1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Имеется 4 одинаковых частицы с зарядом q, массой m ,расположенные в углах квадрата со стороной b . Частицы отпускают,какая будет скорость частиц на бесконечности?79Решение. Из симметрии ясно, что скорости всех частиц будут одинаковы. Найдем исходную потенциальную энергию системы частиц.Расстояние от первой частицы до остальных трех составляетr12 = b, r13 = 2b, r14 = b, ее потенциальная энергия в поле остальных111q 2 æç1 ö÷трех частиц U 1 = q ( ++ ) = çç2 +÷÷÷ .
Остальные частицыr12 r13 r14b çè2øимеют такие же энергии. Полная энергия2()1q2(32.21)´ 4U 1 = 2U 1 =4+ 2 .2bЗдесь фактор 1/2 появляется потому, что при сумированиипотенциальных энергий всех частиц каждая пара учитывается дважды.Из закона сохранения энергии начальная энергия (in-itial) равна конечной (f-inal)K in + U in = K f + U f .(32.22)U =Учитывая, что K in = 0, U in = U , K f = 4 ´v¥ = q2 +1/ 2.mb2mv¥2, U f = 0 , находим(32.23)5. Внутренняя энергия тела.Если тело не вращается как единое целое, то у него есть внутренняяэнергия тела E вн , которая состоит из кинетической (тепловой) и потенциальной энергии взаимодействующих частиц.При столкновении макроскопических тел кинетическая энергияможет переходить частично во внутреннюю энергию, но полная энергия все равно сохраняется.E = K + U + E вн = const .(32.24)Здесь E вн – это кинетическая и потенциальная энергия частиц внутрител. В случае вращающихся тел добавляется еще энергия вращения(глава IX «Движение твердого тела»).80§ 33.
Действие непотенциальных силЕсли в системе все силы потенциальны, то E = K + U сохраняется.Если на систему действует некая непотенциальная сила, то полнаяэнергия будет меняться.Простейший пример – это сила трения. При движении тела по горизонтальному столу гравитационная потенциальная энергия постоянна,а изменение кинетической энергии за счет силы сухого тренияdK = -Fтрdl = -kPdl ,(33.1)где k - коэффициент трения.Рассмотрим теперь более сложный пример: торможение спутника,летающего вокруг Земли по круговой орбите. Сила торможения за счетостаточного газа направлена против скорости.
Как будет меняться скорость спутника и радиус орбиты?Решение. Радиус орбиты находится из условия, что притяжениеЗемли обеспечивает центростремительное ускорение, необходимое длядвижения по круговой орбите2mvmM=G 2 .rr(33.2)Отсюда кинетическая энергия спутника2K =mvmM.=G22rПотенциальная энергия (притяжение)mM.U = -Gr(33.3)(33.4)Сравнивая (33.3), (33.4), мы видим, что при движении по круговойорбитеUU(33.5)K = - , E = K + U = -K = .22Поскольку сила трения направлена против скорости, то работа силытрения ведет к уменьшению полной энергииdE = -fтрdl = -fтрvdt ,81(33.6)здесь fтр > 0 , следовательно (см.
(33.5))dK = -dE = fтрvdt ,(33.7)т. е. кинетическая энергия увеличивается. Странный результат: телотормозится, но при этом ускоряется! Свободная частица всегда теряетскорость при действии сил трения. Разгадка странного поведенияпадающего спутника состоит в том, что в данной задаче происходитподкачка кинетической энергии за счет уменьшения потенциальнойэнергии.
Изменение потенциальной энергииdU = 2dE = -2 fтрvdt .(33.8)Поскольку U уменьшается, то из (33.4) следует, что радиус орбитыуменьшается. Мы еще будем подробно заниматься движением планети спутников в центральном поле в дальнейшем.Подведем некоторое резюме. При рассмотрении потенциальной икинетической энергии мы взяли уравнение движения (второй законНьютона), умножили обе части на вектор перемещения и проинтегрировали. В результате вместо уравнения второго порядка (содержащего вторую производную координаты, т.
е. ускорение) получили уравнение первого порядка (содержит скорость), которое по физике эквивалентно исходному уравнению движения. Однако введенные понятия,такие как работа, кинетическая энергия, закон сохранения механической энергии, оказываются очень плодотворными и помогают прощерешать многие задачи.Было установлено, что существует большой класс потенциальныхсил (взаимодействий), работа которых зависит только от начальной иконечной точки, а не от конкретного пути, что позволяет ввести понятиепотенциальной энергии. Потенциальная энергия определяется с точностью до константы, поэтому за ноль может быть принята любая удобнаяточка (например, бесконечность для убывающих сил).
