1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Их нельзяполучить из вышеприведенных формул простой заменой скорости светана скорость звука, так как скорость звука, в отличие от света, привязанак среде и не является инвариантом при переходе из одной инерциальнойсистемы в другую, как мы видели в начале этого параграфа.56Используя формулы (24.9) и (24.10), нетрудно получить формулыдля преобразования вектора k . Учитывая, что | k | = w/c , | k ¢ | = w ¢/c ,и формулы для аберрации света (23.4), имеемVö÷ cos q - cæw¢w æç Vwö= g çççkx - b ÷÷÷kx¢ = k ¢ cos q ¢ =cos q ¢ = g çç1 - cos q ÷÷÷øccècVc ÷øè1 - cos qcky¢ = k ¢ sin q ¢ =öw¢wæ Vsin qwsin q ¢ = g ççç1 - cos q ÷÷÷= sin q = kyö c÷ø æ Vccècg ççç1 - cos q ÷÷÷cèø÷kz¢ = = kz .(24.13)Вспоминая определение 4-вектора (§ 19), мы видим, что четверкаìw ïüïчисел ïí , kïý есть 4-вектор, так как преобразуется так же, как иïïc ïïîþ4-вектор события R{ct, r} , т.
е. по формулам Лоренца.Приведем ещe один красивый вывод формул для преобразования wи k . В системе источника S ¢ волна имеет вид cos(w ¢t ¢ - k ¢x ¢) . В неподвижной системе S поле пропорционально cos(wt - kx ) . Заметимтеперь, что там, где поле равно нулю, оно равно нулю в любой системе. Отсюда следует, что фаза волны (то, что стоит в скобке) являетсяинвариантомилиwt - kr = w ¢t ¢ - k ¢r ¢(24.14)wt - kx x - ky y - kz z = w ¢t ¢ - kx¢x ¢ - ky¢y ¢ - kz¢z ¢.(24.15)Подставляя x ¢, y ¢, z ¢, t ¢ из преобразований Лоренца и приравниваяего сомножители при t, x , y, z в левой и правой частях равенства, получаемww ¢ = g(w - kxV ), kx¢ = g(kx - b ), ky¢ = ky , kz¢ = kz , (24.16)cчто и решает поставленную задачу.Все эти формулы запоминать не надо.
Достаточно помнить, что{w/c, k} – это 4-вектор, который преобразуется так же, как {ct, r} .57Заметим, что полученные формулы преобразования {w/c, k} длясвета содержат сразу и эффект Доплера, и световую аберрацию. Действительно,k¢k¢ksin qsin q ¢ = y = y = y =,(24.17)æ Vö÷k¢w ¢/cw ¢/cg çç1 - cos q ÷÷çècø÷что совпадает с формулой (23.4).При рассмотрении аберрации был пример искажения картинызвездного неба при его рассмотрении из кабины космического корабля.Было получено, что вся передняя полусфера соберется в угол 1/g . А какизменится цвет звезд? Это можно найти из формулы (24.9), только ускорости света нужно поменять знак, так как свет идет кораблю.
Иначе,знак нужно поменять, потому что для света, идущего в сторону корабля,cos q имеет противоположный знак по сравнению со случаем, когдасвет идет от корабля. Для q = 0 получаем w ¢ = gw 1 + V /c , а для()звезды, находящейся в неподвижной системе под углом q = p/2 ,частота света в системе корабля w ¢ = gw . Таким образом, звездысоберутся в область малых углов относительно направления движениякорабля и цвет их станет более коротковолновым.§ 25.
Свойства 4-векторов, собственное время, 4-векторскоростиРанее мы дали определение 4-вектору как четверке чисел, преобразующихся при переходе в другую инерциальную системе так же, как и4-вектор события R = {ct, r} , т. е. A = {a 0 , a1, a2 , a 3 } – 4-вектор, еслиa 0 = g(a 0¢ + ba1¢), a1 = g(a1¢ + ba 0¢ ), a2 = a2¢, a 3 = a 3¢ .(25.1)Разница двух 4-векторов, очевидно, является тоже 4-вектором.Назовeм скалярным произведением двух 4-векторовA = {a 0 , a1, a2 , a 3 }иB = {b0 , b1, b2 , b3 }(25.2)величину(AB ) = a 0b0 - a1b1 - a2b2 - a 3b3 º a 0b0 - (ab).58(25.3)Прямой подстановкой ai , bi , выраженных через их значения в S ¢системе, формула (25.1), нетрудно получитьa 0b0 - a1b1 - a2b2 - a 3b3 = a 0¢b0¢ - a1¢b1¢ - a2¢b2¢ - a 3¢b3¢ ,(25.4)(AB ) = (A¢ B ¢) = inv ,(25.5)т.
е. скалярное произведение 4-векторов является инвариантомпреобразований Лоренца. Отсюда следует, в частности, чтоA2 = inv,(A - B )2 = inv .(25.6)Пусть произошло два события R1 = {ct1, r1 } и R2 = {ct2 , r2 } . Квадратом разницы этих векторов является интервал между событиямиs 2 = (R2 - R1 )2 = c 2 (t2 - t1 )2 - (r2 - r1 )2 = inv .(25.7)Эта величина уже обсуждалась в § 20, где было показано из общихсоображений, что она является инвариантом при переходе из однойинерциальной системы в другую.Если s 2 > 0 , то интервалы называется времениподобными, еслиs 2 < 0 – то пространственноподобными.При s 2 < 0 можно найти систему отсчeта, где события произошлиодновременно.
