1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть имеется система частиц, в которой на i -тую частицу действуют силы Fi со стороны остальных частиц. Прикладывая бесконечномалые силы, повернем всю систему на угол φ , не меняя при этомвзаимного расположения частиц в системе. Суммарная работа всех сил99равна нулю, поскольку пространство изотропно и внутренняя энергиясистемы не зависит от ориентации системы в пространстве:dA = å Fi d ri = å Fi [dj ⋅ ri ] = dj å [ri Fi ] = dj å [ri p i ] = 0 . (39.5)iiiiВеличина éê ri Fi ùú = éê ri p i ùú – это момент сил, действующий на частицу.ëû ëûЭто означает, что сумма моментов сил в изолированной системе равнанулю. ОтсюдаdL= å [ ri pi ] + [ ri p i ]) = 0 .dt(39.6)Здесь первая сумма равна нулю вследствие параллельности скорости иимпульса, а вторая сумма равна нулю из-за равенства нулю моментасил.100ГЛАВА VРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА§ 40.
Релятивистский импульсЯсно, что в релятивистском случае закон сохранения импульса ввидеm1v1 + m2v2 = const(40.1)несправедлив, так как не содержит ограничения на максимальнуюскорость частиц. В нерелятивистском случае мы просто постулировализакон сохранения импульса при рассеянии частиц, взяв выражение дляимпульса в виде p = mv (при другом подходе закон сохраненияимпульса следует из уравнений Ньютона, которые также являютсяпостулатами).
Будет ли вообще аналог закона сохранения импульса врелятивистском случае, если не вводить дополнительных постулатов?Рассмотрим такую конструкцию. Два тела с большими массами 1 и 2выстреливают по легкому релятивистскому ядру, которые, рассеявшисьдруг на друге, застревают в массивных поглотителях 3 и 4 (рис. 30).Если наблюдать только за большими телами, которые имеют нерелятивистские скорости, то для них можно записать равенство нулюсуммарного импульса(-p1 ) + (-p2 ) + p1¢ + p2¢ = 0(40.2)p1 + p2 = p1¢ + p2¢ .или(40.3)Отсюда следует существование закона сохранения импульса длярелятивистских частиц. В рассуждениях мы сделали только одноестественное предположение, что при выстреле покоящимся теломядра импульс отдачи равен импульсу ядра.Теперь осталось найти выражеp1p2ние для релятивистского импульса, при котором закон сохранения43p1 p2импульса, записанный в одной изсистем отсчeта, будет автоматически выполняться при переходе вp1p2любую другую инерциальную сисp 1 12 p 2тему отсчeта.
Мы рассмотрим дваподхода к этой задаче.Рис. 30101Первый способ основан на поиске выражения для релятивистскогоимпульса путем рассмотрения частных случаев взаимодействия частици требования инвариантности явления при переходе в другую системуотсчeта.
Второй способ, более формальный, опирается на свойства4-векторов.Будем искать выражение для импульса в видеp = f (v )mv ,(40.4)где f (v ) – некоторая функция скорости, стремящаяся к единице приv 0 . Рассмотрим два поезда, движущихся с равными скоростяминавстречу друг другу (рис. 31).YС поездов навстречу друг другустреляют ядрами, так что всопутствующих поездам систе2мах отсчeта скорость выпущенныхядерперпендикулярнанаправлению движения и равна1Xvy , причем vy c . Ядра встречаются и слипаются. Из симметрии ясно, что в неподвиж-нойсистеме импульс образованного тела равен нулю. Тогда в системепоезда 1 это тело не движется в поперечном направлении и егопоперечный импульс равен нулю. Отсюда суммарный поперечныйимпульс ядер до столкновения также равен нулю, т.
е.Рис. 31mvy = m f (v ¢)vy¢ .(40.5)Здесь в левой части написан нерелятивисткий импульс, посколькуранее предположили, что vy c . Здесь vy¢ и v ¢ – соответственновертикальная и полная скорость ядра, выпущенного с поезда 2, всистеме поезда 1. Пусть относительная скорость поездов равна V ,тогда из формул преобразования для Y-скоростей (22.4) с учетом, чтоvx ядра в системе своего поезда 2 равна нулю, находимvy¢ = vy 1 -V 2 c 2 .102(40.6)Из (40.6) и (40.5) следуетf (v ¢) 1 -V 2 c 2 = 1 .(40.7)Устремим vy к нулю, тогда v ¢ V , следовательно1f (V ) =1 -V 2 c 2.(40.8)В результате получаем искомое выражение для импульса припроизвольных скоростяхmv.(40.9)p(v) = f (v )mv =221-v cПри этом закон сохранение импульса будет имеет видåpiºåmi v i1 - vi2 c 2= const .(40.10),(40.11)Заметим, чтоp=mu =u=гдеdr=dtmv1 - v 2/ c 2vv21- 2c– 4-скорость.(40.12)Это выражение совпадает с формулой (40.9), полученной на частномпримере.
Закон сохранения импульса будет выглядеть какåpii= å p j , где p = mu =j103mv1 - v 2 / c2.(40.13)§ 41. Релятивистская энергияРассмотрим распад тела с массой M на две части с массами m1 иm2 . В системе покоя исходного тела разлет происходит в противопо-m1v1Mv =0Рис. 32v2ложных направлениях (рис.
