v cos q v10- v 2 sin2 q .(36.4)Происхождение двойного решения ясно из рис.
26.При v > v10 имеется максимальный угол sin q =v10v, при этом век-тор v1 является касательным к окружности на рис. 26.При v < v10 имеется всего одно решение, соответствующее знаку«+» в (36.4), иначе v1 была бы отрицательна.Неупругие столкновения (слипания)Тело массы m1 , летящее со скоростью v , слипается с покоящимсятелом массы m2 .
Какая будет конечная скорость и сколько энергии перейдет в тепло?Из закона сохранения импульса конечная скорость равнаm1v1v¢ =,m1 + m293(36.5)тогда из закона сохранения энергии количество выделенного тепларавноm v2m v2m2v ¢2Q = K - K ¢ = 1 1 - (m1 + m2 )= 1 1. (36.6)222 m1 + m2§ 37. Упругие столкновенияЧастица с массой m1 , летящая со скоростью v1 , упруго рассеивается на частице с массой m2 , летящей навстре-p1¢чу со скоростью v2 . Какая будет конечнаяскорость первой частицы, если она рассеялась на угол q ?В упругом столкновении, по определению,кинетическая энергия сохраняется, т. е.p2 ¢не переходит во внутреннюю энергию тел(тепло). Дополнительно мы предполагаем,Рис.
27что тела после удара не вращаются. В случаебильярдных шаров для этого необходимо, чтобы шары были абсолютно гладкими (нулевая сила трения), тогда при столкновении междушарами будут действовать только радиальные силы и вращения невозникнет. В этом случае для решения задачи достаточно воспользоваться законами сохранения импульса и энергии:p1qp2p1 + p2 = p1¢ + p2¢p122m1+p222m2=p1¢22m1+(37.1)p2¢22m2.(37.2)Уравнение (37.1) представляет собой фактически два уравнения:сохранение продольного и поперечного импульсов. Фактически естьтри уравнения, заданы p , p , q , нужно найти p ¢, p ¢ и угол второй час1212тицы. Можно просто, путем подстановок, решить эту систему из трехуравнений.
Однако мы сделаем это проще, воспользовавшись операциями с векторами. Данная техника нам понадобится для решения подобной задачи в релятивистском случае.94Для решения задачи возьмем из (37.1) p2¢ = p1 + p2 - p1¢ и подставим в (37.2). В результате остается одно уравнениеp122m1+p222m2=p1¢22m1+(p1 + p2 - p1¢ )22m2,(37.3)где неизвестным является p1¢ .
Раскрывая и сокращая одинаковыечлены, получаемp122m1=p1¢22m1+p122m2+p1¢22m2+2p1p22m2-2p1p1¢2m2-2p2 p1¢2m2.(37.4)Учитывая, что p1p2 = -p1p2 , p1p1¢ = p1p1¢ cos q , p2 p1¢ = -p2 p1¢ cos q ,получаем квадратное уравнениеp1¢2 - 2p1¢(p1 - p2 )m1 cos qm1 + m2-2p1p2m1m1 + m2-p12 (m2 - m1 )m1 + m2= 0 , (37.5)откуда находимp1¢ =(p1 - p2 )m1 cos qm1 + m 2(p1 - p2 )2 m12 cos2 q(m1 + m2 )2+2p1 p2m1m1 + m 2+p12 (m2 - m1 )m1 + m 2. (37.6)Происхождение двойного решения такое же, как и при распаде частиц.В случае покоящейся второй частицы, p2 = 0 , формула упрощается:æ mö÷11p1¢ = p1 çççcos q m22 - m12 sin2 q ÷÷ .÷øçè m1 + m2m1 + m2(37.7)При m1 > m2 допустимы оба знака, при m2 > m1 – только знак «+».При m1 > m2 максимальный угол рассеянияsin qмакс =m2m1.(37.8)При q = 0 и m1 > m2 имеемp1¢ = p1 или p1¢ =m1 - m2m1 + m2p2¢ = p1 - p1¢ =p1 ,952m1m2m1 + m 2v1 . (37.9)Первое решение – это пролет мимо (легкое касание), второе – лобовое столкновение, причем при равных массах налетающая частица останавливается.В случае лобового столкновения при m1 < m2 налетающая частицаполетит назад ( q = p ) с импульсомp1¢ =m2 - m1m1 + m2p1 .(37.10)Из (37.9) следует, что при столкновении бесконечно тяжелой стенки с покоящейся частицей последняя приобретает скорость v2¢ = 2v1 .Этот результат можно легко получить, перейдя в систему стенки, гдепокоящаяся частица налетает на стенку со скоростью v1 и отскакиваетс той же скоростью.
Переходя обратно в лабораторную систему, получаем v2¢ = v1 + v1 = 2v1 .Столкновение в случае тренияПусть брусок налетает под углом q1на бесконечно тяжелую плоскость, коэффициент трения с которой k . Найдемq2угол отражения, считая соударение упруq1гим.Хотя здесь все деформации упругие,энергия может теряться за счет силы суРис. 28хого трения.