Действительно, если t2 = t1 , то s 2 = -(r2 - r1 )2 < 0 .При s 2 > 0 можно выбрать систему отсчeта, где события произошли в одной точке. Действительно, если r2 = r1 , то s 2 = c 2 (t2 - t1 )2 > 0 .Для причинно-связанных событий, вызванных одним и тем же телом,r2 - r1 = v(t2 - t1 ),(25.8)где v – скорость, с которой тело переместился из одной точки вдругую. Тогдаs 2 = c 2 (t2 - t1 )2 - v 2 (t2 - t1 )2 > 0 ,(25.9)т. е. интервал времениподобный.Пусть два события произошли рядом по координате и времени, тогдаds 2 = c 2 (dt ¢)2 - (dr ¢)2 = inv .59(25.10)Если ds 2 > 0 , то можно найти систему, где (dr ¢)2 = 0 , т. е. событияпроизошли в одном месте рядом с покоящимися там часами. Тогда(ds )2 = c 2 (d t )2 ,(25.11)где t – собственное время. Отсюда следуетc 2 (dt )2 - (dr )2 = c 2 (d t )2c2 - v2 2dt = d t 22cd t = dt 1 - v 2 c 2 = dt g .(25.12)Это мы уже получали ранее.Понятие интервала и собственного времени оказывается очень полезным для конструирования других 4-векторов.
Имея 4-вектор события R , можно построить 4-вектор скорости. Для этого его нужно продифференцировать по некоторой скалярной величине, имеющей размерность времени и инвариантной при преобразованиях Лоренца. Такой скаляр у нас есть – это собственное время. Определим 4-скоростьсоотношениемdR mum =.(25.13)dtУчитывая, что d t = dt g , находим компоненты umüïïìü ìïïcvï cdt dr ïï ïïïu m = {u 0 , u } = í,,ý=íý . (25.14)2222 ïïïïdtdtgg1vc1vcïïïïïï ïîþïîþКвадрат 4-скоростиu m2 = u 02 - u 2 = c 2 = inv(25.15)является инвариантом при преобразованиях Лоренца, как положенобыть любому 4-вектору.
4-скорость нам понадобится для нахождениярелятивистского импульса.60ГЛАВА IVНЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА§ 26. Законы НьютонаДо сих пор мы рассматривали кинематику, раздел механики, изучающий движение тел, не вдаваясь в вызывающие его причины. Разделмеханики, изучающий причины движения тел, называется динамикой.Существование в природе максимальной скорости движения кореннымобразом влияет на законы динамики. Однако вспомним сначала основные положения нерелятивистской динамики.Еще в древности люди интересовались законами движения, однакоих взгляды, основанные в основном на созерцании и философствовании, были далеки от действительности даже приближенно.
Так, греческий философ Аристотель (~384 до н. э.) считал, что для всякого движения (даже с постоянной скоростью) нужно внешнее воздействие.Причину, по которой катится шар, Аристотель называл силой, котораяпередается шару из окружающей среды. Такие воззрения существовалиочень долго. Только в начале 17 в. Галилей с помощью экспериментовясно показал, что скорость свободного тела сохраняется сама по себе, асила связана не со скоростью тела, а с его ускорением. Своими экспериментами он убедительно опроверг умозрительную метафизику Аристотеля и заложил фундамент классической механики.
Основные жезаконы механики сформулировал в 1687 г. Исаак Ньютон (1642–1727).По современным воззрениям, законы механики Ньютона верны вширокой области применимости. Однако при скоростях, близких кскорости света, нужно использовать механику Эйнштейна, а при малых размерах и скоростях ( mvr < ) – квантовую механику (см.
Введение).Выпишем, а затем рассмотрим законы Ньютона более детально.Первый закон НьютонаСуществуют такие системы отсчeта, относительно которыхматериальная точка (тело), при отсутствии внешних воздействий,сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Такое тело называется свободным, а его движение – свободнымдвижением по инерции.61Второй закон НьютонаВ инерциальной системе отсчета ускорение, которое получаетматериальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всехприложенных к ней сил и обратно пропорционально еe массе:a=F.m(26.1)Третий закон НьютонаСилы взаимодействия двух материальных точек i и j равны по модулю и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальныеточки:Fij = -Fji(26.2)( Fij – это сила, действующая на i -ую частицу со стороны j -ой частицы).В дополнение к законам Ньютона в классической механике предполагается, что справедлив закон независимости действия сил, т.
е. взаимодействие двух материальных точек не зависит от присутствия вокруг других частиц. Отсюда следует принцип суперпозиции сил – результирующая сила, действующая на материальную точку, являетсявекторной суммой сил взаимодействия с каждой из окружающих материальных точек.Может показаться, что первый закон Ньютона вытекает из второго.Действительно, если сила равна нулю, то ускорение тоже равно нулю искорость постоянна. Однако эта точка зрения неверна. Первый законпостулирует существование инерциальных систем отсчета, привязанных к свободным телам. Исключить действие всех сил трудно, но еслиона привязана к свободному телу и при этом другие тела в этой системе покоятся или движутся равномерно, то такие системы отсчета можно считать инерциальными.
Именно в таких системах справедлив второй закон Ньютона. В системе, связанной с вращающимся диском, тело будет ускоряться даже без приложенных к нему сил.Рассмотрим теперь смысл второго закона Ньютона. Интуитивно ясно, что сообщить скорость пушинке легче, чем большому камню.Свойство тела «сопротивляться» попыткам изменить его скорость называется инертностью тела. Мера инертности – это масса тела. Степень воздействия одних тел на другие характеризуется силой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