32). Посмотрим теперь этот же процесс распада в системе отсчeта, имеющей поперечную к v1 и v2 скорость w cm2(рис. 33). Закон сохранения для вертикальной компоненты импульсаимеет видm1wm2w.(41.1)Mw =+1 - v1¢2 c 21 - v2¢2 c 2Устремим w к нулю, тогда v1¢ v1 и v2¢ v2 . Сократив обе части(41.1) на w , получаемm1v1¢M =m2Mv2¢wm11 - v12 c 2+m21 - v22 c 2. (41.2)т. е. исходная масса не равна суммеконечных масс иРис. 33M > m1 + m2 .(41.3)Поскольку исходная масса могла бы распасться и на другие составляющие, то (41.2) можно переписать в видеåim ic 22i1-v c2=åjm jc 22j1-v c2.(41.4)Введем обозначениеE=mc 221-v c2= gmc 2(41.5)и назовем эту величину релятивистской энергией частицы.
К такомутермину есть основания: при v 0104E = mc 2 +mv 2,2(41.6)т. е. энергия отличается от энергии в покое на нерелятивистскуюкинетическую энергию.В этих терминах (41.4) можно записать в видеåEi= å Ej .(41.7)Это закон сохранения энергии в релятивистском случае. При малыхскоростях он переходит в нерелятивистский закон сохранениякинетической энергии. Кинетической энергией в общем случае можноназвать величинуmc 2(41.8)T =- mc 2 = (g - 1)mc 2 .221-v cТаким образом, мы получили релятивистский закон сохраненияэнергии.
Этот закон вытекает автоматически из закона сохранения импульса и преобразований Лоренца.Ввиду исключительной важности закона сохранения энергии выведем формулу (41.5) тем же способом, как ранее в § 27 был доказан закон сохранения массы в нерелятивистском случае. Для доказательствамы использовали нерелятивистский закон сохранения импульса и преобразования Галилея для скоростей.Итак, рассмотрим снова распад тела с массой M на две части смассами m1 и m2 вдоль оси X .
Исходим из закона сохранения импульса в релятивистском случае, записанного через 4-скорости,M ux = m1 u1x + m2 u2x .(41.9)Рассмотрим теперь тот же распад в системе отсчета, движущейся вдольоси X со скоростью V . В движущейся системе отсчета закон сохранения импульса будетMux¢ = m1u1¢x + m2u2¢x .(41.10)Используя закон преобразования Лоренца X -компоненты 4-векторовux ¢ = g(ux - bu 0 ) , где g = 1 / 1 -V 2/ c 2 , b = V /c , из (41.10)получаемM g(ux - bu 0 ) = m1g(u1x - bu10 ) + m2 g(u2x - bu20 ) .105(41.11)Производя сокращения с учетом (41.9), имеемMu 0 = m1u10 + m2u20(41.12)и, используя выражения для нулевой компоненты 4-скорости частицыccc, u10 =,(41.13)u0 =u20 =v12v22v21- 21- 21- 2cccполучаемm1m2M,(41.14)=+1 - v2 c21 - v12 c 21 - v22 c 2что совпадает с формулой (41.2).Назовем 4-импульсом величину pm = mu m , тогда закон сохранениярелятивистского импульса и энергии можно записать вместе как законсохранения 4-импульса(41.15)å Pm = å Pm¢ .Рассмотрим некоторые фундаментальные и практические следствиярелятивистского закона сохранения энергии.1.
При столкновении частиц с массами m1 и m2 может образоваться частица с массой M m1 + m2 .2. Если в конечном состоянии сохраняются исходные частицы ирождаются новые, то можно сказать, что эти новые частицы образовались из «чистой» кинетической энергии. Пример такой реакции:p + p p + p + p +p .(41.16)В этой реакции на ускорителе в 1955 г. впервые наблюдалиантипротон.3. При распаде частицы выделяется кинетическая энергияDT = Mc 2 - å mic 2 .(41.17)В пределе, при аннигиляции (или распаде) в фотоны,«высвобождается» кинетическая энергия E = mc 2 . Пример такихреакций: p 0 gg, e +e - gg . Эти фотоны можно поглотить ииспользовать их энергию, т.
е. неподвижная частица обладает реальнойэнергией Mc 2 .106Атомные ядра состоят из протонов и нейтронов, при этом массаядер меньше, чем суммарная масса свободных протонов и нейтронов:M я < Zm p + Nmn .(41.18)DM = Zm p + Nmn –M я(41.19)Разность массСредняя энергия связи на нуклон (МэВ)называется дефектом массы.
Этот «дефект масс» обусловлен отрица-Число нуклонов в ядреРис. 34тельной энергией связи, которая приводит к уменьшению массы ядер.На рис. 34 приведена удельная энергия связи, т. е. энергия связи наодин нуклон. Энергия связи отрицательная, но приводят ее везде поабсолютной величине. Наибольшая энергия связи у элементов в районеFe. Она составляет почти один процент от массы ядра. Выделить этуэнергию можно (частично) при слиянии легких ядер или распаде тяжелых ядер.
Высвобождается (переходит в кинетическую) энергия, равная разности энергий связи.Так, при поглощении нейтрона ядро U235 быстро разваливается надве части с испусканием нескольких нейтроновn + U235 A1 +A2 + (2 - 3)n.(41.20)При этом кинетическая энергия осколковT = DMc 2 » (M U - m A - m A ) c 2 » 200 МэВ » 0, 001 ⋅ Mc 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