При движениипод действием таких сил полная энергия, равная сумме кинетической ипотенциальной энергии, сохраняется. Действие непотенциальной силы(такой как сила трения) приводит к изменению полной энергии.Для нахождения суммарной потенциальной энергии в системе частиц, связанных потенциальными силами, нужно просто просуммировать потенциальные энергии всех пар частиц. Энергия каждой парызависит только от расстояния между частицами.
Для нахождения потенциальной энергии двух частиц нужно закрепить одну из частиц82(любую) и найти работу сил при перемещению второй частицы от места нахождения до места, откуда отсчитывается потенциальная энергия(или наоборот, но тогда с обратным знаком).§ 34. Электромагнитное и гравитационное взаимодейст-вия, полеВ природе встречаются различные проявления сил, но в их основележат всего четыре вида взаимодействий: сильное, слабое, электромагнитное и гравитационное.
Первые два действуют только на оченьмалых расстояниях (<10–13–10–16 см), а два последних явдяются дальнодействующие. Электромагнитные силы определяют строение атомови молекул, но и упругость пружинки и силы трения – это тоже проявление электрических сил. Гравитационные силы намного слабее электрических: так сила гравитационного притяжения электрона к протонув 1039 раз слабее, чем сила электрического притяжения. Однако в природе существует одинаковое количество положительных и отрицательных электрических зарядов, поэтому большие тела, как правило,электрически нейтральны. Гравитационные же силы пропорциональнымассам, т.
е. все гравитационные «заряды» имеют одинаковый знак,поэтому такой компенсации нет. Гравитационные силы являются доминирующими во многих практических случаях, определяют движение небесных тел, галактик и Вселенной в целом.При электромагнитном, гравитационном (и всяком другом) взаимодействии частицы действуют друга на друга на расстоянии. Как этовозможно? Это очень сложный вопрос, выходящий за рамки классической механики. Выражаясь языком квантовой теории поля, взаимодействия осуществляются путем обмена виртуальными частицами – переносчиками взаимодействий. В электромагнитных взаимодействиях таким переносчиком является фотон, в гравитационных – гравитон, вслабых – W и Z бозоны, в сильных – глюоны. Электромагнитное и гравитационное поле на больших расстояниях можно описывать на языкеклассической физики, в которой считается, что частицы создают вокруг себя некое (материальное) поле, которое оказывает воздействие надругую частицу с силой, пропорциональной напряженности поля вданном месте.Понятие поля возникло и плодотворно используется в классическойфизике уже давно, давайте и мы рассмотрим некоторые свойства поляна примере электрического взаимодействия (выводы легко перенестина гравитационное взаимодействие).
Детально электрические явления83изучаются в курсе электродинамики, здесь мы рассмотрим только некоторые механические аспекты.Электрическое полеВыше мы ввели понятия работы и энергии в общем случае, сейчасрассмотрим их более подробно на примере электрических и гравитационных сил, которые очень схожи в нерелятивистском случае.Cила взаимодействия двух электрических зарядов в системе СГСЭqq rF = 1 22 ,(34.1)r rих потенциальная энергия:qqU = -ò Fdr = 1 2 + const .(34.2)rСчитая, что U (¥) = 0 , получаемU =q1q2r.(34.3)Взаимодействие первого заряда на второй можно записать в видеF21 =q1q 2r3r = q2 E,E=q1r3r,(34.4)где E – электрическое поле, создаваемое первой частицей.
В этомслучае потенциальная энергия взаимодействия будетU 21 = q 2j ,где(34.5)rq1¥rj = -ò Edl =.(34.6)Теорема ГауссаПоля, спадающие с расстоянием как 1/r 2 , удобно изображать силовыми линиями, плотность которых пропорциональна напряженностиполя. Нетрудно видеть, что поток поля через любую сферическую поверхность, охватывающую заряд, не зависит от расстояния этой поверхности от заряда. Действительноплощадь сферы E 4 r 284q 4 q.r2(34.7)В общем случае определим поток как ò E ds , где ds = ds n , n –Sединичный вектор, перпендикулярный к поверхности в каждой ее точке и направленный наружу из рассматриваемой замкнутой поверхности, тогдаqò E ds = ò rS3rds = q òSds^r2= q ò d W = 4pq.(34.8)Полученное соотношение называется теоремой Гаусса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