Сила трения может уменьшить горизонтальный импульс. Вертикальный же импульс при ударесохраняется по величине, но меняет направление, отсюдаF^t = 2p cos q1 .(37.11)При проскальзывании сила трения равна kF^ , тогда конечныйпродольный импульсp¢ = p sin q1 - kF^t = p sin q1 - 2kp cos q1 .(37.12)Отсюда находим угол отскока:tg q2 =p¢p^=sin q1 - 2k cos q1cos q 196= tg q1 - 2k .(37.13)При получении этой формулы мы предположили, что имеет местопроскальзывание в течение всего времени взаимодействия. Но проскальзывание прекращается, когда горизонтальная скорость становитсяравной нулю, отсюда следует, чтоtg q2 = 0 приtg q1 < 2k .(37.14)Есть еще один режим, когда проскальзывания нет вообще.
Приэтом сила будет действовать против полнойскорости, что приведет к полной остановкеtg q2тела, а затем силы деформации отбросят тело назад. Поскольку сила действует в направлении скорости, то условие непроскальзывания, «заклинивания», F < kF^ , т. е.tg q1kF sin q1 < Fk cos q1 или tg q1 < k . Именно2kпри этих углах тросточка не будет проскальзывать,с какой бы силой на нее ни давили.Рис. 29В итоге имеем следующие углы отскокапри различных углах падения:tg q2 = tg q1 - 2ktg q1 > 2kприtg q2 = 0k < tg q1 < 2ktg q2 = - tg q1tg q1 < k .(37.15)§ 38. Закон сохранения момента импульсаДо сих пор мы упоминали момент импульса только в связи с третьим законом Ньютона, не вдаваясь в детали. Третий закон Ньютона гласит: силы взаимодействия двух материальных точек i и k равны по модулю и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальныеточки: Fik = -Fki .
Этот постулат означает, что в любой замкнутойсистеме сохраняется момент импульса. Выясним, что это такое.По определению, момент импульса системы частиц – этоL = å [ ri pi ].(38.1)Для одной частицы L = r^ p = rp^ , где r^ = r sin q , p^ = p sin q , т. е.момент импульса материальной точки (частицы) относительно точки97начала отсчета равен импульсу тела, умноженному на длину перпендикуляра, опущенного из начала отсчета на траекторию частицы. Момент импульса направлен перпендикулярно плоскости, лежащей навекторах r и p .Все взаимодействия в системе частиц можно рассматривать каксумму взаимодействий пар частиц. Для любой парыdL= [ r1 p1 ] + [ r1 p 1 ] + [ r2 p2 ] + [ r2 p 2 ] .dt(38.2)Учитывая, что p 1 = -p 2 , получаемdL= [ r1 p1 ] + [ r2 p2 ] + [(r2 - r1 ) p 2 ] = 0 .dt(38.3)Здесь первые два члена равны нулю потому, что скорость и импульсчастицы имеют одинаковое направление и их векторное произведениеравно нулю. Третий член равен нулю вследствие третьего закона Ньютона (поскольку сила параллельна радиус-вектору, соединяющему частицы).
Таким образом, в природе имеет место закон сохранения момента импульса.Следствия этого закона рассматриваются далее в главах про движение твердого тела и движение в центральном поле.§ 39. О происхождении законов сохранения энергии, импульса и момента импульсаЗакон сохранение энергииЭнергии для системы частицE = K +U = åmi v 2i2+ U (r1, r2 ....rn , t ) ,(39.1)ее изменение во времениdvdU drdE¶U= å mi v i i + å i i +dtdtdri dt¶t= å vi (midv idt- Fi ) +98¶U¶U.= 0+¶t¶t(39.2)(39.3)Выражение в скобке равно нулю по второму закону Ньютона. Такимобразом: закон сохранения энергии работает, если потенциальнаяэнергия явным образом не зависит от времени, а является функциейтолько координат.Закон сохранения механической энергии связан с однородностьювремени, что означает, что физические законы не зависят явным образом от времени.Пример несохранения энергии: пусть мяч подбросили вверх с некоторой скоростью и, пока он летит вверх, ускорение свободного падения равно g1 , а когда падает вниз, то g 2 .
В этом случае мяч вернется наземлю с другой скоростью, т. е. полная энергия не сохраняется. Длятого чтобы поменялась g при неизменной массе и размерах Земли,нужно, чтобы изменилась фундаментальная константа G .Закон сохранения импульсаПусть имеется система частиц, в которой на i -ю частицу действуютсила Fi со стороны остальных частиц. Прикладывая бесконечно малыевнешние силы, сместим всю систему на d R , не изменяя взаимногорасположения частиц в системе. Суммарная работа всех сил равна нулю, поскольку пространство однородно и внутренняя энергия системыне зависит от места системы в пространстве, т.
е.dA = d R å Fi = 0 .(39.4)iОтсюда получаем, чтоå F – сумма сил в системе равна нулю иiiсуммарный импульс системы сохраняется. Таким образом, закон сохранения импульса обусловлен однородностью пространства.Например, если бы в пространстве были невидимые нам тела, действующие неизвестными нам силами на наблюдаемые тела, то мы заключили бы, что импульс не сохраняется.Закон сохранения момента импульсаИспользуем ту же логику, что и при рассмотрении закона сохранения импульса, но не для сдвига, а для поворота системы в пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
